Por lo tanto, consideremos
otro ejemplo crucial de integrales impropias:
la integral de la función de poder.
Así que es x powered menos a.
Por el bien de la simplicidad,
primero supongamos que a no es igual a uno.
Voy a escribir esto.
Es nuestro primer caso.
Así que lo que deberíamos hacer aquí,
debemos calcular nuestra antiderivada.
Para hacerlo, tenemos que dividir uno
por la potencia del hacha más uno,
esto resulta en un uno menos a multiplicado
por x alimentado uno menos
a. Después, tenemos que
sustituir nuestra x por límites superiores e inferiores.
Por lo tanto, la cuestión de la convergencia
se basa en el hecho de
la existencia de un límite en el punto superior.
Así que necesitamos establecer dónde
existe realmente el límite de esta función en el más infinito
y en qué casos no lo hace.
Con el fin de entender,
se trata de una especie de [inaudible].
Porque una vez más tenemos
un multiplicador constante y luego tenemos la función de potencia.
Así que tenemos que decidir si la función de potencia
tiene límite como un plus infinito o no.
Es bastante fácil porque como recuerdas
la función de potencia con
potencia positiva en realidad se acerca más el infinito.
Se ve así o como esto.
La función de potencia con valores negativos
en realidad se ve así,
y en realidad la potencia negativa.
Así que hay uno simple.
Si la potencia de X es
positiva entonces el límite no existe.
El enfoque de la función es más infinito en el infinito.
Si la potencia en realidad es negativa,
entonces la función se acerca a cero,
agrega un plus infinito.
Así que vamos a anotar estos resultados.
Si a no es el 1,
y si un menos 1,
eso es 1 menos a es mayor que 0,
entonces, la integral no converge.
Voy a
escribir simbólicamente allí y sólo lo cierro.
Si 1 menos a es realmente negativo como converge integral.
¿ Qué para el caso de un igual a 1.
Ahora vamos a mirar integral de 1 dividido por X,
y [inaudible] usted sabe que la respuesta
es logaritmo del valor absoluto de X.
Usted necesita sustituir con límites superiores e inferiores,
y una vez más necesitamos entender cuál es
el límite de logaritmo de más infinito es.
Como bien sabes,
es más infinito y por lo tanto la integral
no converge. Eso está bien.
Así que podemos simplemente añadir este caso en
el ámbito de los casos no convergentes.
Resumiremos aquí nuestros resultados.
Las integrales de las que hemos hablado convergen si A es
mayor que 1 y no
converge de otra manera. Eso está bien.
Pero, ¿por qué necesitamos estos casos especiales y bastante simples?
Cuando eliges seguir la idea,
a veces es difícil o imposible calcular antiderivada real o bien,
es más fácil comparar la función con alguna que
está en realidad en el conocimiento de la respuesta.
Por ejemplo, simplemente asume que estamos
hablando de integral inadecuada de la función f,
y tenemos alguna función, por ejemplo, g. Sabemos
que ambas funciones se encuentran sobre cero,
ambas son positivas y
una función es siempre mayor que eso.
Por ejemplo, supongamos que g es mayor que f en
cada punto y la integral inadecuada de g converge.
Entonces comprensible,
la integral adecuada de f converge también
porque a lo largo del camino no puede ser
convergente ya que su área
bajo esta curva se acerca al infinito.
Pero si el área bajo
f curva una curva derecha, se acerca al infinito,
entonces el área bajo la curva g también se acerca al
infinito porque uno realmente incluye al otro.
En ese sentido, las integrales también deben ser no convergentes.
Eso es normalmente un comparador llamado,
para demostrar el papel de comparación en términos
de si la integral converge en él.
Pensemos en un ejemplo básico aquí.
Por ejemplo, la integral que es
X dividida por 1 más x al cuadrado.
Bueno, puedes proceder
con el cálculo real de la antiderivada,
y lo hemos hecho con
nuestras fronteras mágicas donde
empezamos a hablar de antiderivados.
Pero aquí, vamos a decir algo más general.
Por ejemplo, si echamos un vistazo a
la función x dividida por 1 más x al cuadrado,
en realidad has visto el antideritivo de la misma.
Empezamos con él cuando
estábamos usando nuestra placa MagicTransfer.
Pero aunque es fácil
obtener una respuesta aquí e intentar encontrar límites,
cuando entro en regla con
algún método mucho más fácil
aquí usando nuestra regla de comparación.
Así que tenemos nuestra función,
que es x dividido por 1 más x cuadrado.
De hecho, voy a decir que es de alguna manera
comparable con alguna función con respuesta conocida. En
este momento, sabemos la respuesta para todas las funciones
que son una función de potencia de x.
Así que tal vez podamos llegar a alguna comparación con ella.
Así que asintóticamente hablando,
estamos mirando la función que de alguna manera está
cerca de 1 dividida por x
porque el denominador crece como x,
y denominar básicamente crece como x cuadrado,
y son equivalentes de esta manera.
