Thứ nhất, chúng ta hãy bắt
đầu với ý tưởng về đạo hàm định hướng.
Chúng ta cần phải trung thực với nhau.
Khi ta định nghĩa đạo hàm từng phần,
ta thực sự định nghĩa
các đạo hàm của các hạn chế hàm,
hạn chế hướng tới một số hướng thích hợp hơn.
Thứ nhất, những gì chúng tôi đã làm,
chúng tôi đã xem xét chỉ có chức năng mà
bị hạn chế bởi máy bay.
Vâng, trong chiếu ngang,
với phần ngang này
và phần thẳng đứng này. Được rồi.
Đó là cách chúng tôi định nghĩa các dẫn xuất một phần của chúng tôi.
Nhưng nếu chúng ta đang nghĩ
về sự phát triển của chức năng
đối với một số hướng khác, một
số mặt phẳng khác, giống như một màn hình mà không phải là
ngang hoặc dọc trên mặt phẳng X hoặc Y.
Tốc độ của
một con ma là bao nhiêu nhưng làm thế nào để xác định đúng cách?
Câu trả lời là, như bạn
có thể đoán, đạo hàm định hướng.
Vâng, do đó, một đạo hàm định hướng có hai phần,
mà là quen thuộc với chúng ta.
Chúng ta cần phải hiểu
hướng được xác định đúng cho toán học là gì?
Vâng, rõ ràng hướng
trên máy bay là một vectơ, phải không?
Bởi vì nếu bạn có một số chỉ là một chút thực sự điểm và
bạn phải cho thấy một số hướng,
bạn chỉ cần đi vào [không nghe được] đi vào.
Đó là một lỗi đơn giản.
Vì vậy, trước tiên, chúng ta cần phải hiểu các thuật ngữ.
Hướng không có
chiều dài theo một cách ngoại trừ, ví dụ,
một đoạn có chiều dài hoặc cách
mà một dấu chấm đi từ này sang dấu chấm khác,
một đường cong có chiều dài.
Hướng chỉ có ý tưởng về nơi để đi,
nơi để [không nghe được] như vậy nói ví dụ,
trục của máy bay.
Vì vậy, có một giả định thiết lập vector định hướng
luôn luôn được chuẩn hóa hoặc ở các
mức độ nhất định nó chiều dài bằng một.
Không sao đâu. Vì vậy các trường hợp liên
chiều về cơ bản
là chiều, một vectơ định hướng là vectơ có
hàm cosin và sin của góc
với ví dụ như trục bò.
Vì vậy, chúng ta hãy xem xét một số đồ thị đơn giản ở đây,
chúng tôi có trục của
chúng tôi, chúng tôi có điểm không của chúng tôi, và sau đó những gì?
Sau đó chúng ta có hướng cho
đạo hàm một phần hướng tới x,1,0.
Hướng cho đạo hàm một phần hướng về y,
0,1 và một số hướng khác.
Tôi sẽ gọi nó là L cho hầu hết các slide.
Vậy hướng này là gì?
Hướng này về cơ bản là một vectơ với chiều dài thống nhất.
Đó là bởi định lý Pythagoras
và theo định nghĩa của hàm cosin và sin.
Vì vậy, chúng ta có thể thực sự tìm tọa độ của nó nếu chúng ta biết
góc giữa quang phổ và trục x.
Vì vậy, nếu góc này bằng hai, ví dụ Gamma,
thì chúng ta có thể tiến hành với
tọa độ cosin Gamma và sin Gamma tương ứng.
Đôi khi, các tọa độ này được gọi là
cosin của các góc định hướng bởi vì như bạn rõ ràng có thể
hiểu rằng góc khác ở đây
là p chia cho
2 trừ Gamma và cosin của nó về cơ bản là sin của Gamma.
Đó là một quy tắc lượng giác rất cơ bản.
Bây giờ, chúng ta biết hướng đi là gì.
Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng để xác định một đạo hàm từ đây.
Vậy kiến thức cơ bản nhất của
các dẫn xuất mà chúng ta có là gì?
