Consideriamo quindi
un altro esempio cruciale di integrali impropri:
l'integrale della funzione di potenza.
Quindi è x alimentato meno a.
Per motivi di semplicità, in
primo luogo supponiamo che un non è uguale a uno.
Ho intenzione di scrivere questo.
E' il nostro primo caso.
Quindi quello che dovremmo fare qui,
dovremmo calcolare il nostro antiderivato.
Per fare ciò, abbiamo bisogno di dividere uno per
potenza di ascia più uno,
questo si traduce in uno meno a
moltiplicato per x alimentato uno meno
a. Successivamente, abbiamo bisogno di
sostituire la nostra x con i limiti superiori e inferiori.
La questione della convergenza qui
deriva quindi
dall'esistenza di un limite al punto superiore.
Quindi dobbiamo stabilire dove
esiste effettivamente il limite di questa funzione all'infinito più
e in quali casi non lo fa.
Per capire,
si tratta di una specie di [inudibile].
Perché ancora una volta abbiamo
un moltiplicatore costante e poi abbiamo la funzione di potenza.
Quindi dobbiamo decidere se la funzione di potenza
ha limite come un infinito più o meno.
È praticamente facile perché, come si ricorda,
la funzione di potenza con
potere positivo si avvicina in realtà più l'infinito.
Assomiglia a questo o a questo.
La funzione di potenza con valori negativi
in realtà assomiglia a questa,
e in realtà la potenza negativa.
Quindi ce n'è uno semplice.
Se la potenza di X è
positiva allora il limite non esiste.
L' approccio alla funzione è più l'infinito all'infinito.
Se la potenza è effettivamente negativa,
la funzione si avvicina a zero,
aggiunge un infinito più.
Quindi ci accingiamo a scrivere questi risultati.
Se a non è l'1,
e se un meno 1,
cioè 1 meno a è maggiore di 0,
allora, l'integrale non converge.
Scriverò simbolicamente lì e lo chiudo.
Se 1 meno a è in realtà negativo come converge integralmente.
Che cosa per il caso di un uguale a 1.
Stiamo andando ora a guardare l'integrale di 1 diviso per X,
e [inudibile] si sa che la risposta
è il logaritmo del valore assoluto di X.
È necessario sostituire con i limiti superiore e inferiore,
e ancora una volta abbiamo bisogno di capire qual è
il limite del logaritmo di più infinito è.
Come ben sapete,
è più l'infinito e quindi l'integrale
non converge. Questo va bene.
Quindi possiamo semplicemente aggiungere questo caso
nell'ambito per i casi non convergenti.
Riassumiamo qui i nostri risultati.
Gli integrali di cui abbiamo parlato convergono se A è
maggiore di 1 e non
convergono altrimenti. Questo va bene.
Ma perché abbiamo bisogno di questo caso speciale e piuttosto semplice?
Quando scegli di seguire l'idea,
a volte è difficile o impossibile
calcolare l'antiderivato effettivo o bene,
è più facile confrontare la funzione con alcuni che
è effettivamente nella conoscenza della risposta.
Ad esempio, solo presuppone che stiamo
parlando di integrale improprio della funzione f,
e abbiamo qualche funzione per esempio g. Sappiamo
che entrambe le funzioni si trovano su zero,
sono entrambe positive e
una funzione è sempre maggiore di quella.
Ad esempio, supponiamo che g sia maggiore di f in
ogni punto e che l'integrale improprio di g converga.
Quindi comprensibile,
anche l'integrale corretto di f converge
perché lungo la strada non può essere
convergente in quanto la sua area
sotto questa curva si avvicina all'infinito.
Ma se l'area sotto
f curva una curva a destra, si avvicina all'infinito,
allora l'area sotto la curva g si avvicina anche
all'infinito perché uno effettivamente include l'altro.
In questo senso, anche gli integrali dovrebbero essere non convergenti.
Questo è normalmente un chiamato comparatore,
per dimostrare il ruolo di confronto in termini
di se l'integrale converge su di esso.
Pensiamo solo a qualche esempio di base qui.
Ad esempio, l'integrale che è
X diviso per 1 più x al quadrato.
Beh, puoi procedere
con il calcolo effettivo dell'antiderivato,
e l'abbiamo fatto con i
nostri confini magici dove abbiamo
iniziato a parlare di antitderivati.
Ma qui, diremo qualcosa di più generale.
Ad esempio, se diamo un'occhiata
alla funzione x divisa per 1 più x al quadrato,
hai effettivamente visto l'antideritivo di esso.
Abbiamo iniziato con esso quando
stavamo usando la nostra scheda MagicTransfer.
Ma mentre è facile
ricavare una risposta qui e cercare di trovare dei limiti,
quando vado in regola con
un metodo molto più semplice
qui usando la nostra regola di confronto.
Quindi abbiamo la nostra funzione,
che è x diviso per 1 più x al quadrato.
In effetti, sto per dire è che è in qualche modo
paragonabile a qualche funzione con risposta nota.
In questo momento, sappiamo rispondere per tutte le funzioni
che sono una funzione di potenza di x.
Quindi forse possiamo trovare qualche confronto con esso.
Quindi, in modo asintotico,
stiamo guardando la funzione che è in qualche modo
vicino a 1 diviso per x
perché il denominatore cresce come x,
e denominano fondamentalmente cresce come x al quadrato,
e sono equivalenti in questo modo.
