Betrachten wir also
ein weiteres entscheidendes Beispiel für unsachgemäße Integrale:
das Integral der Machtfunktion.
Also ist es x powered minus a.
Um der Einfachheit willen,
nehmen wir zunächst an, dass a nicht gleich ist.
Ich werde das aufschreiben.
Das ist unser erster Fall.
Also, was wir hier tun sollten,
sollten wir unsere antiderivative berechnen.
Um dies zu tun, müssen wir eins
durch Kraft von ax plus eins teilen,
dies führt zu einem Eins minus a multipliziert
mit x angetrieben eins minus a. Danach müssen wir unser x durch obere und untere Grenzen ersetzen.
Die Frage der Konvergenz
beruht also auf
der Tatsache, dass am oberen Punkt eine Grenze besteht.
Also müssen wir feststellen, wo
die Grenze dieser Funktion an
der Plus-Unendlichkeit tatsächlich existiert
und in welchen Fällen nicht.
Um zu verstehen,
geht es um eine Art [unhörbar].
Denn wieder einmal haben wir
einen konstanten Multiplikator und dann haben wir Power-Funktion.
Also müssen wir entscheiden, ob die Power-Funktion
Grenze als Plus-Unendlichkeit hat oder nicht.
Es ist ziemlich einfach, weil, wie Sie sich erinnern,
die Power-Funktion mit
positiver Macht tatsächlich nähert sich plus Unendlichkeit.
Es sieht so aus oder so.
Die Power-Funktion mit negativen Werten
sieht tatsächlich so aus,
und tatsächlich negative Leistung.
Es gibt also eine einfache.
Wenn die Potenz von X
positiv ist, existiert das Limit nicht.
Der Funktionsansatz ist plus Unendlichkeit an der Unendlichkeit.
Wenn die Leistung tatsächlich negativ ist,
dann nähert sich die Funktion Null,
fügt ein Plus Unendlichkeit hinzu.
Also werden wir diese Ergebnisse aufschreiben.
Wenn a nicht die 1 ist,
und wenn ein minus 1,
das ist 1 minus a größer als 0
, dann konvergiert das Integral nicht.
Ich werde
dort symbolisch schreiben und schließe es einfach.
Wenn 1 minus a tatsächlich negativ ist, als Integral konvergiert.
Was für den Fall eines gleich 1.
Wir werden jetzt auf Integral von 1 durch X geteilt betrachten,
und [unhörbar] Sie wissen, dass die Antwort
Logarithmus des absoluten Wertes von X ist.
Sie müssen mit oberen und unteren Grenzen ersetzen,
und noch einmal müssen wir verstehen, was
die Grenze des Logarithmus von plus Unendlichkeit ist.
Wie Sie wissen,
ist es plus Unendlichkeit und somit
konvergiert das Integral nicht. Das ist in Ordnung.
So können wir diesen Fall einfach in
den Geltungsbereich für die nicht konvergenten Fälle hinzufügen.
Lassen Sie uns hier unsere Ergebnisse zusammenfassen.
Die Integrale, über die wir gesprochen haben, konvergieren, wenn A
größer als 1 ist und nicht
anderweitig konvergiert. Das ist in Ordnung.
Aber warum brauchen wir diese speziellen und ziemlich einfachen Fall?
Wenn Sie sich für folgende Idee entscheiden,
ist es manchmal schwer oder unmöglich,
tatsächliche antiderivative oder gut
zu berechnen, es ist einfacher, die Funktion mit einigen zu vergleichen, die
tatsächlich in der Kenntnis der Antwort ist.
Zum Beispiel nimmt nur an, dass wir
über unsachgemäße Integral der Funktion f sprechen,
und wir haben eine Funktion zum Beispiel g. Wir wissen,
dass beide Funktionen über Null liegen,
sie sind beide positiv und
eine Funktion ist immer größer als das.
Nehmen wir zum Beispiel an, dass g an
jedem Punkt größer als f ist und das unsachgemäße Integral von g konvergiert.
Dann verständlich,
das richtige Integral von f konvergiert auch,
weil es auf dem Weg nicht
konvergent sein kann, da seine Fläche
unter dieser Kurve unendlich nähert.