Así que para entender cómo converge esta integral,
necesitamos entender y recordar cómo converge esto.
Como hemos dicho anteriormente,
Integral de la función
1 dividido por x no converge.
Así que, arbitrariamente hablando,
tenemos que encontrar alguna desigualdad aquí,
por ejemplo, tenemos que decir es
que, puesto que no converge,
la función que estamos comparando,
que debería ser mayor a medida que necesita.
Así que tal vez deberíamos escribir
algo así como 1 dividido por 2 aquí.
Pero informalmente hablando,
las funciones equivalentes son básicamente las mismas,
están limitadas por [inaudible].
Entonces, si uno de ellos converge,
entonces el otro converge.
Si uno de ellos no converge,
entonces el otro no converge.
Por lo tanto, incluso podemos generalizar nuestra regla de comparación para
comprender
cómo se ven realmente las funciones equivalentes aquí.
Por lo tanto, al usar este ejemplo muy fácil
, podemos, sin
ningún cálculo de antiderivados adicionales,
simplemente llamar a la respuesta inmediatamente.
Al mismo tiempo, vamos a echar un
vistazo al exponente de distribución Gauss de menos x cuadrado.
Aquí, voy a tratar de un esquema aquí para usted,
y lo que vamos a ver,
vamos a ver el hecho de
si esta integral converge.
Por lo tanto, tenemos que encontrar algo
que se pueda usar como comparación para esta función.
Tomemos un momento aquí y pensémoslo.
En primer lugar, lo que
debemos entender, debemos entender que esta función como
sabemos mientras estábamos
hablando de funciones asintóticas,
es extremadamente rápido acercándose a
0 mientras se eleva hasta el infinito.
Es más rápido que cualquier función polinómica posible,
es más rápido que cualquier función de potencia.
Entonces, si usamos esta función e intentamos compararla
con alguna función polinomial conocida,
ya conocemos la respuesta.
Pero a medida que bajamos las funciones,
eso es complicado porque en realidad hemos
hablado de la convergencia en
el segmento de uno a más infinito,
y ahora estamos hablando de 0 más uno al infinito.
Como todos ustedes entienden,
0 es un poco más complejo que una
para funciones una dividida por x o x cuadrado.
Es otro punto complicado para ello.
Así que no vamos a compararlo con la función de potencia,
y vamos a compararlo con
una función ampliamente conocida que hemos
calculado en el video anterior.
¿ Recuerdas, hemos trabajado con
una función que se llama
distribución exponencial o sólo exponentes básicos
de funciones, de eje lineal.
Así que déjame considerar la siguiente.
¿ Se mantiene esta desigualdad?
Exponente de menos x cuadrado es
mayor o menor que exponente de menos x.
Bueno, para entenderlo,
necesitamos comparar esos poderes porque estamos viendo
exponentes de números obviamente negativos.
Por lo tanto, los números más grandes permiten
un exponente aquí, o bien obviamente,
x cuadrado es mayor que x si x
es mayor o igual a uno.
Así que para el segmento de uno
a más infinito, esta desigualdad se mantiene,
y por lo tanto podemos
llamarlo fácilmente urgente porque en realidad hemos
calculado la integral del
exponente de menos x como la característica anterior,
y no estaba nuestra respuesta,
por lo que obviamente existen límites.
Entonces, ¿qué para la
integral real que miran que no es de uno,
así que más infinito, que es de 0 a más infinito?
Eso es fácil porque, como sabemos,
podemos añadir áreas bajo curvas
porque si quieres calcular el área de dos figuras,
solo tienes que resumir
las áreas de dos rutas separadas.
Por lo tanto, necesitamos escribir la integral de 0 a 1,
más la integral de 1 a más infinito. En
cuanto al segundo,
en realidad sabemos que necesariamente converge.
Pero en cuanto a la segunda,
ni siquiera nos importa la convergencia
porque es una integración definida,
y lo que es más importante, con
límites finitos, con límites finitos.
Más importante aún, cómo la función que se integra no
tiene ninguna discontinuidad en los segmentos,
por lo que necesariamente es integrable.
Así que como resultado esto,
también es un buen número,
y toda la convergencia de la existencia integral.
Eso es algo realmente interesante
porque como dijimos anteriormente,
no podemos calcular la antiderivada
para nuestro exponente de la función menos x cuadrado,
pero en realidad podemos simplemente llamarla convergente.
Así que tiene sentido que
toda nuestra ciencia difícil aquí es extremadamente útil,
y se puede utilizar en la comprensión por qué realmente
consideramos algún ejemplo básico de la teoría de la probabilidad,
y en realidad no
lo llama un sensible y todas esas cosas.
Así que en este mismo punto,
estamos en el poder de calcular
cualquier posible integral definida como con
integrales adecuadas e inadecuadas usando
nuestro teorema fundamental del cálculo.
Ahora, es el momento de pensar en cómo los métodos numéricos
para el cálculo implican que no es
posible calcular los trabajos antiderivados,
y qué significa,
y ese es el tema de nuestro siguiente video.