Beginnen wir zunächst mit
der Idee der richtungsweisenden Ableitung.
Wir müssen ehrlich zueinander sein.
Wenn wir partielle Ableitungen definieren,
definieren wir tatsächlich
die Ableitungen von Funktionseinschränkungen,
Einschränkungen in Richtung einiger bevorzugter Richtungen.
Erstens, was wir getan haben,
haben wir nur eine Funktion betrachtet, die
durch das Flugzeug eingeschränkt ist.
Nun, in horizontaler Projektion,
mit diesem horizontalen Abschnitt
und diesem vertikalen Abschnitt. In Ordnung.
So haben wir unsere Teilderivate definiert.
Aber was ist, wenn wir
über das Wachstum der Funktion
in eine andere Richtung denken, eine
andere Ebene, wie ein Bildschirm, der nicht
horizontal oder vertikal auf X- oder Y-Ebene ist.
Was ist die Geschwindigkeit
eines Geistes, aber wie sollte man richtig definieren?
Die Antwort ist, wie Sie
vielleicht vermuten, das direktionale Derivat.
Nun, so grob ein direktionales Derivat hat zwei Teile,
was uns bekannt ist.
Wir müssen verstehen, was ist
die Richtung richtig für die Mathematik definiert?
Nun, offensichtlich ist die Richtung
auf dem Flugzeug ein Vektor, oder?
Denn wenn Sie einige nur ein wenig wirklich Punkt
haben und Sie eine Richtung zeigen müssen,
gehen Sie einfach in [unhörbar] geht hinein.
Das ist ein einfacher Fehler.
Also, zuerst müssen wir Begriffe verstehen.
Die Richtung hat keine
Länge in einer Weise, außer zum Beispiel,
ein Segment hat eine Länge oder
die Art, wie ein Punkt von einem zum anderen geht,
eine Kurve hat eine Länge.
Die Richtung hat nur die Idee, wohin man gehen soll,
wohin man [unhörbar] so sagen, zum Beispiel,
Achse des Flugzeugs.
Es gibt also eine Annahme, dass der Richtungsvektor
immer normalisiert ist oder in
bestimmten Ebenen seine Länge gleich eins ist.
Das ist in Ordnung. Interdimensionale Fälle sind also
grundsätzlich dimensional,
ein Richtungsvektor ist der Vektor, der
Kosinus- und Sinusfunktionen des Winkels
mit zum Beispiel Ochsenachse hat.
Also lassen Sie uns ein einfaches Diagramm betrachten hier,
wir haben unsere Achse,
wir haben unseren Nullpunkt, und was dann?
Dann haben wir Richtungen für
partielle Ableitung in Richtung x,1,0.
Richtung für partielle Ableitung in Richtung y,
0,1 und einer anderen Richtung.
Ich nenne es L für die meisten Folien.
Also, was ist diese Richtung?
Diese Richtung ist im Grunde ein Vektor mit einheitlicher Länge.
Das ist durch den Pythagoras-Theorem
und per Definition von Kosinus- und Sinusfunktionen.
So können wir tatsächlich seine Koordinaten finden, wenn wir
den Winkel zwischen dem Spektrum und der X-Achse kennen.
Also, wenn dieser Winkel gleich zwei ist, Beispiel Gamma,
dann können wir mit den
Koordinaten Cosinus Gamma und Sinus Gamma jeweils fortfahren.
Manchmal werden diese Koordinaten
Kosinus von Richtungswinkeln genannt, weil wie Sie offensichtlich
verstehen können, dass der andere Winkel hier
p geteilt durch
2 minus Gamma und sein Kosinus ist im Grunde Sinus von Gamma.
Das ist eine sehr grundlegende trigonometrische Regeln.
Jetzt wissen wir, was eine Richtung ist.
Lassen Sie uns also versuchen, eine Ableitung von hier zu definieren.
Was ist also das grundlegendste Wissen über
die Derivate, die wir haben?
Die Ableitung der einzelnen Variatfunktion ist die Begrenzung
der Funktionsänderung in Richtung der Argumentänderung rechts?
Also lasst uns versuchen, es aufzuschreiben.
Erstens, formal, wir haben zwei variable Funktion,
f in Richtung X und Y,
gegeben Punkt und die Richtung.
Wir werden hier Annotation
wie für die partiellen Ableitungen verwenden.
Also im Grunde schreiben wir,
dass auf der Suche nach dem Spin der Veränderung
über Funktion in Richtung L. Dann
schreiben wir nur eine sehr grundlegende Sache
, die unsere Beziehung der Funktionsänderung ist.
Also Funktionsargument auch
mit zwei in der abgeleiteten Definition.
Aber die Sache hier ist,
wie man
eine Funktionsänderung und die Änderung seines Arguments definieren sollte.
Nun, zuerst lassen Sie uns einige grundlegende Setup hier betrachten.
Hier ist unser Punkt AB hier ist
unsere Richtung und nimmt an, dass der zweite Punkt,
der Punkt, mit dem wir unseren vergleichen,
da wir die Änderung der
Funktion und die Änderung der Argumente betrachten,
müssen wir einen anderen Punkt betrachten und vergleichen Sie
diesen anderen Punkt zum Beispiel x, y mit unseren.
Aber das ist kein willkürlicher Punkt.
Das ist der Punkt in unseren Richtungen,
der Punkt auf der geraden Linie, der
vom Punkt
AB beginnt und dem Richtungsvektor L. So,
da es so ist, dann ist die Änderung zwischen
x-Koordinate des Anfangspunktes und
der x-Koordinate mit Punkt x,
y im Grunde sollte proportional
zur x-Koordinate der Richtung sein.
