Vì vậy, chúng ta hãy xem xét
một ví dụ quan trọng khác của tích phân không đúng
cách; tích phân của hàm điện.
Vì vậy, nó là x powered trừ a
Vì lợi ích của sự đơn giản,
trước tiên chúng ta hãy giả định rằng một không bằng một.
Tôi sẽ ghi lại cái này.
Đây là trường hợp đầu tiên của chúng ta.
Vì vậy, những gì chúng ta nên làm ở đây,
chúng ta nên tính toán kháng đạo hàm của chúng ta.
Để làm như vậy, chúng ta cần chia một
bằng sức mạnh của rìu cộng với
một, điều này kết quả trong
một trừ đi một nhân
với x powered one trừ đi một.
Vì vậy, câu hỏi về sự hội tụ ở đây
thực sự bắt nguồn
từ sự tồn tại của một giới hạn ở điểm trên.
Vì vậy, chúng ta cần thiết lập nơi
giới hạn của hàm này tại
vô cực cộng thực sự tồn tại
và trong trường hợp nào nó không.
Để hiểu được,
đó là về loại [không nghe được].
Bởi vì một lần nữa chúng ta có
một số nhân không đổi và sau đó chúng ta có chức năng điện.
Vì vậy, chúng ta cần phải quyết định xem hàm công suất
có giới hạn như là một vô cùng cộng hay không.
Nó khá dễ dàng bởi vì khi bạn nhớ
chức năng điện với công
suất tích cực thực sự tiếp cận cộng với vô cùng.
Nó trông như thế này hoặc như thế này.
Hàm công suất với các giá trị âm
thực sự trông như thế này,
và thực sự là công suất tiêu cực.
Vì vậy, có một cái đơn giản.
Nếu lũy thừa của X là
dương thì giới hạn không tồn tại.
Cách tiếp cận chức năng là cộng với vô cùng ở vô cùng.
Nếu công suất thực sự là âm,
thì hàm tiếp cận bằng không,
thêm vô cùng cộng.
Vì vậy, chúng tôi sẽ viết kết quả này xuống.
Nếu a không phải là 1,
và nếu một trừ 1,
đó là 1 trừ a lớn hơn 0
, thì tích phân không hội tụ.
Tôi sẽ biểu tượng
viết ở đó và chỉ cần tôi đóng nó.
Nếu 1 trừ đi a thực sự là âm như tích phân hội tụ.
Điều gì đối với trường hợp của một bằng 1.
Bây giờ chúng ta sẽ nhìn vào tích phân của 1 chia cho X,
và [không nghe được] bạn biết rằng câu trả lời
là lôgarit của giá trị tuyệt đối của X.
bạn cần phải thay thế với giới hạn trên và dưới,
và một lần nữa chúng ta cần phải hiểu
giới hạn của lôgarit cộng vô cùng là gì.
Như bạn đã biết,
nó cộng với vô cùng và do đó tích phân
không hội tụ. Không sao đâu.
Vì vậy, chúng ta có thể chỉ đơn giản thêm trường hợp này
trong phạm vi cho các trường hợp không hội tụ.
Hãy để chúng tôi tóm tắt kết quả của chúng tôi ở đây.
Các tích phân mà chúng ta đã nói về hội tụ nếu A
lớn hơn 1 và không
hội tụ khác. Không sao đâu.
Nhưng tại sao chúng ta cần những trường hợp đặc biệt và khá đơn giản này?
Khi bạn chọn vào ý tưởng sau đây,
đôi khi rất khó hoặc không thể
tính toán thực tế antiderivative hoặc tốt,
nó dễ dàng hơn để so sánh các chức năng với một số mà
thực sự là trong kiến thức của câu trả lời.
Ví dụ, chỉ giả định rằng chúng ta đang
nói về tích phân không đúng của hàm f,
và chúng ta có một số hàm ví dụ g Chúng ta biết
rằng cả hai hàm nằm trên zero,
chúng đều tích cực và
một hàm luôn lớn hơn thế.
Ví dụ, chúng ta hãy giả định rằng g lớn hơn f tại
mọi điểm và tích phân không đúng của g hội tụ.
Sau đó dễ hiểu,
tích phân thích hợp của f hội tụ quá
vì trên đường đi nó có thể không
hội tụ vì nó diện tích
dưới đường cong này tiếp cận vô cùng.
Nhưng nếu diện tích dưới
đường cong f một đường cong bên phải, tiếp cận vô cực,
thì diện tích dưới đường cong g cũng tiếp cận
vô cực vì người ta thực sự bao gồm cái kia.
