Em primeiro lugar, vamos começar com
a idéia da derivada direcional.
Precisamos ser honestos um com o outro.
Quando definimos derivadas parciais,
nós realmente definimos
as derivadas de restrições de função,
restrições para algumas direções preferíveis.
Em primeiro lugar, o que fizemos,
consideramos apenas a função que
é restrita pelo avião.
Bem, em projeção horizontal,
com esta seção horizontal
e esta seção vertical. Tudo bem.
Foi assim que definimos nossos derivados parciais.
Mas e se estivermos pensando
sobre o crescimento da função
em direção a alguma outra direção,
algum outro plano, igual a uma tela que não é
horizontal ou vertical no plano X ou Y.
Qual é a velocidade de
um fantasma, mas como se deve definir corretamente?
A resposta é, como você
pode imaginar, a derivada direcional.
Bem, tão grosseiramente um derivado direcional tem duas partes,
o que é familiar para nós.
Precisamos entender qual é
a direção corretamente definida para a matemática?
Bem, obviamente a direção
no avião é um vetor, certo?
Porque se você tem algum apenas um pouco realmente ponto e
você tem que mostrar alguma direção,
você apenas entra em [inaudível] entra.
Isso é um erro simples.
Então, primeiro, precisamos entender os termos.
A direção não tem
um comprimento de uma forma exceto, por exemplo,
um segmento tem um comprimento ou a maneira como
um ponto vai de um para outro,
uma curva tem um comprimento.
A direção tem apenas a idéia de onde ir,
onde [inaudível] assim dizer, por exemplo,
eixo do plano.
Portanto, há um conjunto de suposições que o vetor direcional
é sempre normalizado ou em
certos níveis é comprimento igual a um.
Isso é bom. Então casos interdimensionais
basicamente é dimensional,
um vetor direcional é o vetor que tem
funções de cosseno e seno do ângulo
com, por exemplo, eixo do boi.
Então vamos considerar algum gráfico simples aqui,
temos nosso eixo,
temos nosso ponto zero, e então o quê?
Então temos direções para
derivada parcial em direção a x,1,0.
Direção para derivado parcial em direção a y,
0,1 e alguma outra direção.
Vou chamar-lhe L para a maioria dos slides.
Então, qual é a direção?
Esta direção é basicamente um vetor com comprimento unificado.
Isso é pelo teorema de Pitágoras
e por definição de funções de cosseno e seno.
Então nós podemos realmente encontrar suas coordenadas se nós sabemos
o ângulo entre o espectro e o eixo x.
Então, se este ângulo é igual a dois, exemplo Gamma,
então podemos prosseguir com
coordenadas cosseno Gamma e seno Gamma respectivamente.
Às vezes, essas coordenadas são chamadas
de cosseno de ângulos direcionais porque como você pode obviamente
entender que o outro ângulo aqui
é p dividido por
2 menos Gamma e seu cosseno é basicamente seno de Gama.
São regras trigonométricas muito básicas.
Agora, sabemos o que é uma direção.
Então vamos tentar definir um derivado a partir daqui.
Então, qual é o conhecimento mais básico dos
derivados que temos?
A derivada da função variável única é o limite
de mudança de função para a mudança de argumento direita?
Então vamos tentar escrever.
Em primeiro lugar, formalmente, temos duas funções variáveis,
f para X e Y,
dado ponto e a direção.
Nós vamos usar anotação
como para os derivados parciais aqui.
Então, basicamente, estamos escrevendo
que em busca da rotação da mudança
sobre a função em direção L. Então estamos
apenas escrevendo uma coisa muito básica
que é nossa relação de mudança de função.
Então argumento função bem
com dois na definição derivada.
Mas a coisa aqui é,
como se deve definir
uma mudança de função e a mudança de seu argumento.
Bem, em primeiro lugar, vamos considerar alguma configuração básica aqui.
Aqui está o nosso ponto AB aqui é a
nossa direção e assume que o segundo ponto,
o ponto que estamos comparando o nosso com,
uma vez que estamos considerando a mudança de
função e a mudança de argumento,
precisamos considerar algum outro ponto e comparar
este outro ponto por exemplo x, y com o nosso.
Mas isso não é um ponto arbitrário.
Esse é o ponto em nossas direções,
o ponto na linha reta
que começa a partir do ponto
AB e segue o vetor direcional L. Então,
uma vez que é assim então a mudança entre a
coordenada x do ponto inicial e
a coordenada x com o ponto x,
y é basicamente deve ser proporcional
à coordenada x da direção.