Quindi, per capire come converge questo integrale,
dobbiamo capire e ricordare come questo converge.
Come abbiamo precedentemente dichiarato
Integrale della funzione
1 diviso per x non converge.
Quindi, arbitrariamente parlando,
dobbiamo trovare qualche disuguaglianza qui,
per esempio, dobbiamo dire
che, poiché non converge,
la funzione che stiamo confrontando la cosa
che dovrebbe essere maggiore di cui ha bisogno.
Quindi forse dovremmo scrivere
qualcosa come 1 diviso per 2 qui.
Ma informalmente parlando,
le funzioni equivalenti sono fondamentalmente le stesse,
sono delimitate da [inudibile].
Quindi se uno di loro converge,
allora l'altro converge.
Se uno di loro non converge,
l'altro non converge.
Così possiamo anche generalizzare la nostra regola di confronto per
capire
come funzioni equivalenti effettivamente sembrano qui.
Quindi, usando questo esempio molto semplice
, possiamo,
senza calcoli di antiderivati aggiuntivi,
chiamare immediatamente la risposta.
Allo stesso tempo, diamo un'
occhiata all'esponente Gauss Distribution di meno x al quadrato.
Qui, ho intenzione di provare per schematico qui per voi,
e quello che stiamo andando a guardare,
stiamo andando a guardare il fatto
se questo integrale converge.
Quindi abbiamo bisogno di inventare qualcosa
che può essere usato come confronto per questa funzione.
Prendiamoci un momento qui e ci pensiamo.
In primo luogo, quello che
dovremmo capire, dovremmo capire che questa funzione come
sappiamo mentre stavamo
parlando di funzioni asintotiche,
è estremamente veloce avvicinandosi a
0 mentre sale all'infinito.
È più veloce di qualsiasi possibile funzione polinomiale,
è più veloce di qualsiasi funzione di potenza.
Quindi, se usiamo questa funzione e proviamo a confrontarla
con qualche funzione polinomiale nota,
conosciamo già la risposta.
Ma mentre tiriamo giù le funzioni,
è difficile perché in realtà abbiamo
parlato della convergenza
sul segmento da uno a più infinito,
e ora stiamo parlando da 0 più uno all'infinito.
Come tutti voi sapete,
0 è leggermente più complesso di uno
verso le funzioni uno diviso per x o x al quadrato.
E' un altro punto difficile per questo.
Quindi non lo confronteremo con la funzione di alimentazione,
e lo confronteremo con
una funzione ampiamente nota che abbiamo
effettivamente calcolato nel video precedente.
Vi ricordate, abbiamo lavorato con
una funzione che si chiama
distribuzione esponenziale o solo esponenti
di base di funzioni, di asse lineare.
Quindi lasciatemi considerare il seguente.
Questa disuguaglianza regge?
Esponente di meno x al quadrato è
maggiore o minore di esponente di meno x.
Beh, per capirlo,
dobbiamo confrontare quei poteri perché stiamo guardando
esponenti di numeri ovviamente negativi.
Quindi i numeri maggiori permettono
un esponente qui, o ovviamente,
x al quadrato è maggiore di x se x
è maggiore o uguale a uno.
Quindi per il segmento da uno
a più infinito, questa disuguaglianza vale,
e quindi possiamo facilmente
chiamarla urgente perché abbiamo effettivamente
calcolato l'integrale dell'
esponente di meno x come la caratteristica precedente,
e c'era la nostra risposta,
quindi ovviamente esistono limiti.
Quindi che cosa per l'
integrale effettivo che sguardo a cui non è da uno,
quindi più l'infinito, che è da 0 a più infinito?
Questo è facile perché, come sappiamo,
possiamo aggiungere aree sotto curve
perché se si desidera calcolare l'area di due figure,
è sufficiente riassumere
le aree di due percorsi separati.
Quindi abbiamo bisogno di scrivere l'integrale da 0 a 1,
più l'integrale da 1 a più infinito.
Per quanto riguarda il secondo
, sappiamo che necessariamente converge.
Ma per quanto riguarda la seconda,
non ci interessa nemmeno la convergenza
perché è un elemento definitivo
e, cosa più importante, con
limiti finiti, con limiti finiti.
Ancora più importante, come la funzione integrata
non ha interruzioni sui segmenti,
quindi è necessariamente integrabile.
Quindi, come risultato questo,
è anche un bel numero,
e tutti convergenza esistenza integrale.
Questa è una cosa davvero interessante
perché, come abbiamo detto in precedenza,
non possiamo calcolare l'antiderivato
per il nostro esponente della funzione meno x al quadrato,
ma in realtà possiamo semplicemente chiamarlo convergente.
Quindi ha senso che
tutta la nostra scienza difficile qui è estremamente utile,
e può essere usata per capire perché
consideriamo effettivamente qualche esempio di base dalla teoria della probabilità,
e in realtà non
lo chiama un sensibile e tutte quelle cose.
Quindi, a questo punto,
siamo in realtà in potere di calcolo
tutti i possibili integrali definiti come con
integrali corretti e impropri usando
il nostro teorema fondamentale del calcolo.
Ora, è il momento di pensare a come i metodi numerici
per il calcolo implicano che non sia
possibile calcolare le opere antiderivate
e
che cosa rappresenta, e questo è il tema del nostro video seguente.