Во-первых, давайте
начнем с идеи направленной производной.
Мы должны быть честными друг с другом.
Когда мы определяем частичные производные,
мы фактически определяем
производные функциональных ограничений,
ограничения в сторону некоторых предпочтительных направлений.
Во-первых, то, что мы сделали,
мы рассматривали только функцию, которая
ограничена плоскостью.
Ну, в горизонтальной проекции,
с этим горизонтальным сечением
и этим вертикальным сечением. Ладно.
Так мы определили наши частичные производные.
Но что, если мы думаем
о росте функции
к другому направлению,
какой-то другой плоскости, такой же, как экран, который не является
горизонтальным или вертикальным на плоскости X или Y.
Какова скорость
призрака, но как правильно определить?
Ответ - это, как вы
могли догадаться, производная направления.
Ну, так грубо направленная производная имеет две части,
что нам хорошо знакомо.
Нам нужно понять, какое
направление правильно определено для математики?
Ну, очевидно, направление
на самолете вектор, верно?
Потому что если у вас есть немного действительно точки, и
вы должны показать какое-то направление,
вы просто идете в [неразборчиво] идет в.
Это простая ошибка.
Итак, во-первых, нам нужно понять термины.
Направление не
имеет длины таким образом, за исключением, например,
сегмента имеет длину или
способ перехода точки из одной в другую,
кривая имеет длину.
Направление имеет только представление о том, куда идти,
куда [неразборчиво] так сказать, например,
ось плоскости.
Таким образом, существует предположение, что вектор направления
всегда нормализуется или на
определенных уровнях его длина равна единице.
Это нормально. Таким образом, межмерные случаи
в основном являются размерными,
вектор направления является вектором, который имеет
косинус и синусоидальные функции угла
с, например, осью быка.
Итак, давайте рассмотрим простой график здесь,
у нас есть наша ось,
у нас есть нулевая точка, и что потом?
Тогда у нас есть направления для
частичной производной к x,1,0.
Направление для частичной производной к y,
0,1 и некоторому другому направлению.
Я буду называть его L для большинства слайдов.
Так что это за направление?
Это направление в основном вектор с единой длиной.
Это по теореме Пифагора
и определению косинуса и синуса функций.
Таким образом, мы можем найти его координаты, если мы знаем
угол между спектром и осью Х.
Так что если этот угол равен двум, например Гамма,
то мы можем продолжить с
координатами косинуса Гамма и синуса Гамма соответственно.
Иногда эти координаты называются
косинусом направленных углов, потому что, как вы можете очевидно
понять, что другой угол здесь
p делится на
2 минус Гамма и его косинус в основном синус Гамма.
Это очень основные тригонометрические правила.
Теперь мы знаем, что такое направление.
Так давайте попробуем определить производную отсюда.
Итак, каковы самые базовые знания
о производных, которые у нас есть?
Производная одновариативной функции является пределом
изменения функции в сторону изменения аргумента право?
Так что давайте попробуем записать это.
Во-первых, формально у нас есть две переменные функции,
f к X и Y,
заданная точка и направление.
Мы будем использовать аннотацию
как для частичных производных здесь.
Итак, в основном, мы пишем,
что в поисках
спина изменения функции в направлении L. Затем мы
просто пишем очень основную
вещь, которая является нашим отношением изменения функции.
Таким образом, аргумент функции, а также
с двумя в производном определении.
Но дело в том,
как следует определить
изменение функции и изменение его аргумента.
Ну, во-первых, давайте рассмотрим некоторые основные настройки здесь.
Вот наша точка AB здесь
наше направление и предполагает, что вторая точка, точка, которую
мы сравниваем с нашей,
так как мы рассматриваем изменение
функции и изменение аргумента,
нам нужно рассмотреть какую-то другую точку и сравнить
эту другую точку, например x, y с нашими.
Но это не произвольный момент.
Это точка на наших направлениях,
точка на прямой линии,
которая начинается от точки
AB и следует вектор направления L.
Так как это так, то изменение между
координатой x начальной точки и
координатой x с точкой x,
y в основном должна быть
пропорциональна координате x направления.
То же
самое касается изменения второй переменной или изменения y.