Theo nghĩa đó, tích phân cũng nên không hội tụ.
Đó thường là một so sánh được gọi là,
để chứng minh vai trò của so sánh về
việc tích phân hội tụ trên nó hay không.
Chúng ta hãy nghĩ đến một số ví dụ cơ bản ở đây.
Ví dụ, tích phân đó là
X chia cho 1 cộng x bình phương.
Vâng, bạn có thể tiến hành
tính toán thực tế của các phản dẫn xuất,
và chúng tôi đã thực hiện nó với các
biên giới ma thuật của chúng tôi nơi chúng tôi
bắt đầu nói về các dẫn xuất chống.
Nhưng ở đây, chúng ta sẽ nói một cái gì đó tổng quát hơn.
Ví dụ, nếu chúng ta có một cái nhìn vào
các chức năng x chia cho 1 cộng x bình phương,
bạn đã thực sự nhìn thấy các phản phát sinh của nó.
Chúng tôi đã bắt đầu với nó khi chúng tôi
đang sử dụng bảng MagicTransfer của chúng tôi.
Nhưng trong khi nó rất dễ dàng để
chỉ có được một câu trả lời ở đây và cố gắng tìm ra giới hạn,
khi tôi đi vào cai trị với
một số phương pháp dễ dàng hơn nhiều
ở đây sử dụng quy tắc so sánh của chúng tôi.
Vì vậy, chúng tôi có chức năng của chúng tôi,
đó là x chia cho 1 cộng x bình phương.
Trong thực tế, tôi sẽ nói là nó bằng cách nào đó
so sánh với một số chức năng với câu trả lời được biết đến.
Ngay bây giờ, chúng ta biết câu trả lời cho tất cả các chức năng
đó là một hàm sức mạnh của x
Vì vậy, có lẽ chúng ta có thể đưa ra một số so sánh với nó.
Vì vậy, asymptotically nói,
chúng ta đang nhìn vào các chức năng đó là bằng cách nào đó
gần 1 chia cho x bởi
vì mẫu số phát triển như x,
và mệnh giá về cơ bản phát triển như x bình phương,
và họ là tương đương theo cách này.
Vì vậy, để hiểu được tích phân này hội tụ như thế nào,
chúng ta cần phải hiểu và nhớ nó hội tụ như thế nào.
Như chúng ta trước đây, đã nêu
tích phân của hàm
1 chia cho x không hội tụ.
Vì vậy, một cách tùy tiện nói, chúng ta
cần phải đưa ra một số bất đẳng thức ở đây
, ví dụ, chúng ta cần phải nói là
vì nó không hội tụ,
chức năng chúng ta đang so sánh nó
mà nên lớn hơn khi nó cần.
Vì vậy, có lẽ chúng ta nên viết
một cái gì đó như 1 chia cho 2 ở đây.
Nhưng nói không chính thức,
các hàm tương đương về cơ bản là giống nhau,
chúng được giới hạn bởi [không nghe được].
Vì vậy, nếu một trong số chúng hội tụ,
thì cái kia hội tụ.
Nếu một trong số họ không hội tụ,
thì người kia không hội tụ.
Do đó chúng ta thậm chí có thể khái quát hóa quy tắc so sánh của chúng ta
vào việc hiểu
làm thế nào các hàm tương đương thực sự nhìn ở đây.
Vì vậy, bằng cách sử dụng ví dụ rất dễ dàng này,
chúng ta có thể, mà không cần
bất kỳ tính toán nào về các chất phản dẫn xuất bổ sung,
chỉ cần gọi câu trả lời ngay lập tức.
Đồng thời, chúng ta hãy
nhìn vào số mũ phân phối Gauss của trừ x bình phương.
Ở đây, tôi sẽ cố gắng cho sơ đồ ở đây cho các bạn,
và những gì chúng ta sẽ xem xét,
chúng ta sẽ xem xét thực tế
liệu tích phân này có hội tụ hay không.
Vì vậy, chúng ta cần phải đưa ra một cái gì
đó có thể được sử dụng như so sánh cho chức năng này.
Hãy dành chút thời gian ở đây và suy nghĩ về nó.
Thứ nhất, những gì chúng ta nên hiểu,
chúng ta nên hiểu rằng chức năng này như chúng ta
biết trong khi chúng ta đang
nói về chức năng asymptotics,
nó cực kỳ nhanh chóng tiếp cận
0 trong khi nó tăng lên đến vô hạn.
Nó nhanh hơn bất kỳ hàm đa thức nào có thể,
nó nhanh hơn bất kỳ hàm lũy thừa nào.
