Nun, wenn er nicht mit
einer Definition von direktionalem Derivat kommen kann,
ist das fast sicher nett,
aber es ist Wake, ja,
Sie wollen es nicht
wieder berechnen, wenn Sie
die Richtungsableitung finden müssen.
Also müssen wir einen alternativen Weg finden, einen einfacheren Weg.
Vielleicht berechenbarer Weg
, um die gerichtete Ableitung in einem bestimmten Punkt zu finden.
Um es zu tun, und dann gehe ich in erster Linie
erinnern uns einige Konzepte, die wir bereits kennen.
Beginnen wir zunächst mit Gradienten, der
ein Vektor der ersten hier ausgeschriebenen Derivate ist.
Das skalare Produkt zweier Vektoren, das in
unserem zweidimensionalen Fall eine Regel ist, ist die
Multiplikation der summierten Koordinaten.
Es hat auch eine geometrische Bedeutung, die im Grunde
Multiplikation der zusätzlichen Haltung gegenüber
dem Kosinus des Vektors zwischen ihnen
ist, der
hier schematisch im Bild auf der Folie gezeichnet wird.
Also zunächst einmal,
lassen Sie uns einige grundlegende skalare Produkteigenschaften
hier ist symmetrisch mit,
na ja, keine Überraschung hier,
weil offensichtlich geometrische Zählung symmetrisch ist.
Sie interessieren sich nicht für
die Reihenfolge der Multiplikation von zwei reellen Zahlen.
Für die anderen definiert es die Vektorlängen.
Es ist bilinear,
und es definiert den Winkel
zwischen Vektoren x, wir neu schreiben.
Das ist der einfachste Teil unseres Kurses.
Aber was wir dann auch wissen, wissen
wir auch, was Differentialfunktion ist.
Die differenzierbare Funktion ist eine Funktion, die
durch ihre Tangentialebene gründlich angenähert wird.
In unserem Fall
ist es unendlich in Richtung Abstand
zwischen einem bestimmten Punkt und dem Punkt der Annäherung.
Warum bauen wir
all das Zeug übereinander?
Nur um direktionale Ableitung leichter zu definieren,
lassen Sie uns einfach versuchen, unsere Definition der
Differenzierung in Bezug auf die gerichtete Ableitung zu betrachten.
Wenn wir die eigentliche Ableitung berechnen,
dann haben wir die Änderung des Arguments früher.
Es wird t mit der x-Koordinate der Richtung multipliziert,
und die Art der y-Koordinate
wird t mit der y-Koordinate der Richtung multipliziert.
Noch wichtiger ist, dass der Abstand
zwischen der Funktion und der Approximationsfunktion an einem
bestimmten Punkt und dem Approximationspunkt
einfach t ist, da unsere Richtung normalisiert ist.
Lassen Sie uns also versuchen, die Definition
unserer direktionalen Ableitung niederzuschreiben. Was kriegen wir?
Wir bekommen eine Grenze, wenn t sich Null nähert,
Änderung der Funktion geteilt durch
t. Nehmen wir an, dass unsere Funktion
an dem Punkt a, b differenzierbar ist.
Dann kann die Änderung der Funktion in Bezug auf die
erste abgeleitete und unendliche testbare Funktion in
Richtung der Entfernung neu geschrieben werden.
Also lassen Sie uns dies aufschreiben und wir werden
die Änderung des Arguments mit tl_x ersetzen,
und die Änderung von y Argument als tl_y.
Nun, die tatsächliche Entfernung
zwischen zwei Punkten mit einem t, wie wir berechnet Gesamt dort.
Also, was haben wir hier?
Wir haben hier eine Summe
im Nenner proportional zum Nenner,
zum t. Wir können
sowohl Nominator als auch Nenner durch t teilen,
und so erhalten wir,
naja, den ersten Begriff, der unabhängig
vom Wert der Grenze ist.
Als zweiter Begriff,
naja, das Gleiche ähnlich.
Das letzte, was wir hier haben, ist klein oder von einem,
was einfach Infinitesimal-Funktion ist,
wie Sie sich erinnern.
Somit ist seine Grenze nur gleich Null.
Als Ergebnis erhalten wir eine ziemlich schöne Notation.