Đạo hàm của hàm biến thể đơn là giới hạn thay
đổi hàm theo hướng thay đổi đối số đúng không?
Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng viết nó xuống.
Thứ nhất, chính thức, chúng ta có hai hàm biến,
f về phía X và Y,
cho điểm và hướng.
Chúng ta sẽ sử dụng chú thích
như đối với các dẫn xuất một phần ở đây.
Vì vậy, về cơ bản, chúng tôi đang viết
rằng trong tìm kiếm các spin của sự thay đổi
trên chức năng hướng L. Sau đó, chúng tôi
chỉ viết một điều rất cơ bản
đó là mối quan hệ của chúng tôi về sự thay đổi chức năng.
Vì vậy, đối số hàm cũng như
với hai trong định nghĩa đạo hàm.
Nhưng điều ở đây là,
làm thế nào người ta nên xác định
một sự thay đổi chức năng và sự thay đổi của lập luận của mình.
Vâng trước hết chúng ta hãy xem xét một số thiết lập cơ bản ở đây.
Đây là điểm AB của chúng tôi ở đây là
hướng của chúng tôi và giả định rằng điểm thứ hai,
điểm chúng tôi đang so sánh chúng tôi với,
vì chúng tôi đang xem xét sự thay đổi của
hàm và sự thay đổi của đối số,
chúng ta cần phải xem xét một số điểm khác và so sánh
điểm khác này ví dụ x, y với chúng ta.
Nhưng đó không phải là một điểm tùy ý.
Đó là điểm trên hướng của chúng tôi,
điểm trên đường thẳng
mà bắt đầu từ điểm
AB và theo vectơ định hướng L.
Vì nó là như thế sau đó sự thay đổi giữa
x tọa độ của điểm ban đầu và
x tọa độ với điểm x,
y về cơ bản nên tỷ lệ thuận với
tọa độ x của hướng.
Điều tương tự cũng áp dụng cho
sự thay đổi của biến thứ hai hoặc thay đổi y.
Đó là sự thay đổi của một hàm
về cơ bản là sự khác biệt
giữa giá trị và điểm ban đầu là một điểm a,
b và giá trị tại điểm mà chúng tôi đã
nhận được như là một kết quả của việc áp dụng
vectơ định hướng này đến điểm a, b,
t lần cơ bản nhân hướng của chúng tôi bằng
t. Trong tìm kiếm của tôi ở đây
là khoảng cách giữa
điểm ban đầu và điểm x,
y là điểm chúng tôi so sánh chức năng khác với là
tỷ lệ thuận với t là thực sự là t
vì chiều dài của hướng của chúng tôi bằng một.
Vì vậy, chúng tôi có khá nhiều tất cả các thiết lập chúng tôi cần.
Chúng ta chỉ cần viết kết quả xuống.
Vì vậy, kết quả là,
chúng tôi nhận được rằng đạo hàm định
hướng của chúng tôi là giới hạn đối với t tiếp cận 0,
sự thay đổi của hàm chia cho t Một lần nữa,
tôi sẽ nhấn mạnh điều này ra.
Bạn cần phải bình thường hóa sự tương tác của bạn ở đây.
Nếu không, câu trả lời của bạn sẽ được
rút ra chính xác theo chiều dài của thời gian hướng.
Một điều nữa tôi sẽ
cung cấp cho bạn ký hiệu này một lần nữa ngoại trừ
ký hiệu tập hợp được viết trên slide là hoạt động
và ký hiệu thứ hai
là ký hiệu thông thường cho chúng tôi với chỉ số thấp hơn.
Vì vậy, đó là đạo
hàm định hướng thông qua định nghĩa của nó.
Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ cuối cùng ở đây.
Trước hết chúng ta hãy dừng lại một giây tại các
chức năng này và
hiểu tại sao nó là như vậy đáng lo ngại ở đây.
Chúng ta sẽ tiến hành như sau,
chúng ta sẽ không xem
xét liệu có khác biệt hay không.