Aber wenn die Fläche unter
f Kurve eine rechte Kurve, nähert sich unendlich,
dann nähert sich die Fläche unter der g-Kurve auch
Unendlichkeit, weil eine tatsächlich die andere einschließt.
In diesem Sinne sollten Integrale auch nicht konvergent sein.
Das ist normalerweise ein genannter Komparator,
um die Rolle des Vergleichs in Bezug darauf zu beweisen
, ob das Integral darauf konvergiert.
Lassen Sie uns nur ein grundlegendes Beispiel hier denken.
Zum Beispiel das Integral, das
X geteilt durch 1 plus x quadriert ist.
Nun, Sie können
mit der tatsächlichen Berechnung des Antiderivats fortfahren,
und wir haben es mit
unseren magischen Grenzen gemacht, wo wir
anfingen, über Antiderivate zu sprechen.
Aber hier werden wir etwas allgemeineres sagen.
Zum Beispiel, wenn wir einen Blick auf
die Funktion x dividiert durch 1 plus x quadriert werfen,
haben Sie tatsächlich das Antideritiv davon gesehen.
Wir haben damit begonnen, als
wir unser MagicTransfer-Board benutzten.
Aber während es einfach ist,
hier einfach eine Antwort abzuleiten und zu versuchen, Grenzen zu finden,
wenn ich
hier mit einer viel einfacheren Methode mit unserer Vergleichsregel in die Regel gehe.
So haben wir unsere Funktion,
die x geteilt durch 1 plus x quadriert ist.
In der Tat werde ich sagen, dass es irgendwie mit einer
Funktion mit bekannter Antwort vergleichbar ist.
Im Moment kennen wir die Antwort für alle Funktionen
, die eine Power-Funktion von x sind.
So können wir vielleicht einen Vergleich damit finden.
So asymptotisch gesehen
betrachten wir die Funktion, die irgendwie
nahe an 1 ist, geteilt durch x,
weil der Nenner als x wächst,
und der Nenner wächst im Grunde als x quadriert,
und sie sind auf diese Weise äquivalent.
Um zu verstehen, wie dieses Integral konvergiert,
müssen wir verstehen und uns daran erinnern, wie dies konvergiert.
Wie wir zuvor, angegeben
Integral der Funktion
1 geteilt durch x nicht konvergieren.
Wir
müssen also willkürlich sagen, dass wir hier einige Ungleichheiten finden müssen,
zum Beispiel müssen wir sagen,
dass, da sie nicht konvergiert,
die Funktion, die wir vergleichen,
die größer sein sollte, wie es benötigt.
Also vielleicht sollten wir
hier etwas wie 1 durch 2 geteilt schreiben.
Aber informell gesprochen
sind äquivalente Funktionen im Grunde die gleichen,
sie sind durch [unhörbar] begrenzt.
Also, wenn einer von ihnen konvergiert,
dann konvergiert der andere.
Wenn einer von ihnen nicht konvergiert,
dann konvergiert der andere nicht.
So können wir sogar unsere Vergleichsregel
verallgemeinern, um zu verstehen,
wie äquivalente Funktionen hier tatsächlich aussehen.
Mit diesem sehr einfachen Beispiel
können wir,
ohne Berechnungen zusätzlicher Antiderivate,
einfach die Antwort sofort aufrufen.
Gleichzeitig werfen wir einen Blick
auf den Gauß-Distribution-Exponent von minus x quadriert.
Hier werde ich versuchen, schematische hier für Sie zu suchen,
und was wir uns ansehen werden, werden
wir uns die Tatsache ansehen,
ob dieses Integral konvergiert.
Also müssen wir uns etwas einfallen
lassen, das als Vergleich für diese Funktion verwendet werden kann.
Lasst uns einen Moment hier nehmen und darüber nachdenken.
Erstens, was wir verstehen sollten,
sollten wir verstehen, dass diese Funktion, wie wir
wissen, während wir
über Funktionen Asymptotik sprechen,
es ist extrem schnell nähert sich
0, während es bis zum Unendlichen steigt.
Es ist schneller als jede mögliche Polynomfunktion,
es ist schneller als jede Power-Funktion.
