Так давайте рассмотрим
еще один важный пример неправильных интегралов;
интеграл функции силы.
Так что это x питание минус a.
Ради простоты,
во-первых, давайте предположим, что a не равно одному.
Я собираюсь записать это.
Это наше первое дело.
Итак, что мы должны сделать здесь,
мы должны вычислить наш антипроизводный.
Для того, чтобы сделать это, мы должны разделить один
на силу топа плюс один,
это приводит к одному минус a
умноженный на x powed один минус a.
Затем, мы должны
заменить наш х на верхний и нижний пределы.
Таким образом, вопрос сходимости здесь
на самом деле связан
с фактом существования предела в верхней точке.
Поэтому нам нужно установить, где
предел этой функции на
плюсе бесконечности фактически существует,
и в каких случаях он не существует.
Для того, чтобы понять,
это о своем роде [неразборчиво].
Потому что снова у нас
есть постоянный множитель, а потом у нас есть функция мощности.
Поэтому нам нужно решить,
имеет ли функция мощности предел как плюс бесконечность или нет.
Это довольно легко, потому что, как вы помните,
функция питания с
положительной силой на самом деле приближается плюс бесконечность.
Выглядит так или вот так.
Функция мощности с отрицательными значениями
на самом деле выглядит так,
а на самом деле отрицательная мощность.
Так что есть простой.
Если сила X
положительна, то предел не существует.
Функциональный подход плюс бесконечность на бесконечности.
Если сила на самом деле отрицательна,
то функция приближается к нулю,
добавляет плюс бесконечность.
Так что мы собираемся записать эти результаты.
Если a не является 1,
и если минус 1,
то это 1 минус a больше 0
, то интеграл не сходятся.
Я собираюсь символически
написать там и просто закрыть его.
Если 1 минус а фактически отрицательный, как интеграл сходятся.
Что за случай равен 1.
Теперь мы рассмотрим интеграл 1, разделенный на X,
и [неразборчиво] вы знаете,
что ответ логарифм абсолютного значения X.
Вам нужно заменить верхней и нижней границами,
и еще раз нам нужно понять, что такое
предел логарифма плюс бесконечность.
Как вы хорошо знаете,
это плюс бесконечность и, таким образом, интеграл
не сходятся. Это нормально.
Таким образом, мы можем просто добавить этот случай
в область для не сходящихся случаев.
Давайте резюмируем наши результаты здесь.
Интегралы, о которых мы говорили, сходятся, если A
больше 1 и не
сходятся иначе. Это нормально.
Но зачем нам этот особый и довольно простой случай?
Когда вы выбираете следующую идею,
иногда трудно или невозможно
вычислить фактическую антипроизводную или хорошо,
легче сравнить функцию с некоторыми, которые
на самом деле в знании ответа.
Например, просто предполагает, что мы
говорим о неправильном интеграле функции f,
и у нас есть некоторая функция, например g. Мы знаем,
что обе функции лежат выше нуля,
они оба положительные и
одна функция всегда больше, чем это.
Например, предположим, что g больше, чем f в
каждой точке и неправильный интеграл g сходится.
Тогда понятно,
правильный интеграл f сходится слишком
потому, что по пути он не может быть
сходится, так как его площадь
под этой кривой приближается бесконечность.
Но если область под
кривой f правой кривой, приближается бесконечность,
то область под кривой g также приближается к
бесконечности, потому что один на самом деле включает другой.
В этом смысле интегралы также должны быть неконвергентными.
Обычно это называется компаратором,
чтобы доказать роль сравнения с точки зрения того,
сходится ли интеграл на нем.
Давайте просто подумаем о некотором базовом примере здесь.
Например, интеграл, который
X делится на 1 плюс х в квадрате.
Ну, вы можете приступить к
фактическому расчету антидериватива,
и мы сделали это с
нашими магическими границами, где мы
начали говорить об антидеривативах.
Но здесь мы собираемся сказать что-то более общее.
Например, если мы посмотрим на
функцию х, разделенную на 1 плюс х в квадрате,
вы на самом деле видели антидертив его.
Мы начали с этого, когда
использовали нашу плату MagicTransfer.
Но хотя легко
просто получить ответ здесь и попытаться найти пределы,
когда я вхожу в правило с
гораздо более простым методом
здесь, используя наше правило сравнения.
Таким образом, у нас есть наша функция,
которая х делится на 1 плюс х в квадрате.
На самом деле, я собираюсь сказать, что это как-то
сопоставимо с некоторой функцией с известным ответом.
Прямо сейчас, мы знаем ответ для всех функций,
которые являются функцией мощности x.
Так что, может быть, мы можем придумать некоторое сравнение с ней.
Таким образом, асимптотически говоря,
мы смотрим на функцию, которая каким-то образом
близка к 1, разделенной на x,
потому что знаменатель растет как x,
а деноминат в основном растет как x
в квадрате, и они эквивалентны таким образом.
Поэтому для того, чтобы понять, как этот интеграл сходится,
нам нужно понять и вспомнить, как это сходится.
