Tout d'abord, commençons par
l'idée de la dérivée directionnelle.
Nous devons être honnêtes les uns avec les autres.
Lorsque nous définissons des dérivés partiels,
nous définissons effectivement
les dérivés des restrictions de fonction, des
restrictions vers certaines directions préférables.
Tout d'abord, ce que nous avons fait,
nous n'avons considéré que la fonction qui
est limitée par l'avion.
Eh bien, en projection horizontale,
avec cette section horizontale
et cette section verticale. D'accord.
C' est ainsi que nous avons défini nos dérivés partiels.
Mais que se passe-t-il si nous
pensons à la croissance de la fonction
vers une autre direction, un
autre plan, comme un écran qui n'est pas
horizontal ou vertical sur un plan X ou Y.
Quelle est la vitesse d'
un fantôme, mais comment devrait-on bien définir ?
La réponse est, comme vous
pourriez le deviner, la dérivée directionnelle.
Eh bien, si grossièrement un dérivé directionnel a deux parties,
ce qui nous est familier.
Nous devons comprendre quelle est
la direction correctement définie pour les mathématiques ?
Bien, évidemment, la direction
sur l'avion est un vecteur, non ?
Parce que si vous avez juste un peu vraiment point et
que vous devez montrer une certaine direction,
vous allez juste dans [inaudible] va dans.
C' est une simple erreur.
Donc, d'abord, nous devons comprendre les termes.
La direction n'a pas de
longueur à part, par exemple,
un segment a une longueur ou la façon
dont un point va de l'un à l'autre,
une courbe a une longueur.
La direction n'a que l'idée d'où aller,
où [inaudible] donc dire par exemple, l'
axe du plan.
Il y a donc une hypothèse que le vecteur directionnel
est toujours normalisé ou dans
certains niveaux, sa longueur est égale à un.
C' est très bien. Donc les cas interdimensionnels
sont fondamentalement dimensionnels,
un vecteur directionnel est le vecteur qui a des
fonctions cosinus et sinusoïdales de l'angle
avec, par exemple, l'axe du bœuf.
Alors considérons un graphique simple ici,
nous avons notre axe,
nous avons notre point zéro, et ensuite quoi ?
Ensuite, nous avons des directions pour
dérivé partiel vers x,1,0.
Direction de la dérivée partielle vers y,
0,1 et une autre direction.
Je vais l'appeler L pour la plupart des diapositives.
Alors, quelle est cette direction ?
Cette direction est fondamentalement un vecteur avec une longueur unifiée.
C' est par le théorème de Pythagore
et par définition des fonctions cosinus et sinusoïdales.
Nous pouvons donc trouver ses coordonnées si nous connaissons
l'angle entre le spectre et l'axe X.
Donc, si cet angle est égal à deux, exemple Gamma,
alors nous pouvons procéder avec les
coordonnées cosinus Gamma et sinus Gamma respectivement.
Parfois, ces coordonnées sont appelées
cosinus des angles directionnels parce que, comme vous pouvez évidemment
comprendre que l'autre angle ici
est p divisé par
2 moins Gamma et son cosinus est fondamentalement sinus de Gamma.
C' est une règle trigonométrique très basique.
Maintenant, nous savons ce qui est une direction.
Essayons donc de définir un dérivé d'ici.
Quelle est donc la connaissance la plus fondamentale
des dérivés que nous possédons ?
La dérivée de la fonction variable unique est la limite du
changement de fonction vers le droit de changement d'argument ?
Essayons de l'écrire.
Premièrement, formellement, nous avons deux fonctions variables,
f vers X et Y,
point donné et direction.
Nous allons utiliser l'annotation
comme pour les dérivés partiels ici.
Donc, fondamentalement, nous écrivons
cela à la recherche de la rotation du changement
sur la fonction vers la direction L. Ensuite, nous
écrivons juste une chose très
basique qui est notre relation de changement de fonction.
Donc argument de fonction aussi bien
avec deux dans la définition dérivée.
Mais la chose ici est,
comment on devrait définir
un changement de fonction et le changement de son argument.
Eh bien d'abord, considérons une configuration de base ici.
Voici notre point AB ici est
notre direction et suppose que le deuxième point,
le point avec lequel nous comparons le nôtre,
puisque nous considérons le changement de
fonction et le changement d'argument,
nous devons considérer un autre point et comparer
cet autre point par exemple x, y avec les nôtres.
Mais ce n'est pas un point arbitraire.
C' est le point sur nos directions,
le point sur la ligne droite
qui commence à partir du point
AB et suit le vecteur directionnel L. Donc,
puisque c'est comme ça, le changement entre la
coordonnée x du point initial et
la coordonnée x avec le point x,
y est fondamentalement doit être proportionnelle
à la coordonnée x de la direction. Il
en va de même pour
le changement de la deuxième variable ou le changement y.
