Consideriamo quindi un altro esempio cruciale di integrali impropri: l'integrale della funzione di potenza. Quindi è x alimentato meno a. Per motivi di semplicità, in primo luogo supponiamo che un non è uguale a uno. Ho intenzione di scrivere questo. E' il nostro primo caso. Quindi quello che dovremmo fare qui, dovremmo calcolare il nostro antiderivato. Per fare ciò, abbiamo bisogno di dividere uno per potenza di ascia più uno, questo si traduce in uno meno a moltiplicato per x alimentato uno meno a. Successivamente, abbiamo bisogno di sostituire la nostra x con i limiti superiori e inferiori. La questione della convergenza qui deriva quindi dall'esistenza di un limite al punto superiore. Quindi dobbiamo stabilire dove esiste effettivamente il limite di questa funzione all'infinito più e in quali casi non lo fa. Per capire, si tratta di una specie di [inudibile]. Perché ancora una volta abbiamo un moltiplicatore costante e poi abbiamo la funzione di potenza. Quindi dobbiamo decidere se la funzione di potenza ha limite come un infinito più o meno. È praticamente facile perché, come si ricorda, la funzione di potenza con potere positivo si avvicina in realtà più l'infinito. Assomiglia a questo o a questo. La funzione di potenza con valori negativi in realtà assomiglia a questa, e in realtà la potenza negativa. Quindi ce n'è uno semplice. Se la potenza di X è positiva allora il limite non esiste. L' approccio alla funzione è più l'infinito all'infinito. Se la potenza è effettivamente negativa, la funzione si avvicina a zero, aggiunge un infinito più. Quindi ci accingiamo a scrivere questi risultati. Se a non è l'1, e se un meno 1, cioè 1 meno a è maggiore di 0, allora, l'integrale non converge. Scriverò simbolicamente lì e lo chiudo. Se 1 meno a è in realtà negativo come converge integralmente. Che cosa per il caso di un uguale a 1. Stiamo andando ora a guardare l'integrale di 1 diviso per X, e [inudibile] si sa che la risposta è il logaritmo del valore assoluto di X. È necessario sostituire con i limiti superiore e inferiore, e ancora una volta abbiamo bisogno di capire qual è il limite del logaritmo di più infinito è. Come ben sapete, è più l'infinito e quindi l'integrale non converge. Questo va bene. Quindi possiamo semplicemente aggiungere questo caso nell'ambito per i casi non convergenti. Riassumiamo qui i nostri risultati. Gli integrali di cui abbiamo parlato convergono se A è maggiore di 1 e non convergono altrimenti. Questo va bene. Ma perché abbiamo bisogno di questo caso speciale e piuttosto semplice? Quando scegli di seguire l'idea, a volte è difficile o impossibile calcolare l'antiderivato effettivo o bene, è più facile confrontare la funzione con alcuni che è effettivamente nella conoscenza della risposta. Ad esempio, solo presuppone che stiamo parlando di integrale improprio della funzione f, e abbiamo qualche funzione per esempio g. Sappiamo che entrambe le funzioni si trovano su zero, sono entrambe positive e una funzione è sempre maggiore di quella. Ad esempio, supponiamo che g sia maggiore di f in ogni punto e che l'integrale improprio di g converga. Quindi comprensibile, anche l'integrale corretto di f converge perché lungo la strada non può essere convergente in quanto la sua area sotto questa curva si avvicina all'infinito. Ma se l'area sotto f curva una curva a destra, si avvicina all'infinito, allora l'area sotto la curva g si avvicina anche all'infinito perché uno effettivamente include l'altro. In questo senso, anche gli integrali dovrebbero essere non convergenti. Questo è normalmente un chiamato comparatore, per dimostrare il ruolo di confronto in termini di se l'integrale converge su di esso. Pensiamo solo a qualche esempio di base qui. Ad esempio, l'integrale che è X diviso per 1 più x al quadrato. Beh, puoi procedere con il calcolo effettivo dell'antiderivato, e l'abbiamo fatto con i nostri confini magici dove abbiamo iniziato a parlare di antitderivati. Ma qui, diremo qualcosa di più generale. Ad esempio, se diamo un'occhiata alla funzione x divisa per 1 più x al quadrato, hai effettivamente visto l'antideritivo di esso. Abbiamo iniziato con esso quando stavamo usando la nostra scheda MagicTransfer. Ma mentre è facile ricavare una risposta qui e cercare di trovare dei limiti, quando vado in regola con un metodo molto più semplice qui usando la nostra regola di confronto. Quindi abbiamo la nostra funzione, che è x diviso per 1 più x al quadrato. In effetti, sto per dire è che è in qualche modo paragonabile a qualche funzione con risposta nota. In questo momento, sappiamo rispondere per tutte le funzioni che sono una funzione di potenza di x. Quindi forse possiamo trovare qualche confronto con esso. Quindi, in modo asintotico, stiamo guardando la funzione che è in qualche modo vicino a 1 diviso per x perché il denominatore cresce come x, e denominano fondamentalmente cresce come x al quadrato, e sono equivalenti