En primer lugar, comencemos con
la idea de la derivada direccional.
Tenemos que ser honestos el uno con el otro.
Cuando definimos derivados parciales,
en realidad definimos
las derivadas de restricciones de función,
restricciones hacia algunas direcciones preferibles.
En primer lugar, lo que hemos hecho,
hemos considerado sólo la función que
está restringida por el avión.
Bueno, en proyección horizontal,
con esta sección horizontal
y esta sección vertical. Muy bien.
Así fue como definimos nuestros derivados parciales.
Pero ¿qué pasa si estamos
pensando en el crecimiento de la función
hacia alguna otra dirección,
algún otro plano, igual que una pantalla que no es
horizontal o vertical en el plano X o Y.
¿ Cuál es la velocidad de
un fantasma, pero cómo se debe definir correctamente?
La respuesta es, como se
puede adivinar, la derivada direccional.
Bueno, tan groseramente una derivada direccional tiene dos partes,
lo cual es familiar para nosotros.
Tenemos que entender cuál es
la dirección correctamente definida para las matemáticas?
Bueno, obviamente la dirección
en el avión es un vector, ¿verdad?
Porque si usted tiene un poco de punto realmente y
usted tiene que mostrar alguna dirección,
usted acaba de entrar en [inaudible] entra.
Es un simple error.
Entonces, primero, tenemos que entender los términos.
La dirección no tiene
una longitud en cierto modo excepto, por ejemplo,
un segmento tiene una longitud o la forma en
que un punto va de uno a otro,
una curva tiene una longitud.
La dirección tiene sólo la idea de dónde ir,
dónde [inaudible] por ejemplo,
eje del plano.
Por lo tanto, hay una suposición que el vector direccional
siempre está normalizado o en
ciertos niveles su longitud es igual a uno.
Eso está bien. Así que los casos interdimensionales
básicamente son dimensionales,
un vector direccional es el vector que tiene
funciones coseno y seno del ángulo
con, por ejemplo, el eje del buey.
Así que consideremos un gráfico simple aquí,
tenemos nuestro eje,
tenemos nuestro punto cero, ¿y luego qué?
Entonces tenemos direcciones para
derivada parcial hacia x,1,0.
Dirección de derivada parcial hacia y,
0,1 y alguna otra dirección.
Voy a llamarlo L para la mayoría de las diapositivas.
Entonces, ¿cuál es esta dirección?
Esta dirección es básicamente un vector con longitud unificada.
Eso es por el teorema de Pitágoras
y por definición de coseno y funciones sinusoidales.
Así que podemos encontrar sus coordenadas si sabemos
el ángulo entre el espectro y el eje X.
Así que si este ángulo es igual a dos, ejemplo Gamma,
entonces podemos proceder con
coordenadas coseno Gamma y seno Gamma respectivamente.
A veces, estas coordenadas se llaman
coseno de ángulos direccionales porque como es obvio que usted puede
entender que el otro ángulo aquí
es p dividido por
2 menos Gamma y su coseno es básicamente seno de Gamma.
Esas son unas reglas trigonométricas muy básicas.
Ahora, sabemos lo que es una dirección.
Así que tratemos de definir un derivado a partir de aquí.
Entonces, ¿cuál es el conocimiento más básico de
los derivados que tenemos?
La derivada de la función variada única es el límite
de cambio de función hacia el cambio de argumento, ¿verdad?
Así que tratemos de escribirlo.
En primer lugar, formalmente, tenemos dos función variable,
f hacia X e Y,
dado el punto y la dirección.
Vamos a utilizar la anotación
como para los derivados parciales aquí.
Así que básicamente, estamos escribiendo
eso en busca del giro de cambio
sobre la función hacia la dirección L. Entonces estamos
escribiendo algo muy básico
que es nuestra relación de cambio de función.
Así que el argumento de la función también
con dos en la definición derivada.
Pero la cosa aquí es,
cómo uno debe definir
un cambio de función y el cambio de su argumento.
Bueno, en primer lugar, consideremos alguna configuración básica aquí.
Aquí está nuestro punto AB aquí es
nuestra dirección y asume que el segundo punto,
el punto con el que estamos comparando el nuestro,
ya que estamos considerando el cambio de
función y el cambio de argumento,
necesitamos considerar algún otro punto y comparar
este otro punto por ejemplo x, y con los nuestros.
Pero eso no es un punto arbitrario.
Ese es el punto en nuestras direcciones,
el punto en la línea recta
que comienza desde el punto
AB y sigue el vector direccional L. Así que
ya que es así entonces el cambio entre la
coordenada x del punto inicial y
la coordenada x con el punto x,
y es básicamente debe ser proporcional
a la coordenada x de la dirección.
