الآن، إذا لم يتمكن
من التوصل إلى تعريف للمشتقات الإتجاهية،
هذا يكاد يكون لطيفًا بالتأكيد،
لكن هذا صحيح، نعم،
أنت لا تريد حسابه
مرة أخرى عندما
تحتاج إلى إيجاد المشتقات الإتجاهية.
لذلك نحن بحاجة إلى إيجاد طريقة بديلة، طريقة أسهل.
ربما طريقة أكثر حسابية
للعثور على مشتق الاتجاه في نقطة معينة.
من أجل القيام بذلك، ثم أذهب أولا وقبل كل شيء
تذكير أنفسنا بعض المفاهيم التي نعرفها بالفعل.
أولا وقبل كل شيء، دعونا نبدأ مع التدرج،
وهو متجه من المشتقات الأولى مكتوبة هنا.
المنتج العددي لمتجهين الذي هو قاعدة في
حالتنا ثنائية الأبعاد هو
ضرب الإحداثيات التي تم جمعها.
أيضا، لديها معنى هندسي الذي هو في الأساس
ضرب موقف إضافي نحو
جيب التمام من ناقلات بينهما،
والتي يتم رسمها تخطيطي
في الصورة على الشريحة هنا.
لذا أولا وقبل كل شيء،
دعونا نعيد النظر في بعض خصائص المنتج القياسي الأساسية
هنا متناظرة مع،
حسنا، لا مفاجأة هنا
لأنه من الواضح أن التعداد الهندسي متناظرة.
أنت لا تهتم
بترتيب الضرب من رقمين حقيقيين.
بالنسبة للآخرين، فإنه يحدد أطوال المتجه.
ومن bilinear,
ويحدد زاوية
بين ناقلات س, نحن إعادة كتابة جديدة.
إنه أسهل جزء من مسارنا
ولكن ما نعرفه أيضًا،
نحن نعرف أيضًا ما هي الوظيفة التفاضلية.
الدالة القابلة للاشتقاق هي وظيفة
تقترب من مستوى الظل بدقة.
في حالتنا،
هو إلى ما لا نهاية نحو المسافة
بين نقطة معينة ونقطة تقريب.
فلماذا نبني كل
هذه الأشياء فوق بعضنا البعض؟
فقط لتحديد مشتقات الاتجاه بسهولة أكبر،
دعونا نحاول فقط أن ننظر إلى تعريفنا
للتمايز من حيث مشتقات الاتجاه.
إذا كنا نحسب المشتقات الفعلية،
ثم تغيير الحجة لدينا في وقت سابق.
انها ر مضروبا في س إحداثيات الاتجاه،
وطبيعة ص الإحداثيات
هو ر مضروبا في ص الإحداثيات من الاتجاه.
الأهم من ذلك، المسافة
بين الدالة ووظيفة التقريب عند
نقطة معينة ونقطة التقريب
هي ببساطة t منذ تطبيع اتجاهنا.
لذلك دعونا نحاول كتابة تعريف
مشتقنا الاتجاهي أسفل. ماذا نحصل؟
نحصل على حد عندما تقترب t
من الصفر، وتغيير وظيفة
مقسوما على t افترض أن وظيفتنا قابلة للاختبارات عند النقطة أ، ب
ثم تغيير وظيفة يمكن إعادة كتابتها من حيث
المشتقة الأولى و لانهائية وظيفة قابلة للاختبار
نحو المسافة.
لذلك دعونا نكتب هذا وسنقوم
باستبدال تغيير الحجة مع tl_x،
وتغيير الحجة y كما tl_y
حسنا، المسافة الفعلية
بين نقطتين مع t كما قمنا بحساب المجموع هناك.
إذن ماذا لدينا هنا؟
لدينا هنا مجموع في
القاسم يتناسب مع القاسم،
إلى t. يمكننا
تقسيم كل من التسمية والقسم بواسطة t،
وبالتالي، نحصل على،
حسنا، المصطلح الأول الذي هو مستقل
عن قيمة الحد.
كفترة ثانية،
حسنا، نفس الشيء بالمثل.
آخر شيء لدينا هنا هو صغير أو من واحد،
وهو ببساطة وظيفة لا نهاية
لها كما تتذكر.
وبالتالي، فإن الحد الأقصى يساوي فقط الصفر.
ونتيجة لذلك، نحصل على تدوين جميل جدا.
نحصل على مشتق جزئي مضروبا
في إحداثيات x
للاتجاه بالإضافة إلى أهداف مشتقة جزئية y،
مضروبة في إحداثيات y
للاتجاه أو ببساطة المنتج العددي
للتدرج واتجاهنا.