in questo modo. Quindi, per capire come converge questo integrale, dobbiamo capire e ricordare come questo converge. Come abbiamo precedentemente dichiarato Integrale della funzione 1 diviso per x non converge. Quindi, arbitrariamente parlando, dobbiamo trovare qualche disuguaglianza qui, per esempio, dobbiamo dire che, poiché non converge, la funzione che stiamo confrontando la cosa che dovrebbe essere maggiore di cui ha bisogno. Quindi forse dovremmo scrivere qualcosa come 1 diviso per 2 qui. Ma informalmente parlando, le funzioni equivalenti sono fondamentalmente le stesse, sono delimitate da [inudibile]. Quindi se uno di loro converge, allora l'altro converge. Se uno di loro non converge, l'altro non converge. Così possiamo anche generalizzare la nostra regola di confronto per capire come funzioni equivalenti effettivamente sembrano qui. Quindi, usando questo esempio molto semplice , possiamo, senza calcoli di antiderivati aggiuntivi, chiamare immediatamente la risposta. Allo stesso tempo, diamo un' occhiata all'esponente Gauss Distribution di meno x al quadrato. Qui, ho intenzione di provare per schematico qui per voi, e quello che stiamo andando a guardare, stiamo andando a guardare il fatto se questo integrale converge. Quindi abbiamo bisogno di inventare qualcosa che può essere usato come confronto per questa funzione. Prendiamoci un momento qui e ci pensiamo. In primo luogo, quello che dovremmo capire, dovremmo capire che questa funzione come sappiamo mentre stavamo parlando di funzioni asintotiche, è estremamente veloce avvicinandosi a 0 mentre sale all'infinito. È più veloce di qualsiasi possibile funzione polinomiale, è più veloce di qualsiasi funzione di potenza. Quindi, se usiamo questa funzione e proviamo a confrontarla con qualche funzione polinomiale nota, conosciamo già la risposta. Ma mentre tiriamo giù le funzioni, è difficile perché in realtà abbiamo parlato della convergenza sul segmento da uno a più infinito, e ora stiamo parlando da 0 più uno all'infinito. Come tutti voi sapete, 0 è leggermente più complesso di uno verso le funzioni uno diviso per x o x al quadrato. E' un altro punto difficile per questo. Quindi non lo confronteremo con la funzione di alimentazione, e lo confronteremo con una funzione ampiamente nota che abbiamo effettivamente calcolato nel video precedente. Vi ricordate, abbiamo lavorato con una funzione che si chiama distribuzione esponenziale o solo esponenti di base di funzioni, di asse lineare. Quindi lasciatemi considerare il seguente. Questa disuguaglianza regge? Esponente di meno x al quadrato è maggiore o minore di esponente di meno x. Beh, per capirlo, dobbiamo confrontare quei poteri perché stiamo guardando esponenti di numeri ovviamente negativi. Quindi i numeri maggiori permettono un esponente qui, o ovviamente, x al quadrato è maggiore di x se x è maggiore o uguale a uno. Quindi per il segmento da uno a più infinito, questa disuguaglianza vale, e quindi possiamo facilmente chiamarla urgente perché abbiamo effettivamente calcolato l'integrale dell' esponente di meno x come la caratteristica precedente, e c'era la nostra risposta, quindi ovviamente esistono limiti. Quindi che cosa per l' integrale effettivo che sguardo a cui non è da uno, quindi più l'infinito, che è da 0 a più infinito? Questo è facile perché, come sappiamo, possiamo aggiungere aree sotto curve perché se si desidera calcolare l'area di due figure, è sufficiente riassumere le aree di due percorsi separati. Quindi abbiamo bisogno di scrivere l'integrale da 0 a 1, più l'integrale da 1 a più infinito. Per quanto riguarda il secondo , sappiamo che necessariamente converge. Ma per quanto riguarda la seconda, non ci interessa nemmeno la convergenza perché è un elemento definitivo e, cosa più importante, con limiti finiti, con limiti finiti. Ancora più importante, come la funzione integrata non ha interruzioni sui segmenti, quindi è necessariamente integrabile. Quindi, come risultato questo, è anche un bel numero, e tutti convergenza esistenza integrale. Questa è una cosa davvero interessante perché, come abbiamo detto in precedenza, non possiamo calcolare l'antiderivato per il nostro esponente della funzione meno x al quadrato, ma in realtà possiamo semplicemente chiamarlo convergente. Quindi ha senso che tutta la nostra scienza difficile qui è estremamente utile, e può essere usata per capire perché consideriamo effettivamente qualche esempio di base dalla teoria della probabilità, e in realtà non lo chiama un sensibile e tutte quelle cose. Quindi, a questo punto, siamo in realtà in potere di calcolo tutti i possibili integrali definiti come con integrali corretti e impropri usando il nostro teorema fondamentale del calcolo. Ora, è il momento di pensare a come i metodi numerici per il calcolo implicano che non sia possibile calcolare le opere antiderivate e che cosa rappresenta, e questo è il tema del nostro video seguente.