Это изменение функции в
основном разница
между значением и начальной точкой является точка a,
b и значение в точке, которую мы
получили в результате применения
этого направленного вектора к точке a, b,
t раз в основном умножая наше направление на
t. В моем поиске здесь заключается в
том, что расстояние между
начальной точкой и точкой x,
y является точка, с которой мы сравниваем другую функцию,
пропорциональна t на самом деле равно t,
потому что длина нашего направления равна одному.
Так что у нас есть почти все, что нам нужно.
Нам просто нужно записать результат.
Таким образом,
мы получаем, что наша производная направленность
является пределом к t приближается к нулю,
изменение функции, разделенной на t. Еще раз,
я собираюсь подчеркнуть это.
Вам нужно нормализовать свое взаимодействие здесь.
В противном случае ваш ответ будет
нарисован точно по длине времени направления.
Еще одна вещь, которую я собираюсь
дать вам эту нотацию еще раз, за исключением того
, что набор нотации, написанные на слайде, работает,
а вторая нотация
является обычной для нас с более низким индексом.
Так вот что является
производной направления через его определение.
Рассмотрим здесь какой-то последний пример.
Прежде всего, давайте остановимся на секундочку на
этой самой функции и
поймем, почему это так тревожно.
Мы будем действовать следующим образом,
мы не будем
рассматривать, является ли дифференцированным или нет.
Это на север по сути дела.
Мы просто будем думать о том,
имеет ли он предел в точке 0,0.
Здесь, где это становится сложным, потому что давайте предположим, что
мы смотрим на какой-то подход.
Например, x равно t,
y равно нулю довольно часто, как горизонтальный подход.
Мы сделали это на второй неделе.
Как функция превращается в, ну,
ноль, деленная на t мощность четыре плюс ноль, верно?
Так что в основном это ноль.
Поэтому, если есть предел этой функции в нулевой точке,
он равен нулю.
Но если вы можете увидеть непрямой параболический
квадратичный подход, например, x равно t,
y равно t в квадрате,
то функция превращается в половину
и половину фактически приближается к половине,
независимо от того, принимаете ли вы какие-либо ограничения.
Таким образом, эта функция не имеет
ограничений в начальной точке,
потому что она не непрерывна, она не дифференцируется.
Это катастрофически.
Но что насчет нашей производной? Что мы должны сделать?
Мы должны рассмотреть, например, какое-то направление правильное.
Нам нужно понять, в чем дело.
Так давайте просто возьмем произвольное направление,
косинус Альфа, синус Альфа, верно?
Кого волнует? Мы можем сделать это в общем случае.
Ну, так как мы говорим о a,
b равно 0,0,
вам нужно вычислить предел t приближается к нулю.
Изменение функции минус
ее значение в нулевой точке, которая равна нулю,
деленная на t. Я собираюсь изменить x и y
прямо на t, умноженное на L, чтобы сделать его проще.
Итак, что мы собираемся иметь здесь,
мы собираемся иметь t квадрат косинуса в
квадрате, умноженный на t синус.
Это катастрофа.
T питается четыре, косинус питается четыре
плюс т питается две суммы синусоидальной мощности два.
Это пугает нас, но мы можем всё уладить.
Прежде всего, мы можем просто
разделить и устранить знаменатель на t в
квадрате и мы остаемся с t
в знаменателе и t
в знаменателе всей дроби здесь.
Таким образом, мы можем разделить его также и, таким образом, мы
получаем довольно хорошее выражение здесь.
Получаем синус Альфы умноженный на
косинус квадрат, деленный на t в квадрате.
Ну, затем идет косинус питания четыре плюс синус квадрат.
Если t приближается к нулю,
весь этот термин приближается к
нулю и, таким образом, у нас есть ответ,
косинус в квадрате, разделенный на синус альфа
Ну и в случае, если альфа не равна нулю,
мы можем рассчитывать на этот самый ответ.
Так что давайте возьмем минутку здесь.
Эта функция плохая.
Эта функция не является непрерывной.
Эта функция не дифференцируется, но она имеет
направления производные для большинства направлений правильно?
Хорошо. Это смешно,
потому что даже если вы
не можете сказать ничего хорошего об этой функции,
она не имеет приличного линейного приближения.
Он по-прежнему растет в направлении
различных направлений может быть в
значительной степени оценен легко и полностью.