أولا، دعونا نبدأ مع
فكرة مشتق الاتجاه.
يجب أن نكون صادقين مع بعضنا البعض
عندما نحدد المشتقات الجزئية،
فإننا نحدد
في الواقع مشتقات قيود الوظائف،
والقيود نحو بعض الاتجاهات المفضلة.
أولا، ما فعلناه،
لقد نظرنا فقط وظيفة التي
يتم تقييدها من قبل الطائرة.
حسنا، في الإسقاط الأفقي،
مع هذا القسم الأفقي
وهذا القسم الرأسي. حسناً.
هذه هي الطريقة التي عرفنا بها مشتقاتنا الجزئية.
ولكن ماذا لو كنا
نفكر في نمو وظيفة
نحو اتجاه آخر،
بعض طائرة أخرى، نفس الشاشة التي ليست
أفقية أو عمودية على X أو Y الطائرة.
ما هي سرعة
الشبح ولكن كيف ينبغي للمرء أن يحدد بشكل صحيح؟
الجواب هو، كما
قد تخمين، مشتق الاتجاه.
حسنا، لذلك بشكل صارخ مشتق اتجاهي له جزأين،
وهو مألوف بالنسبة لنا.
نحن بحاجة إلى فهم ما هو
الاتجاه المحدد بشكل صحيح للرياضيات؟
حسنا، من الواضح أن الاتجاه
على الطائرة هو متجه، أليس كذلك؟
لأنه إذا كان لديك بعض فقط نقطة صغيرة حقا
وعليك أن تظهر بعض الاتجاه،
كنت مجرد الذهاب إلى [غير مسموع] يذهب في.
هذا خطأ بسيط
لذلك، أولا، نحن بحاجة إلى فهم المصطلحات.
لا يحتوي الاتجاه
على طول بطريقة ما باستثناء، على سبيل المثال،
مقطع له طول أو الطريقة
التي تنتقل بها النقطة من واحد إلى آخر،
والمنحنى له طول.
الاتجاه لديه فقط فكرة إلى أين تذهب،
إلى أين [غير مسموع] لذلك أقول على سبيل المثال،
محور الطائرة.
لذلك هناك افتراض تعيين المتجه الاتجاه
هو دائما تطبيع أو في
مستويات معينة يكون طوله مساويا لواحد.
هذا جيد لذلك الحالات بين الأبعاد
هي أساسا الأبعاد،
ناقلات الاتجاه هو المتجه الذي لديه
جيب التمام وجيب جيب الزاوية
مع على سبيل المثال، محور الثور.
لذلك دعونا ننظر في بعض الرسم البياني البسيط هنا،
لدينا محورنا،
لدينا نقطة الصفر، وبعد ذلك ماذا؟
ثم لدينا اتجاهات
للمشتقات الجزئية نحو x,1,0.
اتجاه المشتق الجزئي نحو y،
0،1 وبعض الاتجاه الآخر.
سأطلق عليه «L» لمعظم الشرائح.
إذن ما هو هذا الإتجاه؟
هذا الاتجاه هو في الأساس متجه مع طول موحد.
هذا من خلال نظرية فيثاغورس
وبتعريف وظائف جيب التمام والجيب.
حتى نتمكن في الواقع من العثور على إحداثياتها إذا كنا نعرف
الزاوية بين الطيف والمحور السيني.
حتى إذا كانت هذه الزاوية تساوي اثنين، مثال غاما،
ثم يمكننا المضي قدما في
إحداثيات جيب التمام غاما وجيب غاما على التوالي.
في بعض الأحيان، وتسمى هذه الإحداثيات
جيب التمام من زوايا الاتجاه لأنه كما قد
نفهم بوضوح أن زاوية أخرى هنا
هو ع مقسوما على
2 ناقص غاما وجيب التمام هو أساسا جيب من غاما.
هذه قواعد مثلثية أساسية للغاية.
الآن، نحن نعرف ما هو الاتجاه.
لذلك دعونا نحاول تحديد مشتق من هنا.
