Хорошо, теперь, как я и обещал, мы должны подумать о достаточных условиях для
интеграции.
И хорошо, мы недавно придумали более интегрированный пример,
и теперь мы должны перейти к некоторым гораздо более простым случаям на самом деле.
Так что мы не собираемся пытаться доказать это для
вас, но мы собираемся просто заявить это как основные случаи.
Например, если функция монотонно распространена,
монотонно поднимается или падает вообще или не имеет разрывов
по всему сегменту, то она интегрируется на этом сегменте.
И это хорошо, например,
если вы можете увидеть x в квадрате, который определен и
нарисован на рисунке следующим образом, это наш x в квадрате от 1 до 0.
Довольно легко понять, что в первую очередь
это монотонно поднимается и, во-вторых, у него нет разрывов.
Ну, функции Нэша из всех, так что он полностью интегрирован.
Таким образом, просто давайте попробуем рассмотреть, как следует вычислить как естественный интеграл здесь.
И для того, чтобы сделать это, давайте просто рассмотрим какой-то хорошо частичный случай.
Это не общее дело, вы должны понять.
Но мы знаем, что для любого раздела и любого тегов
мы должны получить тот же предел здесь, так как функция интегрируется.
Таким образом, для любого специального раздела и специальных
тегов ответ должен быть тем же.
Итак, давайте рассмотрим здесь неформальный раздел.
Таким образом, у нас есть от 1 до 0, и у нас есть, например, n точек в разделе.
Таким образом, мы имеем одинаковую длину каждого сегмента и
точек на самом деле 0, 1/n, 2/n, и
все, что угодно, независимо,
до n/n, что на самом деле равно 1.
И давайте предположим
ради простоты, что мы рассматриваем какой-то момент здесь.
Ну, например, я просто не могу предположить, что мы можем видеть
взятое с правым концом того сегмента, правильно.
Таким образом, для каждого сегмента этого раздела
область под кривой должна быть записана следующим образом.
Длина раздела 1/n, справа.
И мы должны умножить его на значение функции в нашей тактовой точке.
Точка такта в нашем случае, например, для
первого была и была (1/n) в квадрате, верно?
Хорошо, это было мило.
Так что для второго (2/n) квадрат
умножается на длину, которая одинакова и
что угодно, и идет и идет, и идет и идет.
Поэтому давайте просто попытаемся переписать его более всеобъемлющим образом.
Прежде всего, мы должны рассмотреть возможность перемещения этого общего
множителя и этого общего делителя.
Таким образом, мы получаем что-то вроде знаменателя n power 3.
И в номинаторе у нас есть 1 в квадрате + 2 в квадрате + 3 в квадрате,
и это поднимается до n в квадрате, что на самом деле является
значением для последнего сегмента, нет прямо здесь.
Итак, пришло время вспомнить ваш дискретный курс математики,
который был первым в этой онлайн программе.
И помните, что формула была эта сумма квадратов для
первых n натуральных чисел, и это довольно легко.
Я запишу это для тебя.
Это n умноженное на (n +1),
умноженное на (2n + 1) /6 n мощность 3.
Так вот и всё.
Если вы не помните,
пожалуйста, пересмотрите видео с курса дискретной математики, касающегося индукции.
Так что, если вы не хотите вспомнить индукцию, ну это
просто, и поверьте мне, что эта формула правильная.
Итак, последнее, что нам нужно сделать, это найти предел,
вычислить ответ.
Для этого
нам нужно найти предел, когда диаметр этого раздела приближается к 0.
Другими словами, если раздел
равномерно, так как длина каждого сегмента
совпадает с диаметром и равна 1/n.
Таким образом, если он приближается к 0,
то n должен приближаться к бесконечности.
И мы должны рассмотреть предел этой последовательности, в то время как n приближается к бесконечности.
И это довольно легко для нас, потому что полином
разделен на полином, и мы все знаем, как справиться с этим.
Нам нужно разделить числитель и
знаменатель на высшую силу, в нашем случае это третья сила.
И мы получаем 1, умножаем это
на (1 + 1/n)
умноженное на (2 + 1/n)/6.
И если n приближается к бесконечности, 1/ n приближается к 0.
Таким образом, это 0, это 0, и мы получаем 2/6,
или другими словами одну треть.
И одна треть на самом деле наш ответ, это мило.
И я поздравляю вас с первым определённым
интегралом, который вы на самом деле рассчитали.
Итак, здесь мы собираемся двигаться вперед с пониманием того, как
мы избегаем этого чрезвычайно сложных случаев принятия ограничений и
использования некоторых дискретных математических правил и индукции и
для более общего случая вычисления определенных интегралов.
[ МУЗЫКА]