C' est le changement d'une fonction
est fondamentalement la différence
entre la valeur et le point initial est un point a,
b et la valeur au point
que nous avons obtenu à la suite de l'application de
ce vecteur directionnel au point a, b,
t fois en multipliant fondamentalement notre direction par
t. Dans ma recherche ici est
que la distance entre
le point initial et le point x,
y est le point que nous comparons une autre fonction avec est
proportionnelle à t est en fait t
parce que la longueur de notre direction est égale à un.
Donc, nous avons à peu près toute la configuration dont nous avons besoin.
Nous avons juste besoin d'écrire le résultat.
Donc, en conséquence,
nous obtenons que notre dérivé directionnel
est la limite vers t approche zéro,
le changement de la fonction divisé par t. Une fois de plus,
je vais insister sur cela.
Vous devez normaliser votre interaction ici.
Sinon, votre réponse sera
dessinée exactement dans la longueur des temps de direction.
Encore une chose, je vais
vous donner cette notation une fois de plus, sauf
que la notation de jeu écrite sur la diapositive est opérationnelle
et
la deuxième notation est celle habituelle pour nous avec l'index inférieur.
C' est donc ce qui est
dérivé directionnel à travers sa définition.
Considérons un dernier exemple ici.
Tout d'abord, arrêtons-nous une seconde à
ces fonctions mêmes et
comprenons pourquoi c'est si dérangeant ici.
Nous allons procéder comme suit,
nous n'allons pas
examiner si nous pouvons ou non différencier.
C' est au nord par la question de fait.
Nous allons simplement réfléchir à la question de savoir si oui ou non il a
une limite au point 0,0.
Ici, où cela devient délicat parce que supposons que nous
envisageons une approche.
Par exemple x est égal à t,
y est égal à zéro assez commun comment approche horizontale.
On l'a fait la deuxième semaine.
Comment la fonction se transforme en, eh bien,
zéro divisé par t puissance quatre plus zéro, non ?
Donc, fondamentalement, c'est zéro.
Donc, s'il y a une limite de cette fonction au point zéro,
elle est égale à zéro.
Mais si vous pouvez voir l'
approche parabolique non droite, quadratique par exemple x égal à t,
y égal à t carré,
alors la fonction se transforme en demi
et demi approche réellement la
moitié, que vous preniez ou non une limite.
Donc, cette fonction n'a
aucune limite au point initial
car elle n'est pas continue, elle n'est pas différenciable.
C' est absolument désastreux.
Mais qu'en est-il de notre dérivé ? Qu'est-ce qu'on devrait faire ?
Nous devrions envisager, par exemple, une bonne direction.
Nous devons comprendre quelle est la direction.
Alors prenons juste la direction arbitraire,
cosinus Alpha, sinus Alpha, non ?
Qui s'en soucie ? On peut le faire dans le cas général.
Eh bien, puisque nous parlons de a,
b est égal à 0,0,
vous devez calculer la limite de t approche zéro.
Le changement de fonction moins
sa valeur au point zéro qui est zéro,
divisé par t. Je vais changer x et y
directement par un t multiplié par L pour le rendre plus simple.
Donc ce que nous allons avoir ici,
nous allons avoir t carré cosinus
carré multiplié par t sinus.
C' est un désastre.
T alimenté quatre, cosinus alimenté quatre
plus t alimenté deux somme de puissance sinusoïdale deux.
Ça nous effraie, mais on peut régler ça.
Tout d'abord, nous pouvons simplement
diviser et éliminer le dénominateur par t
carré et nous restons avec un t
dans le dénominateur et t dans
le dénominateur de la fraction entière ici.
Donc, nous pouvons le diviser aussi et ainsi nous
obtenons une expression assez belle ici.
Nous obtenons le sinus d'Alpha multiplié par le
cosinus carré divisé par t carré.
Eh bien, puis va cosinus alimenté quatre plus sinusoïdal carré.
Si t approche zéro,
ce terme entier approche
zéro et donc nous avons notre réponse,
cosinus au carré divisé par sinus alpha.
Eh bien et au cas où alpha n'est pas zéro,
nous pouvons réellement compter sur cette réponse même.
Prenons donc un moment ici.
Cette fonction est mauvaise.
Cette fonction n'est pas continue.
Cette fonction n'est pas différenciable mais elle a
des dérivés directionnels pour la plupart des directions ?
D' accord. C'est drôle
parce que même si vous
ne pouvez rien dire de bon sur cette fonction,
il n'a pas d'approximation linéaire décente.
Il pousse encore vers
diverses directions peut être à
peu près évaluée facilement et pleinement.