إذن ما هي المعرفة الأساسية
بالمشتقات التي نمتلكها؟
المشتق من وظيفة متغير واحد هو الحد
من تغيير وظيفة نحو تغيير الوسيطة الحق؟
لذلك دعونا نحاول كتابتها.
أولا، رسميا، لدينا اثنين من وظائف متغيرة،
و نحو X و Y،
نقطة معينة والاتجاه.
سنقوم باستخدام التعليق التوضيحي
بالنسبة للمشتقات الجزئية هنا.
لذلك في الأساس، نحن نكتب
أنه في البحث عن تدور التغيير
على وظيفة نحو الاتجاه L. ثم نحن
مجرد كتابة شيء أساسي جدا
وهذا هو علاقتنا من تغيير وظيفة.
لذا، فإن الوسيطة الوظيفية أيضًا
مع اثنين في تعريف المشتقة.
ولكن الشيء هنا هو،
كيف ينبغي للمرء أن يحدد
تغيير وظيفة وتغيير حجته.
حسنا أولا دعونا ننظر في بعض الإعداد الأساسي هنا.
هنا نقطتنا AB هنا هو
اتجاهنا ويفترض أن النقطة الثانية،
وهي النقطة التي نقارنها مع،
لأننا نفكر في تغيير
الوظيفة وتغيير الحجة،
نحتاج إلى النظر في نقطة أخرى ومقارنة
هذه النقطة الأخرى على سبيل المثال x، y مع بلدنا.
ولكن هذه ليست نقطة تعسفية.
هذه هي النقطة في اتجاهاتنا،
النقطة على الخط المستقيم
الذي يبدأ من النقطة
AB ويتبع المتجه الاتجاه L. لذلك
لأنه مثل ذلك، فإن التغيير بين
الإحداثيات x للنقطة الأولية و x
الإحداثيات مع النقطة x،
y هو في الأساس يجب
أن يتناسب مع الإحداثيات x للاتجاه.
وينطبق الشيء
نفسه على تغيير المتغير الثاني أو التغيير y.
هذا هو تغيير وظيفة
هو أساسا الفرق
بين القيمة والنقطة الأولية هي نقطة أ،
ب والقيمة عند النقطة التي
حصلنا عليها نتيجة لتطبيق
هذا المتجه الاتجاه إلى النقطة أ، ب،
ر مرات ضرب أساسا اتجاهنا من قبل
ر. في بحثي هنا هو
أن المسافة بين
النقطة الأولية والنقطة x،
y هي النقطة التي نقارن وظيفة أخرى مع
يتناسب مع t هو في الواقع t
لأن طول اتجاهنا يساوي واحد.
لذلك لدينا إلى حد كبير كل الإعداد الذي نحتاجه.
نحن فقط بحاجة إلى كتابة النتيجة.
ونتيجة لذلك،
نحصل على أن مشتقنا
الإتجاهي هو الحد نحو T يقترب
من الصفر، تغيير الوظيفة مقسوما على t مرة أخرى،
أنا ذاهب للتأكيد على هذا.
تحتاج إلى تطبيع تفاعلك هنا.
خلاف ذلك، سيتم
رسم إجابتك بالضبط في طول أوقات الاتجاه.
شيء آخر
سأعطيك هذا التدوين مرة أخرى باستثناء
أن تدوين المجموعة المكتوب على الشريحة قيد التشغيل
والتدوين الثاني
هو المعتاد بالنسبة لنا مع المؤشر السفلي.
لذلك هذا ما هو
مشتق اتجاهي من خلال تعريفه.
دعونا ننظر في بعض الأمثلة الأخيرة هنا.
أولا وقبل كل شيء دعونا مجرد التوقف لمدة ثانية في
هذه الوظائف نفسها
وفهم لماذا هو مزعج جدا هنا.
و سنمضي قدما على النحو التالي,
ولن
ننظر فيما إذا كانت قابلة لل تمييز أم لا.
انها الشمال في واقع الأمر.