Lo mismo se aplica para
el cambio de la segunda variable o el cambio y.
Ese es el cambio de una función
es básicamente la diferencia
entre el valor y el punto inicial es un punto a,
b y el valor en el punto que
tenemos como resultado de aplicar
este vector direccional al punto a, b,
t veces básicamente multiplicando nuestra dirección por
t. En mi búsqueda aquí es
que la distancia entre
el punto inicial y el punto x,
y es el punto con el que comparamos otra función es
proporcional a t en realidad es t
porque la longitud de nuestra dirección es igual a uno.
Así que tenemos casi toda la configuración que necesitamos.
Sólo tenemos que anotar el resultado.
Así que como resultado,
obtenemos que nuestra derivada direccional
es el límite hacia t se aproxima a cero,
el cambio de la función dividida por t. Una vez más,
voy a subrayar esto.
Necesitas normalizar tu interacción aquí.
De lo contrario, su respuesta se
dibujará exactamente en la longitud de los tiempos de dirección.
Una cosa más voy a
darle esta notación una vez más, excepto
que la notación de conjunto escrita en la diapositiva es operativa
y la segunda notación
es la habitual para nosotros con el índice inferior.
Así que eso es lo que es
derivado direccional a través de su definición.
Consideremos aquí un ejemplo final.
En primer lugar, detengamos por un segundo en
estas mismas funciones y
comprendamos por qué es tan inquietante aquí.
Vamos a proceder de la siguiente manera,
no vamos a
considerar si es diferenciable o no.
Es el norte, por el hecho.
Sólo vamos a pensar si tiene o no
un límite en el punto 0,0.
Aquí, donde se pone complicado porque supongamos que
estamos viendo algún enfoque.
Por ejemplo x es igual a t,
y es igual a cero bastante común cómo enfoque horizontal.
Hicimos esto en la segunda semana.
Cómo la función se convierte en, bueno,
cero dividido por t potencia cuatro más cero, ¿verdad?
Así que básicamente es cero.
Entonces, si hay un límite de esta función en el punto cero,
es igual a cero.
Pero si puede ver el
enfoque parabólico no recto, cuadrático, por ejemplo x es igual a t,
y es igual a t cuadrado,
entonces la función se convierte en una mitad
y una mitad en realidad se acerca a la
mitad independientemente de que esté tomando o no algún límite.
Entonces, esta función no tiene
ningún límite en el punto inicial
porque no es continua, no es diferenciable.
Es totalmente desastroso.
¿ Pero qué hay de nuestro derivado? ¿Qué deberíamos hacer?
Deberíamos considerar, por ejemplo, alguna dirección correcta.
Tenemos que entender de qué se trata la dirección.
Así que tomemos una dirección arbitraria,
coseno alfa, seno alfa, ¿verdad?
¿ A quién le importa? Podemos hacer sólo en caso general.
Bueno, ya que estamos hablando de a,
b es igual a 0,0,
debe calcular el límite de t se aproxima a cero.
El cambio de función menos
su valor en el punto cero que es cero,
dividido por t. Voy a cambiar x e y
directamente por una t multiplicada por L para hacerlo más simple.
Así que lo que vamos a tener aquí,
vamos a tener t coseno
cuadrado multiplicado por t seno.
Esto es un desastre.
T alimentado cuatro, coseno alimentado cuatro
más t alimentado dos suma de potencia sinusoidal dos.
Esto nos asusta, pero podemos solucionarlo.
En primer lugar, podemos
dividir y eliminar el denominador por t
cuadrado y quedamos con una t
en denominador y t en
el denominador de toda la fracción aquí.
Así que podemos dividirlo también y así
obtenemos una expresión bastante agradable aquí.
Obtenemos seno de Alfa multiplicado por
coseno cuadrado dividido por t cuadrado.
Bueno, entonces va alimentado por coseno cuatro más seno al cuadrado.
Si t se acerca a cero,
todo este término se acerca a
cero y por lo tanto tenemos nuestra respuesta,
coseno cuadrado dividido por seno alfa.
Bueno, y en caso de que alfa no sea cero,
podemos contar con esta respuesta.
Así que tomémonos un momento aquí.
Esta función es mala.
Esta función no es continua.
Esta función no es diferenciable, pero tiene
derivados direccionales para la mayoría de las direcciones, ¿verdad?
Está bien. Esto es gracioso
porque incluso si
no puedes decir nada bueno sobre esta función,
no tiene una aproximación lineal decente.
Todavía crece hacia
varias direcciones puede ser
evaluado más o menos fácil y completamente.