Wir erhalten partielle Ableitung multipliziert mit
der x-Koordinate
der Richtung plus partielle Ableitungsziele y,
multipliziert mit der y-Koordinate
der Richtung oder einfach skalare Produkt
des Gradienten und unserer Richtung.
Das ist eine außerordentlich schöne Formel.
So haben wir eine einfache Beziehung
zwischen dem direktionalen Derivat,
also dem Gradienten, und dem
Derivat selbst mit einem skalaren Produkt hergestellt.
Also lassen Sie uns ein Beispiel hier betrachten.
Lassen Sie uns einfach einen Blick auf
Funktion x quadriert plus 2y quadriert.
Zum Beispiel bei Punkt 1, 2.
Nun, wir werden uns eine Frage stellen,
wie ist die Richtung mit
dem Maximalwert der gerichteten Ableitung in jedem?
Also, was wir zuerst tun müssen,
argumentieren wir nicht einmal, dass,
weil die Funktion f an
dem Punkt m unterscheidbar ist, weil es polynom ist
, so hat es eine anständige Teilderivate.
Wir erinnern uns an unseren ausreichenden Zustand
der Differenzierbarkeit.
Also müssen wir nur
hier den Gradient der Funktion an dem Punkt 1, 2.
Um dies zu tun, werde ich nur
eine partielle Ableitung zu x schreiben, die 2x ist,
und partielle Ableitung zu y, die 4y ist.
Dann werde ich y
und x durch eins bzw. zwei ersetzen.
So bekommen wir zwei,
acht als Ergebnis, das ist unser Gradient.
Also, worüber wir hier denken werden.
Wir haben irgendeine willkürliche
Richtung Kosinus Alpha, Sinus Alpha.
Wir werden darüber sprechen,
was sein maximaler Wert dieser sehr lebendigen Ausdruck.
Also zuerst müssen wir
unsere Richtungsableitung berechnen,
die ein einfaches skalares Produkt
des geschriebenen ist und wir gerade gefunden haben,
und unsere willkürliche Richtung,
die zwei Kosinus ist,
Funktionen plus acht Sinus aus Alpha,
und das ist schön und ziemlich offensichtlich.
Aber es ist schwierig zu
beantworten, was der Maximalwert ist und warum.
Also, um es zu tun,
werden wir ein ziemlich ungefähres Bild zeichnen.
Angenommen, das ist unser Punkt 1, 2,
sieht nicht so aus, aber nichts dagegen.
Wir haben hier unseren Gradienten.
Also sprechen wir über ist die Berechnung
unserer Richtungsableitung mit willkürlicher Richtung
l. Lassen Sie uns die Idee, was skalare Produkte.
Was haben wir hier?
Wir haben hier auch
nicht nur einfache Formel für Koordinaten,
sondern auch acht geometrische Mittelwerte und [unhörbar].
Wir können sagen, dass es die Länge
unseres Gradienten multipliziert mit der Länge von l ist,
multiplizieren Sie es mit einem Winkel.
Wir werden es zum Beispiel Gamma nennen.
Nun, die Länge des Gradienten.
Nun, es ist ganz einfach.
Es ist zwei Quadrat plus ein Quadrat.
Das ist nicht quadratisch. Es ist die Quadratwurzel von 68.
Lassen Sie es sein. Die Länge der Richtung ist immer eins,
und dieses Ding, das übrig ist, ist, naja,
Kosinus eines beliebigen Winkels Gamma.
Um also den maximalen Wert zu finden,
müssen Sie nur verstehen, was
der maximale Wert der Kosinusfunktion ist, die eins ist.
So ist das Maximum hier Quadratwurzel von 68.
Auf diese Weise sind wir hier tatsächlich
zu einer sehr interessanten Idee gekommen.
Da wir nicht nur darüber gesprochen haben, ob
in geometrischer Bedeutung wichtiger ist
als die tatsächliche Berechnung
der Regel für die skalare Produktregel,
haben wir auch festgestellt, dass
der Maximalwert der Richtungsableitung irgendwie
der Länge des Gradienten entspricht.
Wir werden
diese Regel für Sinus verwenden, um
die Richtung des maximalen Brutto und die Geschwindigkeit des
maximalen Brutto der Funktion an einem bestimmten Punkt festzulegen.