Portanto, consideremos
outro exemplo crucial de integrais impróprias;
a integral da função de poder.
Então é x alimentado menos a.
Por uma questão de simplicidade,
primeiro vamos supor que um não é igual a um.
Vou anotar isso.
É o nosso primeiro caso.
Então o que devemos fazer aqui,
devemos calcular nosso antiderivado.
Para fazer isso, precisamos dividir um
por poder de machado mais um,
isso resulta em um um menos um multiplicado
por x alimentado um menos a.
Depois, precisamos
substituir nosso x com limites superior e inferior.
Assim, a questão da convergência aqui
decorre, na realidade,
do facto de existir um limite no ponto superior.
Então precisamos estabelecer onde
o limite dessa função
no infinito mais realmente existe
e em que casos ela não existe.
Para entender,
trata-se de um tipo de [inaudível].
Porque mais uma vez temos
um multiplicador constante e então temos função de poder.
Então precisamos decidir se a função de energia
tem limite como um infinito plus ou não.
É muito fácil porque, como você se lembra,
a função de poder com
poder positivo realmente se aproxima mais infinito.
Parece assim ou assim.
A função de energia com valores negativos
realmente se parece com isso,
e realmente poder negativo.
Portanto, há um simples.
Se o poder de X é
positivo, então o limite não existe.
A abordagem da função é mais infinito no infinito.
Se o poder realmente é negativo,
então a função se aproxima de zero,
adiciona um plus infinity.
Então vamos anotar esses resultados.
Se a não é o 1,
e se um menos 1,
que é 1 menos a é maior que 0,
então, a integral não converge.
Eu vou
escrever simbolicamente lá e apenas fechá-lo.
Se 1 menos a é realmente negativo como integral converge.
O que para o caso de um igual a 1.
Vamos agora olhar para integral de 1 dividido por X,
e [inaudível] você sabe que a resposta
é logaritmo do valor absoluto de X.
Você precisa substituir com limites superiores e inferiores,
e mais uma vez precisamos entender qual é
o limite do logaritmo de mais infinito é.
Como você bem sabe,
é mais infinito e, portanto, a integral
não converge. Isso é bom.
Assim, podemos simplesmente acrescentar este caso
no âmbito dos casos não convergentes.
Vamos resumir nossos resultados aqui.
As integrais sobre as quais falamos convergem se A for
maior que 1 e não
converge de outra forma. Isso é bom.
Mas por que precisamos desse caso especial e bem simples?
Quando você escolhe seguir idéia,
às vezes é difícil ou impossível
calcular antiderivado real ou bem,
é mais fácil comparar a função com alguns que
está na verdade no conhecimento da resposta.
Por exemplo, apenas assume que estamos
falando de integral inadequada da função f,
e temos alguma função por exemplo g. Sabemos
que ambas as funções está acima de zero,
ambos são positivos e
uma função é sempre maior do que isso.
Por exemplo, vamos supor que g é maior que f em
cada ponto e a integral inadequada de g converge.
Então compreensível,
a integral adequada de f converge também
porque ao longo do caminho não pode ser
convergente como sua área
sob esta curva se aproxima do infinito.
Mas se a área sob
f curva uma curva direita, se aproxima do infinito,
então a área sob a curva g também se aproxima do
infinito porque um realmente inclui o outro.
Nesse sentido, as integrais também devem ser não-convergentes.
Isso é normalmente um chamado de comparador,
para provar o papel de comparação em termos
de se a integral converge sobre ele.
Vamos apenas pensar em algum exemplo básico aqui.
Por exemplo, a integral que é
X dividido por 1 mais x ao quadrado.
Bem, você pode prosseguir
com o cálculo real do antiderivado,
e nós fizemos isso com
nossas fronteiras mágicas onde
começamos falando sobre anti-derivados.
Mas aqui, vamos dizer algo mais geral.
Por exemplo, se dermos uma olhada
na função x dividida por 1 mais x ao quadrado,
você realmente viu o antideritivo dele.
Começamos com ele quando
estávamos usando nossa placa MagicTransfer.
Mas embora seja fácil
apenas obter uma resposta aqui e tentar encontrar limites,
quando eu entrar em regra com
algum método muito mais fácil
aqui usando nossa regra de comparação.
Então temos nossa função,
que é x dividido por 1 mais x ao quadrado.
Na verdade, eu vou dizer é que ele é de alguma forma
comparável com alguma função com resposta conhecida.
Neste momento, sabemos resposta para todas as funções
que são uma função de poder de x.
então talvez possamos chegar a alguma comparação com ele.
Então, assintoticamente falando,
estamos olhando
para a função que é de alguma forma perto de 1 dividido por x
porque o denominador cresce como x,
e denominar basicamente cresce como x ao quadrado,
e eles são equivalentes dessa maneira.
Então, a fim de entender como essa integral converge,
precisamos entender e lembrar como ela converge.
