[MUSIQUE]
Ok, maintenant comme je l'ai promis, nous devrions penser à des conditions suffisantes pour l'
intégrabilité.
Et bien, nous avons récemment trouvé un exemple plus intégrable,
et maintenant nous devrions passer à des cas beaucoup plus simples en fait.
Donc nous n'allons pas essayer de le prouver pour
vous, mais nous allons simplement le dire comme un cas de base.
Par exemple, si la fonction est monotoniquement commune,
monotone monte ou tombe quelque soit ou n'a aucune interruption
sur l'ensemble du segment, alors elle est intégrable sur ce segment.
Et c'est bien, par exemple,
si vous pouvez voir le x carré qui est défini et
tracé dans la figure comme celle-ci, c'est notre x carré de 1 à 0.
Il est assez facile de comprendre que tout d'abord,
il est monotone monte et deuxièmement, il n'a pas d'interruption.
Eh bien les fonctions de Nash de toutes, donc c'est totalement intégrable.
Donc, essayons juste de considérer comment on devrait calculer comme intégrale naturelle ici.
Et pour ce faire, considérons simplement un cas bien partiel.
Ce n'est pas un cas général, vous devriez comprendre.
Mais nous savons que pour toute partition et tout marquage,
nous devrions obtenir la même limite ici puisque la fonction est intégrable.
Ainsi, pour toute partition spéciale et marquage spécial,
la réponse devrait toujours être la même.
Alors considérons la partition uniformelle ici.
Donc, nous avons 1 à 0, et nous avons par exemple, n points dans la partition.
Ainsi, nous avons la même longueur de chaque segment et
points réellement 0, 1/n, 2/n, et
quoi que ce soit, quoi que ce soit,
jusqu'à n/n, ce qui est réellement égal à 1.
Et supposons,
par souci de simplicité, que nous examinons un point ici.
Eh bien, par exemple, je ne peux pas supposer que nous pouvons voir
le pris avec la bonne extrémité de quel segment, à droite.
Donc, pour chaque segment de cette partition,
la zone sous la courbe doit être écrite comme suit.
La longueur de la partition est 1/n, droite.
Et nous devrions le multiplier par la valeur de la fonction dans notre point de tact.
Point de tact dans notre cas, par exemple, pour
le premier était et est (1/n) carré, non ?
Ok, c'était sympa.
Donc, pour le second est (2/n) carré
multiplié par la longueur, qui est la même et
tout ce qui est, et va et va et va.
Essayons donc de le réécrire de manière plus complète.
Tout d'abord, nous devrions envisager de déplacer ce
multiplicateur commun et ce diviseur commun ici.
Donc, nous obtenons quelque chose comme un dénominateur n puissance 3.
Et dans le nominateur, nous avons 1 carré + 2 carrés + 3 carrés,
et cela monte jusqu'à n carré, ce qui est en fait
la valeur du dernier segment, pas juste ici.
Ok, donc il est temps de se souvenir de votre cours de mathématiques discret,
qui était le premier dans ce programme de diplôme en ligne.
Et rappelez-vous que la formule était cette somme de carrés pour les
premiers n nombres naturels, et c'est assez facile.
Je vais écrire ça pour toi.
Il est n multiplié par (n +1) multiplié
par (2n + 1)/6 n puissance 3.
Alors c'est tout.
Si vous ne vous en souvenez pas,
veuillez revisiter la vidéo du cours de mathématiques discret concernant l'induction.
Donc et si vous ne voulez pas vous souvenir de l'induction, c'est un peu facile,
et croyez-moi juste que cette formule est bonne.
Donc la dernière chose que nous devons faire est de trouver la limite, de
calculer la réponse.
Pour ce faire,
nous devons trouver la limite lorsque le diamètre de cette partition approche 0.
En d'autres termes, dans notre cas, si la partition
est uniformément comme la longueur de chaque segment
coïncide avec le diamètre et est égale à 1/n.
Ainsi, si elle est proche de 0,
alors n devrait approcher l'infini.
Et nous devons considérer la limite de cette séquence alors que n approche de l'infini.
Et c'est un peu facile pour nous parce que c'est polynôme
divisé par polynôme, et nous savons tous comment gérer celui-ci.
Nous devons diviser à la fois le numérateur et le
dénominateur par la puissance la plus élevée, dans notre cas c'est la troisième puissance.
Et nous obtenons 1, multipliez cela
par (1 + 1/n) multiplié
par (2 + 1/n)/6.
Et si n approche l'infini, 1/n approche 0.
Ainsi, c'est 0, c'est 0, et nous obtenons 2/6,
ou en d'autres termes un tiers.
Et un tiers est en fait notre réponse, c'est sympa.
Et je vais vous féliciter pour la première
intégrale que vous avez réellement calculée.
Nous allons donc aller de l'avant avec comprendre comment
nous évitons ces cas extrêmement complexes de prendre des limites et d'
utiliser des règles mathématiques discrètes et d'induction et
pour un cas plus général de calcul des intégrales définies.
[ MUSIQUE]