Dasselbe gilt für
die Änderung der zweiten Variablen oder der y-Änderung.
Das ist die Änderung einer Funktion
ist im Grunde der Unterschied
zwischen dem Wert und dem Anfangspunkt ist ein Punkt a,
b und der Wert an Punkt, den
wir als Ergebnis der Anwendung
dieser Richtungsvektor auf den Punkt a, b,
t mal im Grunde multiplizieren unsere Richtung mit
t bekommen haben. Bei meiner Suche hier ist
, dass der Abstand zwischen
dem Anfangspunkt und dem Punkt x,
y Punkt ist, den wir andere Funktion vergleichen,
proportional zu t ist tatsächlich t,
weil die Länge unserer Richtung gleich eins ist.
Also haben wir so ziemlich das ganze Setup, das wir brauchen.
Wir müssen nur das Ergebnis aufschreiben.
Als Ergebnis
bekommen wir, dass unsere Richtungsableitung
die Grenze in Richtung t nähert sich Null,
die Änderung der Funktion geteilt durch t. Wieder einmal
werde ich das betonen.
Sie müssen Ihre Interaktion hier normalisieren.
Andernfalls wird Ihre Antwort
genau in der Länge der Richtungszeiten gezeichnet.
Eine weitere Sache, die ich
Ihnen diese Notation noch einmal geben werde
, außer dass die auf der Folie geschriebene Set-Notation betriebsbereit ist
und die zweite Notation
die übliche für uns mit dem niedrigeren Index ist.
Das ist also, was direktionale
Ableitung durch seine Definition ist.
Lassen Sie uns ein letztes Beispiel hier betrachten.
Lassen Sie uns zunächst für eine Sekunde bei
diesen Funktionen anhalten und
verstehen, warum es hier so störend ist.
Wir werden wie folgt vorgehen,
wir werden nicht
überlegen, ob differenzierbar oder nicht.
Es ist eigentlich nördlich.
Wir werden nur darüber nachdenken, ob es
eine Grenze an dem Punkt 0,0 hat oder nicht.
Hier, wo es schwierig wird, weil lassen Sie uns annehmen, dass
wir auf einen Ansatz suchen.
Zum Beispiel x gleich t,
y gleich Null ziemlich häufig, wie horizontale Annäherung.
Wir haben das in der zweiten Woche gemacht.
Wie Funktion verwandelt sich in, na ja,
Null geteilt durch t Leistung vier plus Null, richtig?
Also im Grunde ist es Null.
Also, wenn es eine Grenze dieser Funktion an Nullpunkt gibt,
ist es gleich Null.
Aber wenn Sie den nicht-geraden parabolischen,
quadratischen Ansatz sehen können, zum Beispiel x gleich t,
y gleich t quadriert,
dann wird die Funktion in einhalb halb
und halb tatsächlich nähert
sich die Hälfte, ob Sie irgendeine Grenze nehmen oder nicht.
Diese Funktion hat also
keine Begrenzung am Anfangspunkt,
weil sie nicht kontinuierlich ist, sie ist nicht differenzierbar.
Es ist völlig katastrophal.
Aber was ist mit unserer Ableitung? Was sollten wir tun?
Wir sollten zum Beispiel eine Richtung richtig in Betracht ziehen.
Wir müssen verstehen, worum es in der Richtung geht.
Also lassen Sie uns einfach willkürliche Richtung nehmen,
Kosinus Alpha, Sinus Alpha, richtig?
Wen kümmert es? Wir können nur im allgemeinen Fall tun.
Nun, da wir über a sprechen,
b gleich 0,0,
müssen Sie die Grenze von t nähert sich Null berechnen.
Die Änderung der Funktion minus
seinem Wert am Nullpunkt, der Null ist,
dividiert durch t. Ich werde x und y
gerade durch ein t multipliziert mit L ändern, um es einfacher zu machen.
Also, was wir hier haben werden,
wir werden t quadrierten Kosinus
Quadrat mit t Sinus multipliziert haben.
Das ist eine Katastrophe.
T-betriebene vier, Kosinusbetriebene vier
plus t angetriebene zwei Summe Sinusleistung zwei.
Das erschreckt uns, aber wir können das klären.
Zunächst einmal können wir den
Nenner durch t
quadriert teilen und eliminieren, und wir sind mit einem t
im Nenner und t im
Nenner des gesamten Bruchteils hier links.
So können wir es auch teilen und so
bekommen wir hier einen ziemlich schönen Ausdruck.
Wir erhalten Sinus von Alpha multipliziert mit
Kosinus Quadrat geteilt durch t Quadrat.
Nun, dann geht Kosinus angetrieben vier plus Sinus quadriert.
Wenn t sich Null nähert,
nähert sich dieser ganze Begriff
Null und so haben wir unsere Antwort,
Kosinus Quadrat geteilt durch Sinus Alpha.
Nun, und falls Alpha nicht Null ist,
können wir tatsächlich auf diese Antwort zählen.
Also lassen Sie uns einen Moment hier nehmen.
Diese Funktion ist schlecht.
Diese Funktion ist nicht kontinuierlich.
Diese Funktion ist nicht differenzierbar, aber es hat
direktionale Ableitungen für die meisten Richtungen richtig?
Ok. Das ist lustig,
denn selbst wenn Sie
nichts Gutes über diese Funktion sagen können,
hat es keine anständige lineare Annäherung.
Es wächst immer noch in
verschiedene Richtungen kann
so ziemlich leicht und vollständig beurteilt werden.