Nó ở phía bắc bởi vấn đề thực tế.
Chúng tôi chỉ đi để suy nghĩ về việc liệu nó có
một giới hạn tại điểm 0,0.
Ở đây, nơi mà nó trở nên khó khăn bởi vì chúng ta hãy giả định rằng chúng ta
đang nhìn vào một số cách tiếp cận.
Ví dụ x bằng t,
y bằng 0 khá phổ biến cách tiếp cận ngang.
Chúng tôi đã làm điều này vào tuần thứ hai.
Làm thế nào chức năng biến thành, tốt,
zero chia cho t sức mạnh bốn cộng với zero, phải không?
Vì vậy, về cơ bản nó là 0.
Vì vậy, nếu có một giới hạn của hàm này tại điểm 0,
nó bằng 0.
Nhưng nếu bạn có thể thấy phương pháp parabol không thẳng,
phương pháp bậc hai ví dụ x bằng t,
y bằng t bình phương,
sau đó hàm biến thành một nửa
và một nửa thực sự tiếp cận
một nửa cho dù bạn đang thực hiện bất kỳ giới hạn nào.
Vì vậy hàm này không có
bất kỳ giới hạn nào ở điểm ban đầu
vì nó không liên tục, nó không phân biệt được.
Điều đó hoàn toàn là tai hại.
Nhưng còn phái sinh của chúng ta thì sao? Chúng ta nên làm gì đây?
Chúng ta nên xem xét ví dụ một số hướng đúng.
Chúng ta cần phải hiểu hướng đi là gì.
Vì vậy, chúng ta hãy đi theo hướng tùy ý,
cosine Alpha, sin Alpha, phải không?
Ai quan tâm chứ? Chúng ta có thể làm chỉ trong trường hợp chung.
Vâng, kể từ khi chúng ta đang nói về a,
b bằng 0,0,
bạn cần phải tính toán giới hạn của t tiếp cận bằng không.
Sự thay đổi của hàm trừ đi
giá trị của nó tại điểm không đó là 0,
chia cho t Tôi sẽ thay đổi x và y
thẳng ra bởi một t nhân với L để làm cho nó đơn giản hơn.
Vì vậy, những gì chúng
ta sẽ có ở đây, chúng ta sẽ có t bình
phương cosin nhân với t sin.
Đây là một thảm họa.
T cung cấp bốn, cosine cung cấp bốn
cộng với t cung cấp hai tổng điện sin hai.
Chúng làm chúng ta sợ nhưng chúng ta có thể giải quyết được chuyện này.
Trước hết, chúng ta chỉ có thể
chia và loại bỏ mẫu số bằng t
bình phương và chúng ta còn lại với một t
trong mẫu số và t
trong mẫu số của toàn bộ phân số ở đây.
Vì vậy, chúng tôi có thể chia nó cũng và do đó chúng tôi
có được một số biểu hiện khá đẹp ở đây.
Ta nhận được sin của Alpha nhân với
cosin bình phương chia cho t bình phương.
Vâng, sau đó đi cosine cung cấp bốn cộng với sin bình phương.
Nếu t tiếp cận số không,
toàn bộ thuật ngữ này tiếp cận
số không và do đó chúng ta có câu trả lời của chúng tôi,
cosin bình phương chia cho sin alpha.
Vâng và trong trường hợp alpha không phải là 0,
chúng ta thực sự có thể dựa vào câu trả lời này.
Vì vậy, chúng ta hãy dành chút thời gian ở đây.
Chức năng này là xấu.
Chức năng này không liên tục.
Hàm này không thể phân biệt được nhưng nó có
đạo hàm định hướng cho hầu hết các hướng phải không?
Được rồi. Điều này là buồn cười
bởi vì ngay cả khi bạn
không thể nói bất cứ điều gì tốt về chức năng này,
nó không có xấp xỉ tuyến tính phong nha.
Nó vẫn phát triển theo
hướng khác nhau có thể được
đánh giá khá nhiều một cách dễ dàng và đầy đủ.