O mesmo se aplica para
a mudança da segunda variável ou a alteração y.
Essa é a mudança de uma função
é basicamente a diferença
entre o valor e o ponto inicial é um ponto a,
b e o valor no ponto que
temos como resultado da aplicação
deste vetor direcional para o ponto a, b,
t vezes basicamente multiplicando nossa direção por
t. Na minha pesquisa aqui é
que a distância entre
o ponto inicial e o ponto x,
y é ponto que comparamos outra função com é
proporcional a t é realmente t
porque o comprimento da nossa direção é igual a um.
Então temos praticamente toda a configuração que precisamos.
Só precisamos anotar o resultado.
Então, como resultado,
obtemos que nossa derivada direcional
é o limite para t se
aproxima de zero, a mudança da função dividida por t. Mais uma vez,
eu vou enfatizar isso.
Precisa normalizar sua interação aqui.
Caso contrário, sua resposta será
desenhada exatamente no comprimento dos tempos de direção.
Mais uma coisa eu vou
dar-lhe esta notação mais uma vez exceto
que a notação set escrita no slide está operacional
e a segunda notação
é a habitual para nós com o índice mais baixo.
Então isso é o que é
derivado direcional através de sua definição.
Consideremos aqui um exemplo final.
Primeiro de tudo, vamos parar por um segundo nessas
funções e
entender por que isso é tão perturbador aqui.
Vamos proceder da seguinte forma,
não vamos
considerar se é ou não diferenciável.
É o norte, pela questão de fato.
Vamos apenas pensar se ele tem ou não
um limite no ponto 0,0.
Aqui, onde fica complicado, porque vamos supor que
estamos olhando para alguma abordagem.
Por exemplo x é igual a t,
y é igual a zero bastante comum como abordagem horizontal.
Fizemos isso na segunda semana.
Como a função se transforma em, bem,
zero dividido por t potência quatro mais zero, certo?
Então, basicamente, é zero.
Então, se há um limite desta função no ponto zero,
é igual a zero.
Mas se você pode ver a
abordagem parabólica não-reta, quadrática por exemplo x é igual a t,
y é igual a t ao quadrado,
então a função se transforma em uma metade
e uma metade realmente se aproxima de
uma metade se você está tomando ou não qualquer limite.
Portanto, esta função não tem
nenhum limite no ponto inicial
porque não é contínua, não é diferenciável.
É totalmente desastroso.
Mas e o nosso derivado? O que devemos fazer?
Devemos considerar, por exemplo, alguma direção certa.
Precisamos entender qual é a direção.
Então vamos tomar direção arbitrária,
cosseno Alpha, seno Alpha, certo?
Quem se importa? Podemos fazer apenas no caso geral.
Bem, uma vez que estamos falando de a,
b é igual a 0,0,
você precisa calcular o limite de t se aproxima de zero.
A mudança de função menos o
seu valor no ponto zero que é zero,
dividido por t. Eu vou mudar x e y
diretamente por um t multiplicado por L para torná-lo mais simples.
Então o que nós vamos ter aqui,
nós vamos ter t ao quadrado cosseno
multiplicado por t seno.
Isto é um desastre.
T alimentado quatro, cosseno alimentado quatro
mais t alimentado dois soma seno potência dois.
Isso nos assusta, mas podemos resolver isso.
Primeiro de tudo, podemos apenas
dividir e eliminar denominador por t
ao quadrado e ficamos com um t
no denominador e t
no denominador de toda a fração aqui.
Então podemos dividi-lo também e assim
temos alguma expressão muito agradável aqui.
Temos seno de Alfa multiplicado pelo
cosseno ao quadrado dividido por t ao quadrado.
Bem, então vai coseno alimentado quatro mais seno ao quadrado.
Se t se aproximar de zero,
todo esse termo se aproxima de
zero e, portanto, temos nossa resposta,
cosseno ao quadrado dividido pelo seno alfa.
Bem, e no caso de alfa não ser zero,
podemos realmente contar com essa resposta.
Então, vamos ter um momento aqui.
Esta função é ruim.
Esta função não é contínua.
Esta função não é diferenciável, mas tem
derivadas direcionais para a maioria das direções certo?
Ok. Isso é engraçado
porque mesmo se você
não pode dizer nada de bom sobre esta função,
ela não tem aproximação linear decente.
Ele ainda cresce em direção a
várias direções pode ser
praticamente avaliado facilmente e totalmente.