هذه صيغة جميلة بشكل غير عادي
لذلك أنشأنا علاقة سهلة
بين مشتق الاتجاه،
وبالتالي، التدرج،
والمشتق نفسه مع المنتج العددي.
لذلك دعونا ننظر في بعض الأمثلة هنا.
فقط دعونا نلقي نظرة على
وظيفة س مربع زائد 2Y مربع.
على سبيل المثال، عند النقطة 1، 2.
حسنا، سوف نسأل أنفسنا سؤالا،
ما هو الاتجاه مع
القيمة القصوى للمشتقات الاتجاه في كل واحد؟
لذلك ما نحن بحاجة إلى القيام به أولا،
ونحن لا يجادل حتى ذلك،
لأن وظيفة و يمكن
تمييزها عند النقطة م لأنها متعددة الحدود،
وبالتالي، لديها مشتقات جزئية لائقة.
و نحن نتذكر حالتنا الكافية
لل تمايز.
لذلك نحن بحاجة فقط للعثور
هنا التدرج من وظيفة في النقطة 1، 2.
من أجل القيام بذلك، سأقوم فقط
بكتابة مشتق جزئي نحو x وهو 2x،
ومشتق جزئي نحو y وهو 4y.
ثم أنا ذاهب إلى استبدال y
و x مع واحد واثنين على التوالي.
وهكذا، نحصل على اثنين،
ثمانية نتيجة لذلك، وهذا هو التدرج لدينا.
لذلك ما نحن ذاهبون للتفكير هنا.
لدينا بعض
الاتجاه التعسفي جيب التمام ألفا، جيبية ألفا.
ونحن في طريقنا إلى الحديث عن
ما قيمته القصوى لهذا التعبير حية جدا.
لذا أولاً، نحن بحاجة إلى حساب
مشتقنا
الإتجاهي، وهو منتج عددي بسيط
للكتاب المكتوب ولقد وجدناه للتو،
واتجاهنا التعسفي،
وهو اثنين من جيب التمام،
وظائف بالإضافة إلى ثمانية جيب من ألفا،
والتي هي لطيفة وواضحة جداً.
ولكن من الصعب
الإجابة على ما هي القيمة القصوى ولماذا.
لذلك من أجل القيام بذلك،
ونحن في طريقنا لرسم بعض الصور تقريبية جدا.
افترض أن هذه هي نقطتنا 1، 2،
لا تبدو مثل ذلك، ولكن لا يهم.
لدينا هنا التدرج لدينا.
لذلك نحن نتحدث عن حساب
مشتقنا الإتجاهي مع الاتجاه التعسفي
ل. دعونا نعيد النظر في فكرة ما هي المنتجات العددية.
ماذا لدينا هنا؟
لدينا هنا أيضا
ليس فقط صيغة بسيطة للإحداثيات،
ولكن أيضا ثمانية متوسط هندسي و [غير مسموع].
يمكننا أن نقول أنه طول
التدرج لدينا مضروبا في طول l،
ضربه في بعض الزاوية.
نحن ذاهبون إلى نسميها، على سبيل المثال، غاما.
حسنا، طول التدرج.
حسنا، هذا سهل جدا.
ومن اثنين مربعة بالإضافة إلى مربع.
هذا ليس مربعًا إنه الجذر التربيعي لـ 68
دعه يكون. طول الاتجاه هو دائما واحد،
وهذا الشيء الذي تبقى هو، حسنا،
جيب التمام من بعض زاوية عشوائية غاما.
وهكذا، من أجل التوصل إلى القيمة القصوى،
تحتاج فقط إلى فهم ما هي
القيمة القصوى لوظيفة جيب التمام التي هي واحدة.
وبالتالي فإن الحد الأقصى هنا هو الجذر التربيعي 68.
من خلال القيام بذلك، وصلنا في الواقع
إلى فكرة مثيرة جدا للاهتمام هنا.
لأننا لم نتحدث فقط عن ما إذا كان
المعنى الهندسي
أكثر أهمية
من الحساب الفعلي لقاعدة المنتج العددي أم لا،
وجدنا أيضا أن
القيمة القصوى للمشتقات الاتجاه
تساوي بطريقة أو بأخرى طول التدرج.
نحن ذاهبون لاستخدام
هذه القاعدة لشرط من أجل تحديد
اتجاه الحد الأقصى الإجمالي وسرعة إجمالي
الحد الأقصى للوظيفة في نقطة معينة.