In primo luogo, iniziamo con
l'idea della derivata direzionale.
Dobbiamo essere onesti l'uno con l'altro.
Quando definiamo derivati parziali,
definiamo effettivamente
i derivati delle restrizioni di funzione,
restrizioni verso alcune direzioni preferibili.
In primo luogo, quello che
abbiamo fatto, abbiamo considerato solo la funzione che
è limitata dall'aereo.
Bene, in proiezione orizzontale,
con questa sezione orizzontale
e questa sezione verticale. Va bene.
È così che abbiamo definito i nostri derivati parziali.
Ma cosa succede se stiamo
pensando alla crescita della funzione
verso un'altra direzione, un
altro piano, come uno schermo che non è
orizzontale o verticale sul piano X o Y.
Qual è la velocità di
un fantasma, ma come si dovrebbe definire correttamente?
La risposta è, come si
può intuire, la derivata direzionale.
Beh, quindi grossolanamente una derivata direzionale ha due parti,
che è familiare per noi.
Dobbiamo capire qual è
la direzione correttamente definita per la matematica?
Beh, ovviamente la direzione
dell'aereo e' un vettore, giusto?
Perché se hai qualche solo un piccolo punto veramente e
devi mostrare una certa direzione,
basta andare in [inudibile] va in.
E' un semplice errore.
Quindi, prima di tutto, dobbiamo capire i termini.
La direzione non ha
una lunghezza in un modo tranne, ad esempio,
un segmento ha una lunghezza o il modo in
cui un punto va da uno all'altro,
una curva ha una lunghezza.
La direzione ha solo l'idea di dove andare,
dove [inudibile] così dire per esempio,
asse del piano.
Quindi c'è un presupposto che il vettore direzionale
è sempre normalizzato o in
certi livelli la sua lunghezza è uguale a uno.
Questo va bene. Quindi i casi
interdimensionali sono fondamentalmente dimensionali,
un vettore direzionale è il vettore che ha
funzioni coseno e sinusoidale dell'angolo
con per esempio, asse di bue.
Quindi consideriamo un semplice grafico qui,
abbiamo il nostro asse,
abbiamo il nostro punto zero, e poi cosa?
Poi abbiamo indicazioni per
derivata parziale verso x,1,0.
Direzione per derivata parziale verso y,
0,1 e qualche altra direzione.
Lo chiamerò L per la maggior parte delle diapositive.
Allora, qual è questa direzione?
Questa direzione è fondamentalmente un vettore con lunghezza unificata.
Questo è dal teorema di Pitagora
e per definizione delle funzioni coseno e sinusoidale.
Quindi possiamo trovare le sue coordinate se conosciamo
l'angolo tra lo spettro e l'asse x.
Quindi, se questo angolo è uguale a due, esempio Gamma,
allora possiamo procedere con
le coordinate coseno Gamma e gamma sinusoidale rispettivamente.
A volte, queste coordinate sono chiamate
coseno di angoli direzionali perché come si può ovviamente
capire che l'altro angolo qui
è p diviso per
2 meno Gamma e il suo coseno è fondamentalmente seno di Gamma.
Sono regole trigonometriche molto basilari.
Ora, sappiamo qual è una direzione.
Quindi cerchiamo di definire un derivato da qui.
Quindi qual è la conoscenza più
basilare dei derivati che abbiamo?
La derivata della funzione variata singola è il limite
del cambiamento della funzione verso il cambiamento dell'argomento giusto?
Quindi proviamo a scriverlo.
In primo luogo, formalmente, abbiamo due funzione variabile,
f verso X e Y,
dato punto e la direzione.
Useremo l'annotazione
come per le derivate parziali qui.
Quindi, fondamentalmente, stiamo
scrivendo che alla ricerca della rotazione del cambiamento
sulla funzione verso la direzione L. Quindi stiamo
solo scrivendo una cosa molto basilare
che è la nostra relazione di cambiamento di funzione.
Quindi argomento funzione pure
con due in definizione derivata.
Ma la cosa qui è,
come si dovrebbe definire
un cambiamento di funzione e il cambiamento del suo argomento.
Bene, in primo luogo consideriamo alcune impostazioni di base qui.
Ecco il nostro punto AB qui è la
nostra direzione e presuppone che il secondo punto,
il punto con cui stiamo confrontando il nostro,
poiché stiamo considerando il cambiamento di
funzione e il cambiamento di argomento,
dobbiamo considerare qualche altro punto e confrontare
questo altro punto per esempio x, y con la nostra.
Ma questo non è un punto arbitrario.
Questo è il punto sulle nostre direzioni,
il punto sulla linea retta
che parte dal punto
AB e segue il vettore direzionale L. Quindi
dal momento che è così allora il cambiamento tra la
coordinata x del punto iniziale e la
coordinata x con il punto x,
y è fondamentalmente dovrebbe essere proporzionale
alla coordinata x della direzione.
