Ok, ora come ho promesso dovremmo pensare a condizioni sufficienti per l'
integrabilita'.
E beh, di recente abbiamo trovato un esempio più integrabile,
e ora dovremmo passare ad alcuni casi molto più semplici in realtà.
Quindi non proveremo a provare questo per
te, ma lo definiremo solo come casi fondamentali.
Ad esempio, se la funzione è monotonicamente comune,
monotonicamente aumenta o cade di sorta o non ha interruzioni
sull'intero segmento, allora è integrabile su questo segmento.
Ed è bello, per esempio,
se riesci a vedere la x al quadrato che è definita e
tracciata nella figura come questa, questa è la nostra x al quadrato da 1 a 0.
È abbastanza facile capire che prima di tutto,
è monotonicamente sale e, in secondo luogo, non ha interruzioni.
Beh, le funzioni di Nash di tutte, quindi è totalmente integrabile.
Quindi cerchiamo solo di considerare come si dovrebbe calcolare come integrale naturale qui.
E per farlo, consideriamo solo un caso ben parziale.
Non e' un caso generale, dovresti capire.
Ma sappiamo che per qualsiasi partizione e qualsiasi tagging,
dovremmo ottenere lo stesso limite qui poiché la funzione è integrabile.
Quindi per qualsiasi partizione speciale e tagging speciale,
la risposta dovrebbe essere ancora la stessa.
Quindi consideriamo partizione uniforme qui.
Quindi abbiamo 1 a 0, e abbiamo per esempio, n punti nella partizione.
Così abbiamo la stessa lunghezza di ogni segmento e
punti effettivamente 0, 1/n, 2/n, e
qualsiasi cosa, qualsiasi,
fino a n/n, che in realtà è uguale a 1.
E supponiamo per
semplicità che stiamo considerando un certo punto.
Beh, per esempio, non posso presumere che possiamo vedere
il preso con l'estremità destra di quale segmento, giusto.
Quindi, per ogni segmento di questa partizione,
l'area sotto la curva dovrebbe essere scritta come segue.
La lunghezza della partizione è 1/n, a destra.
E dovremmo moltiplicarlo per il valore della funzione nel nostro punto tattile.
Punto di tatto nel nostro caso, ad esempio, per
il primo era ed è (1/n) al quadrato, giusto?
Ok, e' stato bello.
Quindi per il secondo è (2/n) quadrato
moltiplicato per la lunghezza, che è la stessa e
qualsiasi cosa, e va e va e va e va e va.
Quindi cerchiamo solo di riscriverlo in modo più completo.
Prima di tutto, dovremmo considerare di spostare questo
moltiplicatore comune e questo divisore comune qui.
Quindi stiamo ottenendo qualcosa come un denominatore n potenza 3.
E nel nominatore, abbiamo 1 quadrato+2 quadrato+3 al quadrato,
e questo sale fino a n al quadrato, che è in realtà
il valore per l'ultimo segmento, non proprio qui.
Ok, quindi e' ora di ricordare il tuo corso discreto di matematica,
che e' stato il primo in questo corso di laurea online.
E ricordate che la formula era questa somma di quadrati per i
primi n numeri naturali, ed è abbastanza facile.
Scrivero' questo per te.
È n moltiplicato per (n +1)
moltiplicato per (2n + 1)/6 n potenza 3.
Quindi questo è tutto.
Se non ricordi,
rivisita il video del corso discreto di matematica sull'induzione.
Quindi e se non vuoi ricordare l'induzione, beh, è un po 'facile,
e credimi che questa formula è giusta.
Quindi l'ultima cosa che dobbiamo fare è trovare il limite,
calcolare la risposta.
Per fare ciò,
dobbiamo trovare il limite quando il diametro di questa partizione si avvicina a 0.
In altre parole, nel nostro caso, se la partizione
è uniformemente come la lunghezza di ogni segmento
coincide con il diametro ed
è uguale a 1/n. Quindi se si avvicina a 0,
allora n dovrebbe avvicinarsi all'infinito.
E dobbiamo considerare il limite di questa sequenza mentre n si avvicina all'infinito.
Ed è un po' facile per noi perché è polinomio
diviso per polinomio, e sappiamo tutti come gestirlo.
Dobbiamo dividere sia il numeratore che il
denominatore per la potenza più alta, nel nostro caso è la terza potenza.
E otteniamo 1, moltiplicalo
per (1 + 1/n)
moltiplicato per (2 + 1/n)/6.
E se n si avvicina all'infinito, 1/n si avvicina a 0.
Quindi, questo è 0, questo è 0, e otteniamo 2/6,
o in altre parole un terzo.
E un terzo è in realtà la nostra risposta, è bello.
E mi congratulo con te per il primo
integrale definitivo che hai effettivamente calcolato.
Quindi qui andremo ad andare avanti con la comprensione di come
evitiamo questi casi estremamente complessi di prendere limiti e
utilizzare alcune regole matematiche discrete e induzione e
per caso più generale di calcolo degli integrali definiti.
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