لذلك دعونا ننظر في
مثال حاسم آخر للتكامل غير لائق.
جزء لا يتجزأ من وظيفة السلطة.
لذلك هو س مدعوم ناقص أ.
من أجل البساطة،
أولا دعونا نفترض أن لا يساوي واحد.
أنا ذاهب لكتابة هذا أسفل.
إنها قضيتنا الأولى
لذلك ما يجب علينا القيام به هنا،
يجب أن نحسب مشتقتنا المضادة.
من أجل القيام بذلك، نحن بحاجة إلى تقسيم واحد
عن طريق قوة الفأس زائد واحد،
وهذا يؤدي إلى واحد ناقص مضروبا في
س مدعوم واحد ناقص أ،
وبعد ذلك، نحن بحاجة إلى
استبدال س لدينا مع الحدود العليا والسفلية.
وبالتالي فإن مسألة التقارب هنا
تنبع في الواقع
من حقيقة وجود حد في النقطة العليا.
لذلك نحن بحاجة إلى تحديد حيث يوجد
حد هذه الوظيفة في
اللانهاية زائد بالفعل
وفي أي الحالات لا يحدث ذلك.
من أجل فهم،
انها عن نوع من [غير مسموع].
لأنه مرة أخرى لدينا
مضاعف ثابت ومن ثم لدينا وظيفة السلطة.
لذلك نحن بحاجة إلى أن تقرر ما إذا كانت وظيفة الطاقة
لديها حد زائد لانهاية أم لا.
انها سهلة الى حد كبير لأنه كما كنت لا تذكر
وظيفة السلطة مع قوة
إيجابية يقترب في الواقع بالإضافة إلى اللانهاية.
يبدو مثل هذا أو مثل هذا.
وظيفة الطاقة مع القيم السلبية
تبدو في الواقع مثل هذا،
وفي الواقع قوة سلبية.
لذلك هناك واحد بسيط.
إذا كانت قوة X
إيجابية، فإن الحد غير موجود.
نهج الوظيفة هو بالإضافة إلى اللانهاية في اللانهاية.
إذا كانت الطاقة في الواقع سلبية،
فإن الدالة تقترب من الصفر،
وتضيف ما لا نهاية زائد.
لذلك نحن ذاهبون لكتابة هذه النتائج أسفل.
إذا لم يكن 1،
وإذا كان ناقص 1،
وهذا هو 1 ناقص أ أكبر من 0،
ثم، لا تتلاقى التكامل.
أنا ذاهب إلى
الكتابة رمزيا هناك وفقط أغلقه.
إذا كان 1 ناقص a سلبيًا فعليًا حيث يتلاقى التكامل.
ماذا عن حالة يساوي 1.
نحن ذاهبون الآن للنظر في جزء لا يتجزأ من 1 مقسوما على X،
و [غير مسموع] أنت تعرف أن الجواب
هو لوغاريتم من القيمة المطلقة للX
تحتاج إلى استبدال مع الحدود العليا والسفلية،
ومرة أخرى نحن بحاجة إلى فهم ما هو
الحد من اللوغاريتم زائد اللانهاية هو.
كما تعلمون جيدا،
انها بالإضافة إلى اللانهاية، وبالتالي لا
تتلاقى جزءا لا يتجزأ. هذا جيد
لذلك يمكننا ببساطة إضافة هذه الحالة
في نطاق الحالات غير المتقاربة.
دعونا نلخص نتائجنا هنا.
التكامل الذي تحدثنا عنه يتلاقى إذا كان A
أكبر من 1 ولا
تتلاقى خلاف ذلك. هذا جيد
ولكن لماذا نحتاج إلى هذه الحالة الخاصة والبسيطة؟
عندما تختار في الفكرة التالية، في
بعض الأحيان يكون من الصعب أو المستحيل
حساب antiverivative الفعلي أو بشكل جيد،
فإنه من الأسهل مقارنة الوظيفة ببعض التي
هي في الواقع في معرفة الإجابة.
على سبيل المثال، يفترض فقط أننا
نتحدث عن تكامل غير لائق للوظيفة f،
ولدينا بعض الوظائف على سبيل المثال، ونحن نعلم
أن كلتا الوظيفتين تكمن فوق الصفر،
وهما إيجابيتان
ووظيفة واحدة هي دائما أكبر من ذلك.
على سبيل المثال، دعونا نفترض أن g أكبر من f في
كل نقطة والتكامل غير لائق من g يتلاقى.