نحن فقط ذاهبون للتفكير في ما إذا كان
لديه حد عند نقطة 0,0.
هنا، حيث تصبح صعبة لأننا نفترض
أننا ننظر إلى نهج ما.
على سبيل المثال x يساوي t،
y يساوي صفر شائع جدا كيف النهج الأفقي.
فعلنا هذا في الأسبوع الثاني.
كيف تتحول وظيفة إلى، حسنا،
صفر مقسوما على ر السلطة أربعة زائد صفر، أليس كذلك؟
لذلك في الأساس هو صفر.
لذلك إذا كان هناك حد لهذه الوظيفة عند نقطة الصفر،
فإنه يساوي الصفر.
ولكن إذا كنت تستطيع أن ترى
النهج المكافئ غير المستقيم، التربيعي على سبيل المثال x يساوي t،
y يساوي t مربع،
ثم تتحول الدالة إلى نصف
ونصف يقترب في الواقع من
نصف ما إذا كنت تأخذ أي حد أم لا.
لذلك هذه الوظيفة ليس لديها
أي حد في النقطة الأولية
لأنها ليست مستمرة، انها ليست قابلة للاشتراء.
انها كارثية تماما.
ولكن ماذا عن مشتقاتنا؟ ماذا يجب أن نفعل؟
يجب أن ننظر على سبيل المثال بعض الاتجاه الصحيح.
نحن بحاجة إلى فهم ما هو الاتجاه كله.
لذلك دعونا فقط نأخذ الاتجاه التعسفي،
جيب التمام ألفا، جيبية ألفا، أليس كذلك؟
من يهتم؟ يمكننا أن نفعل فقط في الحالة العامة.
حسنا، بما أننا نتحدث عن أ،
ب يساوي 0،0،
تحتاج إلى حساب الحد من t يقترب الصفر.
تغيير وظيفة ناقص
قيمتها عند نقطة الصفر التي هي صفر،
مقسوما على ر أنا ذاهب إلى تغيير س و ذ
مباشرة من قبل ر مضروبا في L لجعله أبسط.
لذلك ما نحن ذاهبون إلى الحصول على هنا،
ونحن ذاهبون إلى أن ر
تربيع جيب التمام مضروبا في تي جيب.
هذه كارثة
T تعمل بالطاقة أربعة، جيب التمام تعمل
بالطاقة أربعة زائد ر اثنين من الطاقة شرط اثنين.
هذه تخيفنا ولكن يمكننا أن نحل هذا الأمر
أولا وقبل كل شيء، يمكننا فقط
تقسيم والقضاء على القاسم من قبل تي
مربع ونحن ترك مع ر
في
القاسم و t في المقام من الجزء كله هنا.
حتى نتمكن من تقسيمها أيضا، وبالتالي
نحصل على بعض التعبير لطيفة جدا هنا.
نحصل على شرط ألفا مضروبا في
جيب التمام مربع مقسوما على تي مربع.
حسنا، ثم يذهب جيب التمام بالطاقة أربعة بالإضافة إلى جيب التربيع.
إذا كانت t تقترب من الصفر، فإن
هذا المصطلح كله يقترب من
الصفر، وبالتالي لدينا إجابتنا،
جيب التمام مربعة مقسومة على ألفا جيبية.
حسنا وفي حالة ألفا ليس صفرا،
يمكننا في الواقع الاعتماد على هذه الإجابة نفسها.
لذا دعونا نأخذ لحظة هنا.
هذه الوظيفة سيئة.
هذه الوظيفة ليست مستمرة.
هذه الوظيفة غير قابلة للاشتراء ولكن لديها
مشتقات اتجاهية لمعظم الاتجاهات الحق؟
حسنا. هذا مضحك
لأنه حتى لو كنت
لا تستطيع أن تقول أي شيء جيد عن هذه الوظيفة،
فإنه ليس لديها تقريب خطي لائق.
فإنه لا يزال ينمو نحو
اتجاهات مختلفة يمكن
تقييمها إلى حد كبير بسهولة وبشكل كامل.