Как мы ранее, заявленный
Integral функции
1 делится на x не сходится.
Таким образом, произвольно говоря, нам
нужно придумать некоторое неравенство здесь,
например, нам нужно сказать,
что, поскольку оно не сходится,
функция, которую мы сравниваем,
которая должна быть больше, чем она нуждается.
Так что, может быть, мы должны написать
что-то вроде 1, разделенное на 2 здесь.
Но неофициально говоря,
эквивалентные функции в основном одинаковы,
они ограничены [неразборчивыми].
Так что если один из них сходится,
то другой сходится.
Если один из них не сходится,
то другой не сходится.
Таким образом, мы можем даже обобщить наше правило сравнения,
чтобы понять,
как на самом деле выглядят эквивалентные функции.
Таким образом, используя этот очень простой пример
, мы можем, без
каких-либо расчетов дополнительных антипроизводных,
просто вызвать ответ сразу. В
то же время, давайте просто
взглянем на показатель распределения Гаусса минус х в квадрате.
Здесь, я собираюсь попробовать для вас схему,
и то, что мы собираемся посмотреть,
мы будем смотреть на тот факт,
сходится ли этот интеграл.
Поэтому нам нужно придумать что-то,
что может быть использовано в качестве сравнения для этой функции.
Давайте просто займёмся минутой и подумаем об этом.
Во-первых, то, что мы должны понимать,
мы должны понимать, что эта функция, как
мы знаем, пока мы
говорили об асимптотике функций,
очень быстро приближается к
0, в то время как она поднимается до бесконечности.
Это быстрее, чем любая возможная полиномиальная функция,
она быстрее, чем любая силовая функция.
Поэтому, если мы используем эту функцию, и мы попытаемся сравнить ее
с какой-то известной полиномиальной функцией,
мы уже знаем ответ.
Но когда мы вытаскиваем функции,
это сложно, потому что мы на самом деле говорили
о сходимости на
сегменте от одного до плюс бесконечности,
и теперь мы говорим о том, что от 0 плюс один до бесконечности.
Как вы все понимаете,
0 немного сложнее, чем один по
отношению к функциям, разделенным на x или x в квадрате.
Это еще одна сложная точка для этого.
Таким образом, мы не собираемся сравнивать его с функцией питания,
и мы собираемся сравнить его с
широко известной функцией, которую мы на
самом деле рассчитали на предыдущем видео.
Вы помните, мы работали с
функцией, которая называется экспоненциальным
распределением или просто основными показателями
функций, линейной оси.
Так что позвольте мне просто рассмотреть следующий.
Содержится ли это неравенство?
Экспонента минус х в квадрате
больше или меньше, чем показатель минус х.
Ну, чтобы понять это,
нам нужно сравнить эти способности, потому что мы смотрим на показатели
явно отрицательных чисел.
Таким образом, наибольшее число позволяет
экспоненту здесь, или хорошо очевидно, что
x в квадрате больше x, если x
больше или равно одному.
Таким образом, для сегмента от одного до плюс бесконечности, это неравенство сохраняется, и поэтому мы можем легко
назвать его срочным, потому что мы на самом деле
рассчитали интеграл
экспоненты минус х как предыдущая особенность,
и был наш ответ,
так что ограничения, очевидно, существуют.
Так что же за фактический
интеграл, который смотрит на который не от одного,
так плюс бесконечность, которая от 0 до плюс бесконечность?
Это легко, потому что, как мы знаем,
мы можем добавить области под кривыми,
потому что если вы хотите вычислить площадь двух фигур,
вам просто нужно суммировать
области двух отдельных путей.
Поэтому нам нужно написать интеграл от 0 до 1,
плюс интеграл от 1 до плюс бесконечность.
Что касается второго, то
мы действительно знаем, что он обязательно сходится.
Но что касается второго,
то мы даже не заботимся о конвергенции,
потому что она является интегральным определенным
и, что более важно, с
конечными границами, с конечными границами.
Что более важно, как интегрированная функция не
имеет никаких разрывов на сегментах,
поэтому она обязательно является интегрируемой.
Таким образом, в результате это,
также является хорошим числом,
и все интегральное существование конвергенции.
Это действительно интересно,
потому что, как мы ранее
заявляли, мы не можем вычислить антипроизводную
для нашего показателя минус х квадратной функции,
но мы можем на самом деле довольно просто назвать ее конвергентной.
Таким образом, имеет смысл, что
вся наша сложная наука здесь чрезвычайно полезна
и может быть использована для понимания того, почему мы на самом деле
рассматриваем какой-то базовый пример из теории вероятностей,
и на самом деле не называем
его чувствительным и всем этим материалом.
Таким образом, в этот самый момент,
мы на самом деле в силу вычисления
любых возможных определенных интегралов, как с
правильными и неправильными интегралами, используя
нашу фундаментальную теорему исчисления.
Теперь пришло время подумать о том, как численные методы
расчета предполагают, что
невозможно вычислить антипроизводные работы,
и что это означает,
и это тема нашего следующего видео.