ثم مفهومة،
فإن التكامل السليم من و يتلاقى أيضا
لأنه على طول الطريق لا يمكن أن يكون
متقاربة لأنها المنطقة
تحت هذا المنحنى تقترب من اللانهاية.
ولكن إذا كانت المنطقة تحت منحنى
f منحنى اليمين، تقترب من اللانهاية،
فإن المنطقة تحت منحنى g تقترب أيضًا من
اللانهاية لأن أحدهما يتضمن الآخر فعليًا.
و بهذا المعنى, ينبغي أيضا أن تكون التكامل غير متقاربة.
هذا عادة ما يسمى المقارنة،
لإثبات دور المقارنة
من حيث ما إذا كان التكامل يتلاقى على ذلك.
دعونا نفكر فقط في بعض الأمثلة الأساسية هنا.
على سبيل المثال، لا يتجزأ الذي هو
X مقسوما على 1 زائد س مربع.
حسنا، يمكنك المضي قدما
في الحساب الفعلي للمشتقات،
ولقد قمنا بذلك مع
حدودنا السحرية حيث
بدأنا نتحدث عن المشتقات المضادة.
ولكن هنا، سوف نقول شيئا أكثر عمومية.
على سبيل المثال، إذا ألقينا نظرة
على الدالة x مقسوما على 1 زائد x مربع،
كنت قد رأيت في الواقع مضاد الاشتقاق منه.
لقد بدأنا بها عندما
كنا نستخدم لوحة MagicTransfer الخاصة بنا.
ولكن في حين أنه من السهل
فقط اشتقاق إجابة هنا ومحاولة العثور على حدود،
عندما أذهب إلى القاعدة مع
طريقة أسهل بكثير
هنا باستخدام قاعدة المقارنة لدينا.
لذلك لدينا وظيفة لدينا،
وهو x مقسوما على 1 زائد س مربع.
في الواقع، سأقول أنه قابل
للمقارنة بطريقة أو بأخرى مع بعض الوظائف مع إجابة معروفة.
في الوقت الحالي، نحن نعرف الإجابة عن جميع الوظائف
التي هي وظيفة قوة x،
لذلك ربما يمكننا الخروج مع بعض المقارنة معها.
لذا من الناحية التقريبية،
نحن ننظر إلى الوظيفة التي هي
قريبة إلى حد ما من 1 مقسوما
على x لأن القاسم ينمو كـ x،
وينمو المذهب بشكل أساسي كـ x مربع،
وهي مكافئة بهذه الطريقة.
لذلك من أجل فهم كيف يتلاقى هذا التكامل،
نحن بحاجة إلى فهم وتذكر كيف يتلاقى هذا.
كما كنا سابقا, ذكر
جزء لا يتجزأ من وظيفة
1 مقسوما على س لا تتلاقى.
لذلك بشكل تعسفي، نحن
بحاجة إلى التوصل إلى بعض عدم المساواة هنا،
على سبيل المثال، نحن بحاجة إلى القول
أنه بما أنه لا يتلاقى،
فإن الوظيفة التي نقوم بمقارنتها
والتي يجب أن تكون أكبر كما تحتاج.
لذلك ربما يجب أن نكتب
شيئا مثل 1 مقسوما على 2 هنا.
ولكن بشكل غير رسمي،
وظائف مكافئة هي في الأساس نفسها،
فهي تحدها [غير مسموع].
حتى إذا كان واحد منهم يتلاقى،
ثم الآخر يتلاقى.
إذا لم يتلاقى أحدهم،
فإن الآخر لا يتلاقى.
وبالتالي يمكننا حتى تعميم قاعدة المقارنة لدينا
في فهم
كيف تبدو الوظائف المكافئة في الواقع هنا.
لذلك باستخدام هذا المثال السهل جدا،
يمكننا، دون
أي حسابات لمضادات المشتقات الإضافية،
مجرد استدعاء الإجابة على الفور.
في نفس الوقت، دعونا فقط نلقي
نظرة على الأس توزيع غاوس من ناقص x مربع.
هنا، سأحاول التخطيطي هنا من أجلك،
وما سننظر إليه،
سننظر إلى حقيقة
ما إذا كان هذا التكامل يتلاقى.
لذلك نحن بحاجة إلى التوصل إلى شيء
يمكن استخدامه كمقارنة لهذه الوظيفة.
لنأخذ لحظة هنا ونفكر بالأمر
أولا، ما يجب أن
نفهم، يجب أن نفهم أن هذه الوظيفة كما
نعرف في حين كنا
نتحدث عن وظائف التقارب،
انها سريعة للغاية تقترب من
0 في حين أنها ترتفع إلى لانهائية.
