[MÚSICA]
Ok, agora como eu prometi devemos pensar em condições suficientes para
integrabilidade.
E bem, na verdade, temos recentemente apresentado um exemplo mais integrável,
e agora devemos passar para alguns casos muito mais simples, na verdade.
Então não vamos tentar provar isso para
você, mas vamos apenas declarar como casos básicos.
Por exemplo, se a função é monotonicamente comum,
monotonicamente aumenta ou cai ou não tem descontinuações
em todo o segmento, então é integrável neste segmento.
E é bom, por exemplo,
se você pode ver o x ao quadrado que é definido e
plotado na figura como esta, esse é o nosso x ao quadrado de 1 a 0.
É bastante fácil entender que, em primeiro lugar,
é monotonicamente sobe e, em segundo lugar, não tem descontinuações.
Bem, as funções de Nash de tudo, então é totalmente integrável.
Assim, apenas vamos tentar considerar como se deve calcular como integral natural aqui.
E para isso, vamos considerar um caso bem parcial.
Não é um caso geral, você deve entender.
Mas sabemos que para qualquer partição e qualquer marcação,
devemos obter o mesmo limite aqui, uma vez que a função é integrável.
Assim, para qualquer partição especial e marcação especial,
a resposta ainda deve ser a mesma.
Então vamos considerar a partição uniformal aqui.
Então temos 1 a 0, e temos, por exemplo, n pontos na partição.
Assim, temos o mesmo comprimento de cada segmento e
pontos realmente 0, 1/n, 2/n, e
qualquer coisa, seja qual for, seja
qual for, até n/n, que na verdade é igual a 1.
E vamos supor, por
uma questão de simplicidade, que estamos considerando algum ponto aqui.
Bem, por exemplo, eu simplesmente não posso supor que podemos ver
a tomada com a extremidade direita de qual segmento, certo.
Assim, para cada segmento desta partição,
a área sob a curva deve ser escrita da seguinte forma.
O comprimento da partição é 1/n, direita.
E devemos multiplicá-lo pelo valor da função em nosso ponto de tato.
Ponto de tato no nosso caso, por exemplo, para
o primeiro foi e é (1/n) ao quadrado, certo?
Ok, isso foi legal.
Assim, para o segundo é (2/n) quadrado
multiplicado pelo comprimento, que é o mesmo e
qualquer coisa, e vai e vai e vai e vai.
Portanto, vamos tentar reescrevê-lo de uma forma mais abrangente.
Em primeiro lugar, devemos considerar mover este
multiplicador comum e este divisor comum aqui.
Então estamos recebendo algo como um denominador n poder 3.
E no nominador, temos 1 ao quadrado + 2 ao quadrado + 3 ao quadrado,
e isso vai até n ao quadrado, que é na verdade
o valor para o último segmento, não aqui.
Ok, então é hora de lembrar seu curso discreto de matemática,
que foi o primeiro neste curso on-line.
E lembre-se a fórmula foi esta soma de quadrados para os
primeiros n números naturais, e é muito fácil.
Vou anotar isso para você.
É n multiplicado por (n +1) multiplicado
por (2n + 1)/6 n potência 3.
Então é isso.
Se você não se lembra,
por favor, reveja o vídeo do curso de matemática discreta relativo à indução.
Então, e se você não quer se lembrar da indução, bem, isso é meio fácil,
e apenas acredite em mim que esta fórmula está certa.
Então a última coisa que precisamos fazer é encontrar o limite,
calcular a resposta.
Para fazer isso,
precisamos encontrar o limite quando o diâmetro desta partição se aproxima de 0.
Em outras palavras, no nosso caso, se a partição
é uniformemente como o comprimento de cada segmento
coincide com o diâmetro e
é igual a 1/n. Assim, se ele se aproxima de 0,
então n deve aproximar-se do infinito.
E precisamos considerar o limite desta sequência enquanto n se aproxima do infinito.
E é meio fácil para nós porque é polinômio
dividido por polinômios, e todos nós sabemos como lidar com isso.
Precisamos dividir numerador e
denominador pela mais alta potência, no nosso caso é a terceira potência.
E obtemos 1, multiplicar isso
por (1 + 1/n) multiplicado
por (2 + 1/n)/6.
E se n se aproxima do infinito, 1/n se aproxima de 0.
Assim, isto é 0, isto é 0, e obtemos 2/6,
ou em outras palavras, um terço.
E um terço é a nossa resposta, isso é bom.
E vou parabenizá-lo com a primeira
integral definitiva que você calculou.
Então aqui vamos avançar com a compreensão de como
evitamos esses casos extremamente complexos de tomar limites e
usar algumas regras matemáticas discretas e indução e
para um caso mais geral de cálculo de integrais definidas.
[ MUSIC]