Vì vậy, nếu chúng ta sử dụng hàm này và chúng ta cố gắng so sánh nó
với một số hàm đa thức đã biết,
chúng ta đã biết câu trả lời.
Nhưng khi chúng ta kéo xuống các chức năng,
đó là khó khăn bởi vì chúng ta đã thực sự nói
về sự hội tụ trên
phân đoạn từ một đến cộng vô cùng,
và bây giờ chúng ta đang nói về từ 0 cộng một đến vô cùng.
Như tất cả các bạn đã hiểu,
0 là hơi phức tạp hơn một
đối với các chức năng một chia cho x hoặc x bình phương.
Đó là một điểm khó khăn khác cho nó.
Vì vậy, chúng tôi sẽ không so sánh nó với các chức năng điện,
và chúng tôi sẽ so sánh nó với
một chức năng được biết đến rộng rãi mà chúng tôi đã
thực sự tính toán trên video trước đó.
Bạn có nhớ, chúng tôi đã làm việc với
một hàm được gọi là
phân phối mũ hoặc chỉ là số mũ cơ bản
của các hàm, của trục tuyến tính.
Vì vậy, hãy để tôi xem xét một trong những điều sau đây.
Sự bất bình đẳng này có giữ được không?
Mũ của trừ x bình phương
lớn hơn hoặc nhỏ hơn số mũ của trừ x
Vâng, để hiểu nó,
chúng ta cần phải so sánh những quyền lực đó bởi vì chúng ta đang nhìn vào số
mũ của các số âm rõ ràng.
Do đó các số lớn nhất cho phép
một số mũ ở đây, hoặc rõ ràng
là, x bình phương lớn hơn x nếu x
lớn hơn hoặc bằng một.
Vì vậy, đối với phân đoạn từ một
đến cộng vô cùng, bất đẳng thức này giữ,
và do đó chúng ta có thể dễ dàng
gọi nó
là cấp bách bởi vì chúng ta đã thực sự tính toán tích phân của số mũ trừ x như tính năng trước đó, và có câu trả lời của chúng ta,
vì vậy giới hạn rõ ràng tồn tại.
Vì vậy, những gì đối với
tích phân thực tế mà nhìn vào đó không phải là từ một,
vì vậy cộng với vô cùng, đó là từ 0 đến cộng với vô cùng?
Điều đó dễ dàng bởi vì như chúng ta biết,
chúng ta có thể thêm các khu vực dưới đường cong
bởi vì nếu bạn muốn tính diện tích của hai hình,
bạn chỉ cần tóm tắt
các khu vực của hai đường dẫn riêng biệt.
Vì vậy chúng ta cần viết tích phân từ 0 đến 1,
cộng với tích phân từ 1 đến cộng vô cùng.
Đối với thứ hai,
chúng ta thực sự biết rằng nó nhất thiết phải hội tụ.
Nhưng đối với thứ hai,
chúng ta thậm chí không quan tâm đến hội tụ
bởi vì nó là một xác định tích phân,
và quan trọng hơn, với giới
hạn hữu hạn, với giới hạn hữu hạn.
Quan trọng hơn, làm thế nào chức năng được tích hợp không
có bất kỳ sự gián đoạn nào trên các phân đoạn,
vì vậy nó nhất thiết là tích hợp được.
Vì vậy, kết quả là điều này,
cũng là một số tốt đẹp,
và tất cả sự tồn tại tích phân hội tụ.
Đó là một điều thực sự thú vị
bởi vì như chúng ta đã nói trước đó,
chúng ta không thể tính toán các phản đạo hàm
cho hàm số mũ trừ x bình phương của chúng ta,
nhưng chúng ta thực sự có thể khá đơn giản gọi nó là hội tụ.
Vì vậy, nó có ý nghĩa rằng
tất cả khoa học phức tạp của chúng ta ở đây là cực kỳ hữu ích,
và có thể được sử dụng để hiểu tại sao chúng ta thực sự
xem xét một số ví dụ cơ bản từ lý thuyết xác suất,
và không thực sự gọi
nó là nhạy cảm và tất cả những thứ đó.
Vì vậy, tại thời điểm này,
chúng ta thực sự đang có khả năng tính toán
bất kỳ tích phân xác định có thể có như với các tích
phân thích hợp và không đúng cách sử dụng
định lý cơ bản của chúng ta về giải tích.
Bây giờ, đó là thời gian để suy nghĩ về cách các phương pháp số
để tính toán hàm ý nó không thể tính toán các tác phẩm phản phái sinh,
và nó là gì,
và đó là chủ đề của video sau đây của chúng tôi.