Prenons donc
un autre exemple crucial d'intégrales inappropriées :
l'intégrale de la fonction de pouvoir.
Donc, c'est x powered moins a.
Par souci de simplicité,
supposons tout d'abord qu'a n'est pas égal.
Je vais écrire ça.
C' est notre premier cas.
Donc, ce que nous devrions faire ici,
nous devrions calculer notre antidérivé.
Pour ce faire, nous devons diviser un
par puissance de hache plus un,
cela se traduit par un moins a multiplié
par x alimenté un moins a.
Ensuite, nous devons
remplacer notre x par des limites supérieures et inférieures.
Donc, la question de
la convergence ici découle en fait de
l'existence d'une limite au point supérieur.
Nous devons donc établir où
la limite de cette fonction à
l'infini plus existe réellement
et dans quels cas elle ne le fait pas.
Pour comprendre,
il s'agit d'une sorte de [inaudible].
Parce qu'une fois de plus, nous avons
un multiplicateur constant et ensuite nous avons une fonction de puissance.
Nous devons donc décider si la fonction de puissance
a une limite comme un infini plus ou ne le fait pas.
C' est assez facile parce que, comme vous vous souvenez,
la fonction de puissance avec
puissance positive approche en fait plus l'infini.
On dirait ça ou comme ça.
La fonction de puissance avec des valeurs négatives
ressemble en fait à ceci,
et en fait la puissance négative.
Il y en a donc un simple.
Si la puissance de X est
positive alors la limite n'existe pas.
L' approche de la fonction est plus l'infini à l'infini.
Si la puissance est réellement négative,
alors la fonction approche zéro,
ajoute un infini plus.
Nous allons donc écrire ces résultats.
Si a n'est pas le 1,
et si un moins 1,
c'est 1 moins a est supérieur à 0,
alors, l'intégrale ne converge pas.
Je vais
écrire symboliquement là et je le ferme.
Si 1 moins a est réellement négatif car l'intégrale converge.
Que pour le cas d'un égal à 1.
Nous allons maintenant regarder l'intégrale de 1 divisé par X,
et [inaudible] vous savez que la réponse
est logarithme de la valeur absolue de X.
Vous devez remplacer par des limites supérieures et inférieures,
et encore une fois nous devons comprendre quelle est
la limite du logarithme de plus l'infini.
Comme vous le savez bien,
c'est plus l'infini et donc l'intégrale
ne converge pas. C'est très bien.
Nous pouvons donc simplement ajouter ce cas dans
la portée des cas non convergents.
Résumons ici nos résultats.
Les intégrales dont nous avons parlé convergent si A est
supérieur à 1 et ne
convergent pas autrement. C'est très bien.
Mais pourquoi avons-nous besoin de ces cas spéciaux et assez simples ?
Lorsque vous choisissez de suivre l'idée,
parfois il est difficile ou impossible de
calculer l'antidérivé réel ou bien,
il est plus facile de comparer la fonction à certains qui
est en fait dans la connaissance de la réponse.
Par exemple, suppose simplement que nous
parlons de l'intégrale inappropriée de la fonction f,
et nous avons une fonction par exemple g. Nous savons
que les deux fonctions se trouvent au-dessus de zéro,
elles sont toutes les deux positives et
une fonction est toujours plus grande que cela.
Par exemple, supposons que g est supérieur à f à
chaque point et que l'intégrale inappropriée de g converge.
Alors compréhensible,
l'intégrale appropriée de f converge aussi
parce que le long du chemin il ne peut pas être
convergent car sa zone
sous cette courbe approche de l'infini.
Mais si la zone sous
f courbe une courbe droite, approche de l'infini,
alors la zone sous la courbe g approche aussi l'
infini parce que l'une inclut réellement l'autre.
En ce sens, les intégrales devraient également être non convergentes.
C' est normalement un comparateur appelé,
pour prouver le rôle de la comparaison en termes
de convergence de l'intégrale sur elle.
Pensons simplement à un exemple de base ici.
Par exemple, l'intégrale qui est
X divisé par 1 plus x carré.
Eh bien, vous pouvez procéder au
calcul réel de l'antidérivé,
et nous l'avons fait avec
nos frontières magiques où nous avons
commencé à parler d'anti-dérivés.
Mais ici, nous allons dire quelque chose de plus général.
Par exemple, si nous regardons
la fonction x divisée par 1 plus x carré,
vous avez en fait vu l'antidéritif de celui-ci.
Nous avons commencé avec ça quand nous
utilisions notre carte MagicTransfer.
Mais alors qu'il est facile de
dériver une réponse ici et d'essayer de trouver des limites,
quand je vais en règle avec
une méthode beaucoup plus facile
ici en utilisant notre règle de comparaison.
Donc, nous avons notre fonction,
qui est x divisé par 1 plus x carré.
En fait, je vais dire que c'est en quelque sorte
comparable à une fonction avec une réponse connue.
En ce moment, nous savons répondre pour toutes les fonctions
qui sont une fonction de puissance de x.
alors peut-être que nous pouvons trouver une comparaison avec elle.
Donc asymptotiquement parlant,
nous regardons la fonction qui est en quelque sorte
proche de 1 divisé par x
parce que le dénominateur grandit comme x,
et dénominateur grandit fondamentalement comme x carré,
et ils sont équivalents de cette manière.
Donc, afin de comprendre comment cette intégrale converge,
nous devons comprendre et nous rappeler comment cela converge.