Lo stesso vale per
il cambiamento della seconda variabile o il cambiamento y.
Questo è il cambiamento di una funzione
è fondamentalmente la differenza
tra il valore e il punto iniziale è un punto a,
b e il valore al punto che abbiamo
ottenuto come risultato di applicare
questo vettore direzionale al punto a, b,
t volte fondamentalmente moltiplicando la nostra direzione per
t. Nella mia ricerca qui è
che la distanza tra
il punto iniziale e il punto x,
y è il punto con cui confrontiamo l'altra funzione è
proporzionale a t è in realtà t
perché la lunghezza della nostra direzione è uguale a uno.
Quindi abbiamo praticamente tutta la configurazione di cui abbiamo bisogno.
Dobbiamo solo scrivere il risultato.
Quindi, come risultato,
otteniamo che la nostra derivata direzionale
è il limite verso t si avvicina a zero,
il cambiamento della funzione divisa per t. Ancora una volta,
ho intenzione di sottolineare questo.
Devi normalizzare la tua interazione qui.
Altrimenti, la tua risposta verrà
disegnata esattamente nella lunghezza dei tempi di direzione.
Ancora una cosa che ho intenzione di
darvi questa notazione ancora una volta tranne
che la notazione impostata scritta sulla diapositiva è operativa
e la seconda notazione
è la solita per noi con l'indice inferiore.
Quindi questo è ciò che è
derivato direzionale attraverso la sua definizione.
Consideriamo qualche esempio finale qui.
Prima di tutto fermiamoci per un secondo a
queste funzioni e
capiamo perché è così inquietante qui.
Stiamo andando a procedere come segue,
non abbiamo intenzione di
considerare se differenziabile o meno.
E' a nord, a dire il vero.
Abbiamo solo andando a pensare se ha o meno
un limite al punto 0,0.
Qui, dove diventa difficile perché supponiamo che
stiamo guardando un certo approccio.
Ad esempio x uguale a t,
y uguale a zero abbastanza comune come approccio orizzontale.
L' abbiamo fatto la seconda settimana.
Come la funzione si trasforma in, beh,
zero diviso per t potenza quattro più zero, giusto?
Quindi fondamentalmente è zero.
Quindi se c'è un limite di questa funzione al punto zero,
è uguale a zero.
Ma se riesci a vedere l'
approccio non rettilineo parabolico, quadratico, ad esempio x uguale a t,
y uguale a t al quadrato,
allora la funzione si trasforma in una metà
e una metà si avvicina effettivamente a
metà indipendentemente dal fatto che tu stia prendendo o meno un limite.
Quindi questa funzione non ha
alcun limite nel punto iniziale
perché non è continua, non è differenziabile.
E' assolutamente disastroso.
Ma che mi dici della nostra derivata? Cosa dovremmo fare?
Dovremmo prendere in considerazione, ad esempio, qualche direzione giusta.
Dobbiamo capire di cosa si tratta la direzione.
Quindi prendiamo una direzione arbitraria,
coseno alfa, seno alfa, giusto?
Chi se ne frega? Possiamo fare solo nel caso generale.
Bene, dal momento che stiamo parlando di a,
b uguale a 0,0,
è necessario calcolare il limite di t si avvicina a zero.
Il cambiamento di funzione meno il
suo valore al punto zero che è zero,
diviso per t. Ho intenzione di cambiare x e y
direttamente per una t moltiplicato per L per renderlo più semplice.
Quindi quello che stiamo per avere qui,
stiamo andando ad avere t quadrato coseno
moltiplicato per t seno.
Questo è un disastro.
T alimentato quattro, coseno alimentato quattro
più t alimentato due somma di potenza sinusoidale due.
Questo ci spaventa, ma possiamo risolvere la cosa.
Prima di tutto, possiamo solo
dividere ed eliminare il denominatore per t al
quadrato e siamo rimasti con un t
in denominatore e t
nel denominatore di tutta la frazione qui.
Quindi possiamo dividerlo anche e quindi
otteniamo una bella espressione qui.
Otteniamo seno di Alpha moltiplicato per
coseno quadrato diviso per t al quadrato.
Bene, allora va coseno alimentato quattro più seno al quadrato.
Se t si avvicina a zero,
tutto questo termine si avvicina a
zero e quindi abbiamo la nostra risposta,
coseno al quadrato diviso per seno alfa.
Bene e nel caso in cui alfa non sia zero,
possiamo effettivamente contare su questa stessa risposta.
Prendiamoci un momento qui.
Questa funzione è cattiva.
Questa funzione non è continua.
Questa funzione non è differenziabile ma ha
derivati direzionali per la maggior parte delle direzioni giusto?
Ok. Questo è divertente
perché anche se
non puoi dire nulla di buono su questa funzione,
non ha un'approssimazione lineare decente.
Cresce ancora verso
varie direzioni può essere
praticamente valutato facilmente e completamente.