[MÚSICA] Ok, agora como eu prometi devemos pensar em condições suficientes para integrabilidade. E bem, na verdade, temos recentemente apresentado um exemplo mais integrável, e agora devemos passar para alguns casos muito mais simples, na verdade. Então não vamos tentar provar isso para você, mas vamos apenas declarar como casos básicos. Por exemplo, se a função é monotonicamente comum, monotonicamente aumenta ou cai ou não tem descontinuações em todo o segmento, então é integrável neste segmento. E é bom, por exemplo, se você pode ver o x ao quadrado que é definido e plotado na figura como esta, esse é o nosso x ao quadrado de 1 a 0. É bastante fácil entender que, em primeiro lugar, é monotonicamente sobe e, em segundo lugar, não tem descontinuações. Bem, as funções de Nash de tudo, então é totalmente integrável. Assim, apenas vamos tentar considerar como se deve calcular como integral natural aqui. E para isso, vamos considerar um caso bem parcial. Não é um caso geral, você deve entender. Mas sabemos que para qualquer partição e qualquer marcação, devemos obter o mesmo limite aqui, uma vez que a função é integrável. Assim, para qualquer partição especial e marcação especial, a resposta ainda deve ser a mesma. Então vamos considerar a partição uniformal aqui. Então temos 1 a 0, e temos, por exemplo, n pontos na partição. Assim, temos o mesmo comprimento de cada segmento e pontos realmente 0, 1/n, 2/n, e qualquer coisa, seja qual for, seja qual for, até n/n, que na verdade é igual a 1. E vamos supor, por uma questão de simplicidade, que estamos considerando algum ponto aqui. Bem, por exemplo, eu simplesmente não posso supor que podemos ver a tomada com a extremidade direita de qual segmento, certo. Assim, para cada segmento desta partição, a área sob a curva deve ser escrita da seguinte forma. O comprimento da partição é 1/n, direita. E devemos multiplicá-lo pelo valor da função em nosso ponto de tato. Ponto de tato no nosso caso, por exemplo, para o primeiro foi e é (1/n) ao quadrado, certo? Ok, isso foi legal. Assim, para o segundo é (2/n) quadrado multiplicado pelo comprimento, que é o mesmo e qualquer coisa, e vai e vai e vai e vai. Portanto, vamos tentar reescrevê-lo de uma forma mais abrangente. Em primeiro lugar, devemos considerar mover este multiplicador comum e este divisor comum aqui. Então estamos recebendo algo como um denominador n poder 3. E no nominador, temos 1 ao quadrado + 2 ao quadrado + 3 ao quadrado, e isso vai até n ao quadrado, que é na verdade o valor para o último segmento, não aqui. Ok, então é hora de lembrar seu curso discreto de matemática, que foi o primeiro neste curso on-line. E lembre-se a fórmula foi esta soma de quadrados para os primeiros n números naturais, e é muito fácil. Vou anotar isso para você. É n multiplicado por (n +1) multiplicado por (2n + 1)/6 n potência 3. Então é isso. Se você não se lembra, por favor, reveja o vídeo do curso de matemática discreta relativo à indução. Então, e se você não quer se lembrar da indução, bem, isso é meio fácil, e apenas acredite em mim que esta fórmula está certa. Então a última coisa que precisamos fazer é encontrar o limite, calcular a resposta. Para fazer isso, precisamos encontrar o limite quando o diâmetro desta partição se aproxima de 0. Em outras palavras, no nosso caso, se a partição é uniformemente como o comprimento de cada segmento coincide com o diâmetro e é igual a 1/n. Assim, se ele se aproxima de 0, então n deve aproximar-se do infinito. E precisamos considerar o limite desta sequência enquanto n se aproxima do infinito. E é meio fácil para nós porque é polinômio dividido por polinômios, e todos nós sabemos como lidar com isso. Precisamos dividir numerador e denominador pela mais alta potência, no nosso caso é a terceira potência. E obtemos 1, multiplicar isso por (1 + 1/n) multiplicado por (2 + 1/n)/6. E se n se aproxima do infinito, 1/n se aproxima de 0. Assim, isto é 0, isto é 0, e obtemos 2/6, ou em outras palavras, um terço. E um terço é a nossa resposta, isso é bom. E vou parabenizá-lo com a primeira integral definitiva que você calculou. Então aqui vamos avançar com a compreensão de como evitamos esses casos extremamente complexos de tomar limites e usar algumas regras matemáticas discretas e indução e para um caso mais geral de cálculo de integrais definidas. [ MUSIC]