وهو أسرع من أي وظيفة متعددة الحدود الممكنة،
انها أسرع من أي وظيفة الطاقة.
لذا إذا استخدمنا هذه الوظيفة ونحاول مقارنتها
ببعض الوظائف الكثيرة الحدود المعروفة،
فنحن نعرف الإجابة بالفعل.
ولكن بينما نسحب الوظائف،
هذا أمر صعب لأننا تحدثنا بالفعل
عن التقارب على
الجزء من واحد إلى زائد اللانهاية،
والآن نحن نتحدث عن من 0 زائد واحد إلى اللانهاية.
كما تعلمون جميعا،
0 هو أكثر تعقيدا قليلا من واحد
نحو وظائف واحدة مقسوما على x أو x مربع.
انها نقطة أخرى صعبة بالنسبة لها.
لذلك نحن لن نقارنها مع وظيفة الطاقة،
ونحن في طريقنا لمقارنتها مع
وظيفة معروفة على نطاق واسع لقد
حسبناها في الواقع على الفيديو السابق.
هل تذكر، لقد عملنا مع
وظيفة وهو ما يسمى
التوزيع الأسي أو مجرد الأسس الأساسية
للوظائف، من المحور الخطي.
لذلك اسمحوا لي أن مجرد النظر في واحد التالية.
هل هذا التفاوت لا يزال قائما؟
الأس من ناقص x مربع هو
أكبر أو أقل من الأس ناقص س
حسنا، من أجل فهمه،
نحن بحاجة لمقارنة تلك القوى لأننا ننظر إلى
الأسس من الأرقام السالبة بوضوح.
وبالتالي فإن أكبر الأرقام تسمح
الأس هنا، أو من الواضح أن
x مربع أكبر من x إذا كان x
أكبر أو يساوي واحد.
لذلك بالنسبة للجزء من واحد
إلى زائد اللانهاية، هذا التفاوت يحمل،
وبالتالي يمكننا أن
نسميها بسهولة عاجلة لأننا في الواقع قمنا
بحساب جزء لا يتجزأ من
الأس ناقص x كميزة سابقة،
وكان هناك إجابتنا،
لذلك من الواضح أن الحدود موجودة.
فماذا عن
التكامل الفعلي الذي ينظر إليه ليس من واحد،
لذلك بالإضافة إلى اللانهاية، وهو من 0 إلى زائد اللانهاية؟
هذا أمر سهل لأنه كما نعلم،
يمكننا إضافة مناطق تحت المنحنيات
لأنه إذا كنت ترغب في حساب مساحة رقمين،
تحتاج فقط إلى تلخيص
مناطق مسارين منفصلين.
لذلك نحن بحاجة إلى كتابة جزء لا يتجزأ من 0 إلى 1،
بالإضافة إلى جزء لا يتجزأ من 1 إلى زائد اللانهاية.
أما بالنسبة للثانية،
فنحن في الواقع نعرف أنه يتلاقى بالضرورة.
ولكن بالنسبة للثانية،
نحن لا نهتم حتى بالتلاقي
لأنه واضح لا يتجزأ،
والأهم من ذلك، مع
حدود محدودة، مع حدود محدودة.
والأهم من ذلك، كيف أن الوظيفة التي يتم
دمجها لا تحتوي على أي توقف على الأجزاء،
لذلك فهي بالضرورة قابلة للتكامل.
ونتيجة لذلك، هذا
هو أيضا عدد لطيف،
وجميع التقارب وجود متكامل.
هذا شيء مثير للاهتمام حقا
لأنه كما ذكرنا سابقا،
لا يمكننا حساب antiderivative
لدينا الأس من ناقص x وظيفة مربع،
ولكن يمكننا في الواقع ببساطة أن نسميها متقاربة.
لذلك فمن المنطقي أن
كل علمنا الصعب هنا مفيد للغاية،
ويمكن استخدامه في فهم لماذا
ننظر في الواقع بعض الأمثلة الأساسية من نظرية الاحتمالات،
ولا
نسميها في الواقع حساسة وكل تلك الأشياء.
لذلك في هذه المرحلة بالذات،
نحن في الواقع في قوة حساب
أي تكامل محدد محتمل كما هو الحال مع التكامل
السليم وغير السليم باستخدام
نظريتنا الأساسية للتفاضل والتكامل.
الآن، حان الوقت للتفكير في كيف
تشير الطرق العددية للحساب
إلى أنه ليس من الممكن حساب الأعمال المضادة للاشتقاق،
وما الذي يمثله،
وهذا هو موضوع الفيديو التالي لدينا.