Wenn wir also diese Funktion verwenden und versuchen, sie
mit einer bekannten Polynomfunktion zu vergleichen,
kennen wir bereits die Antwort.
Aber wenn wir die Funktionen herunterziehen,
ist das schwierig, weil wir tatsächlich
über die Konvergenz auf
dem Segment von eins zu plus Unendlichkeit gesprochen haben,
und jetzt sprechen wir von 0 plus eins bis unendlich.
Wie Sie alle verstehen,
ist 0 etwas komplexer als eins
gegenüber Funktionen eins geteilt durch x oder x quadriert.
Es ist ein weiterer kniffliger Punkt dafür.
Also werden wir es nicht mit der Power-Funktion vergleichen,
und wir werden es mit
einer weithin bekannten Funktion vergleichen, die wir
tatsächlich auf dem vorherigen Video berechnet haben.
Erinnern Sie sich, wir haben mit
einer Funktion gearbeitet, die exponentielle
Verteilung oder einfach nur grundlegende Exponente
von Funktionen, der linearen Achse genannt wird.
Also lassen Sie mich einfach die folgende betrachten.
Hält diese Ungleichheit?
Exponent von minus x quadriert ist
größer oder kleiner als Exponent von minus x.
Nun, um es zu verstehen,
müssen wir diese Kräfte vergleichen, weil wir auf
Exponenten von offensichtlich negativen Zahlen suchen.
Daher erlaubt die größte Zahl
einen Exponenten hier, oder gut offensichtlich,
x quadriert ist größer als x, wenn x
größer oder gleich eins ist.
Also für das Segment von eins
bis plus Unendlichkeit gilt diese Ungleichheit,
und so können wir
es leicht als dringend bezeichnen, weil wir tatsächlich
das Integral des
Exponenten von minus x als das vorherige Merkmal berechnet haben,
und es gab unsere Antwort,
also gibt es offensichtlich Grenzen.
Also, was für das eigentliche
Integral, dass Blick auf die nicht von einem,
also plus Unendlichkeit, die von 0 bis plus Unendlichkeit ist?
Das ist einfach, weil wir, wie
wir wissen, Bereiche unter Kurven hinzufügen können,
denn wenn Sie die Fläche von zwei Figuren berechnen möchten,
müssen Sie nur
die Bereiche von zwei separaten Pfaden zusammenfassen.
Also müssen wir das Integral von 0 bis 1,
plus das Integral von 1 bis plus unendlich schreiben.
Was die zweite betrifft, so
wissen wir eigentlich, dass sie notwendigerweise konvergiert.
Aber was die zweite betrifft, so
kümmern wir uns nicht einmal um die Konvergenz,
denn sie ist ein integraler
definitiver, und noch wichtiger, mit
endlichen Grenzen, mit endlichen Grenzen.
Noch wichtiger ist, dass die Funktion, die integriert wird,
keine Unterbrechungen in den Segmenten hat,
daher ist sie notwendigerweise integrierbar.
Infolgedessen
ist dies auch eine schöne Zahl,
und alle integrale Existenz Konvergenz.
Das ist eine wirklich interessante Sache,
denn wie wir bereits erwähnt
haben, können wir das antiderivative
für unseren Exponenten der minus x quadrierten Funktion nicht berechnen,
aber wir können es eigentlich ganz einfach konvergent nennen.
Es macht also Sinn, dass
all unsere kniffligen Wissenschaft hier äußerst nützlich ist
und zum Verständnis verwendet werden kann, warum wir tatsächlich
ein grundlegendes Beispiel aus der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachten
und
es nicht wirklich als sensibles und all das Zeug bezeichnen.
Genau an diesem Punkt
sind wir tatsächlich in der Macht,
alle möglichen definitiven Integrale zu berechnen, wie bei
richtigen und unsachgemäßen Integralen, die
unseren grundlegenden Satz von Kalkül verwenden.
Jetzt ist es an der Zeit, darüber nachzudenken, wie die numerischen
Berechnungsmethoden implizieren, dass es nicht
möglich ist, antiderivative Werke zu berechnen,
und wofür steht es,
und das ist das Thema unseres folgenden Videos.