Comme nous avons précédemment, déclaré
Intégrale de la fonction
1 divisée par x ne converge pas.
Donc arbitrairement parlant, nous
devons trouver une certaine inégalité ici,
par exemple, nous devons dire
que, comme elle ne converge pas,
la fonction que nous comparons
qui devrait être plus grande que nécessaire.
Alors peut-être qu'on devrait écrire
quelque chose comme 1 divisé par 2 ici.
Mais de façon informelle,
les fonctions équivalentes sont fondamentalement les mêmes,
elles sont limitées par [inaudible].
Donc, si l'un d'eux converge,
alors l'autre converge.
Si l'un d'eux ne converge pas,
alors l'autre ne converge pas.
Ainsi, nous pouvons même généraliser notre règle de comparaison pour
comprendre
comment les fonctions équivalentes ressemblent réellement ici.
Donc, en utilisant cet exemple très facile
, nous pouvons, sans
aucun calcul d'antidérivés supplémentaires,
simplement appeler la réponse immédiatement.
En même temps, jetons un coup d'
oeil à l'exposant Gauss Distribution de moins x carré.
Ici, je vais essayer de schémas ici pour vous,
et ce que nous allons examiner,
nous allons voir
si cette intégrale converge.
Nous devons donc trouver quelque chose
qui peut être utilisé comme comparaison pour cette fonction.
Prenons un moment ici et réfléchissons-y.
Tout d'abord, ce que
nous devrions comprendre, nous devrions comprendre que cette fonction comme nous le
savons alors que nous
parlions de fonctions asymptotiques,
elle est extrêmement rapide approche
0 alors qu'elle monte jusqu'à l'infini.
Il est plus rapide que n'importe quelle fonction polynôme possible,
il est plus rapide que n'importe quelle fonction de puissance.
Donc, si nous utilisons cette fonction et nous essayons de la comparer
avec une fonction polynôme connue,
nous connaissons déjà la réponse.
Mais comme nous tirons vers le bas les fonctions,
c'est difficile parce que nous avons réellement
parlé de la convergence sur
le segment de un à plus l'infini,
et maintenant nous parlons de 0 plus un à l'infini.
Comme vous le comprenez tous,
0 est un peu plus complexe qu'
un pour les fonctions une divisée par x ou x carré.
C' est un autre point délicat pour ça.
Donc, nous ne allons pas la comparer avec la fonction d'alimentation,
et nous allons la comparer avec
une fonction largement connue que nous avons
réellement calculée sur la vidéo précédente.
Rappelez-vous, nous avons travaillé avec
une fonction qui est appelée
distribution exponentielle ou simplement
des exposants de base de fonctions, d'axe linéaire.
Laissez-moi donc considérer la suivante.
Cette inégalité est-elle valable ?
L' exposant de moins x carré est
supérieur ou inférieur à l'exposant de moins x.
Eh bien, pour le comprendre,
nous devons comparer ces pouvoirs parce que nous regardons
des exposants de nombres manifestement négatifs.
Ainsi, le plus grand nombre permet à
un exposant ici, ou bien évidemment,
x carré est supérieur à x si x
est supérieur ou égal à un.
Donc, pour le segment de un
à plus infini, cette inégalité tient,
et donc nous pouvons facilement
appeler cela urgent parce que nous avons effectivement
calculé l'intégrale de l'
exposant de moins x comme la caractéristique précédente,
et il y avait notre réponse,
donc des limites existent évidemment.
Alors que pour l'
intégrale réelle qui regarde qui n'est pas d'un,
donc plus l'infini, qui est de 0 à plus l'infini ?
C' est facile parce que, comme nous le savons,
nous pouvons ajouter des zones sous des courbes
parce que si vous voulez calculer la surface de deux figures,
il suffit de résumer
les zones de deux chemins distincts.
Nous devons donc écrire l'intégrale de 0 à 1,
plus l'intégrale de 1 à plus l'infini.
Quant à la seconde,
nous savons en fait qu'elle converge nécessairement.
Mais quant à la seconde,
nous ne nous soucions même pas de la convergence
parce qu'elle est une intégrale définie,
et plus important encore, avec des
limites finies, avec des limites finies.
Plus important encore, la façon dont la fonction est intégrée
n'a aucune interruption sur les segments,
donc elle est nécessairement intégrable.
Donc, en conséquence, c'
est aussi un bon nombre,
et toute convergence de l'existence intégrale.
C' est une chose vraiment intéressante
parce que, comme nous l'avons dit précédemment,
nous ne pouvons pas calculer l'antidérivé
pour notre exposant de la fonction moins x au carré,
mais nous pouvons en fait tout simplement l'appeler convergent.
Donc, il est logique que
toute notre science délicate ici est extrêmement utile,
et peut être utilisé pour comprendre pourquoi nous
considérons réellement un exemple de base de la théorie des probabilités,
et ne l'appelle pas réellement
un sensible et tout ce genre de choses.
Donc, à ce stade même,
nous sommes en fait en puissance de calcul
toutes les intégrales définies possibles comme avec les
intégrales appropriées et incorrectes en utilisant
notre théorème fondamental du calcul.
Maintenant, il est temps de réfléchir à la façon dont les méthodes numériques
de calcul impliquent qu'il n'est pas
possible de calculer des œuvres antidérivées,
et ce
que cela signifie, et c'est le thème de notre vidéo suivante.