Como nós anteriormente, afirmou
Integral da função
1 dividido por x não converge.
Portanto, arbitrariamente falando,
precisamos de encontrar alguma desigualdade aqui,
por exemplo, precisamos dizer é
que, uma vez que não converge,
a função
que estamos comparando deve ser maior quanto necessário.
Então talvez devêssemos escrever
algo como 1 dividido por 2 aqui.
Mas informalmente falando,
funções equivalentes são basicamente as mesmas,
elas são limitadas por [inaudível].
Então, se um deles converge,
então o outro converge.
Se um deles não converge,
então o outro não converge.
Assim, podemos até generalizar nossa regra de comparação
para entender
como funções equivalentes realmente parecem aqui.
Então, usando este exemplo muito fácil,
podemos, sem
qualquer cálculo de antiderivados adicionais,
apenas chamar a resposta imediatamente.
Ao mesmo tempo, vamos apenas dar uma
olhada no expoente Gauss Distribuição de menos x ao quadrado.
Aqui, eu vou tentar o esquema aqui para você,
e o que nós vamos olhar,
nós vamos olhar para o fato
se esta integral converge.
Portanto, precisamos chegar a algo
que possa ser usado como comparação para esta função.
Vamos apenas tirar um momento aqui e pensar sobre isso.
Em primeiro lugar, o que devemos entender,
devemos entender que esta função como
sabemos enquanto estávamos
falando de funções assintóticas,
é extremamente rápido se aproximando de
0 enquanto ele sobe para o infinito.
É mais rápido do que qualquer função polinomial possível,
é mais rápido do que qualquer função de energia.
Então, se usarmos essa função e tentarmos compará-la
com alguma função polinomial conhecida,
já sabemos a resposta.
Mas quando puxamos para baixo as funções,
isso é complicado porque nós realmente falamos
sobre a convergência
no segmento de um para mais infinito,
e agora estamos falando de 0 mais um para o infinito.
Como todos vocês entendem,
0 é um pouco mais complexo do que um
para funções um dividido por x ou x ao quadrado.
É outro ponto complicado para isso.
Então nós não vamos compará-lo com a função de energia,
e vamos compará-lo com
uma função amplamente conhecida que nós
realmente calculamos no vídeo anterior.
Você se lembra, nós trabalhamos com
uma função que é chamada de
distribuição exponencial ou apenas expoentes básicos
de funções, de eixo linear.
Então deixe-me considerar o seguinte.
Essa desigualdade se mantém?
Exponente de menos x ao quadrado é
maior ou menor que expoente de menos x.
Bem, a fim de entendê-lo,
precisamos comparar esses poderes porque estamos olhando para
expoentes de números obviamente negativos.
Assim, os maiores números permitem
um expoente aqui, ou bem, obviamente,
x ao quadrado é maior que x se x
é maior ou igual a um.
Então, para o segmento de um
para mais infinito, essa desigualdade se mantém,
e assim podemos facilmente
chamá-lo de urgente porque nós realmente
calculamos a integral de
expoente de menos x como a característica anterior,
e lá estava nossa resposta,
então os limites obviamente existem.
Então, o que para a
integral real esse olhar para o qual não é de um,
então mais infinito, que é de 0 a mais infinito?
Isso é fácil porque, como sabemos,
podemos adicionar áreas sob curvas
porque se você quiser calcular a área de duas figuras,
você só precisa resumir
as áreas de dois caminhos separados.
Então precisamos escrever a integral de 0 a 1,
mais a integral de 1 a mais infinito.
Quanto ao segundo,
sabemos que necessariamente converge.
Mas quanto ao segundo,
nem sequer nos preocupamos com a convergência
porque é uma integralidade definitiva,
e mais importante ainda, com
limites finitos, com limites finitos.
Mais importante ainda, como a função sendo integrada não
tem quaisquer descontinuações nos segmentos,
por isso é necessariamente integrável.
Então, como resultado isso,
também é um bom número,
e toda a convergência existência integral.
Isso é uma coisa realmente interessante
porque, como
dissemos anteriormente, não podemos calcular a antiderivada
para o nosso expoente da função menos x ao quadrado,
mas podemos realmente simplesmente chamá-la convergente.
Então faz sentido que
toda a nossa ciência complicada aqui é extremamente útil,
e pode ser usada para entender por que nós realmente
consideramos algum exemplo básico da teoria das probabilidades,
e na verdade não a
chama de um sensível e todas essas coisas.
Então, neste exato ponto,
nós estamos realmente no poder de cálculo
quaisquer integrais definitivas possíveis como com
integrais apropriadas e impróprias usando
nosso teorema fundamental do cálculo.
Agora, é hora de pensar sobre como os métodos numéricos
de cálculo implicam que não é
possível calcular trabalhos antiderivados,
e o que significa,
e esse é o tema do nosso vídeo a seguir.