Nun, wenn er nicht mit einer Definition von direktionalem Derivat kommen kann, ist das fast sicher nett, aber es ist Wake, ja, Sie wollen es nicht wieder berechnen, wenn Sie die Richtungsableitung finden müssen. Also müssen wir einen alternativen Weg finden, einen einfacheren Weg. Vielleicht berechenbarer Weg , um die gerichtete Ableitung in einem bestimmten Punkt zu finden. Um es zu tun, und dann gehe ich in erster Linie erinnern uns einige Konzepte, die wir bereits kennen. Beginnen wir zunächst mit Gradienten, der ein Vektor der ersten hier ausgeschriebenen Derivate ist. Das skalare Produkt zweier Vektoren, das in unserem zweidimensionalen Fall eine Regel ist, ist die Multiplikation der summierten Koordinaten. Es hat auch eine geometrische Bedeutung, die im Grunde Multiplikation der zusätzlichen Haltung gegenüber dem Kosinus des Vektors zwischen ihnen ist, der hier schematisch im Bild auf der Folie gezeichnet wird. Also zunächst einmal, lassen Sie uns einige grundlegende skalare Produkteigenschaften hier ist symmetrisch mit, na ja, keine Überraschung hier, weil offensichtlich geometrische Zählung symmetrisch ist. Sie interessieren sich nicht für die Reihenfolge der Multiplikation von zwei reellen Zahlen. Für die anderen definiert es die Vektorlängen. Es ist bilinear, und es definiert den Winkel zwischen Vektoren x, wir neu schreiben. Das ist der einfachste Teil unseres Kurses. Aber was wir dann auch wissen, wissen wir auch, was Differentialfunktion ist. Die differenzierbare Funktion ist eine Funktion, die durch ihre Tangentialebene gründlich angenähert wird. In unserem Fall ist es unendlich in Richtung Abstand zwischen einem bestimmten Punkt und dem Punkt der Annäherung. Warum bauen wir all das Zeug übereinander? Nur um direktionale Ableitung leichter zu definieren, lassen Sie uns einfach versuchen, unsere Definition der Differenzierung in Bezug auf die gerichtete Ableitung zu betrachten. Wenn wir die eigentliche Ableitung berechnen, dann haben wir die Änderung des Arguments früher. Es wird t mit der x-Koordinate der Richtung multipliziert, und die Art der y-Koordinate wird t mit der y-Koordinate der Richtung multipliziert. Noch wichtiger ist, dass der Abstand zwischen der Funktion und der Approximationsfunktion an einem bestimmten Punkt und dem Approximationspunkt einfach t ist, da unsere Richtung normalisiert ist. Lassen Sie uns also versuchen, die Definition unserer direktionalen Ableitung niederzuschreiben. Was kriegen wir? Wir bekommen eine Grenze, wenn t sich Null nähert, Änderung der Funktion geteilt durch t. Nehmen wir an, dass unsere Funktion an dem Punkt a, b differenzierbar ist. Dann kann die Änderung der Funktion in Bezug auf die erste abgeleitete und unendliche testbare Funktion in Richtung der Entfernung neu geschrieben werden. Also lassen Sie uns dies aufschreiben und wir werden die Änderung des Arguments mit tl_x ersetzen, und die Änderung von y Argument als tl_y. Nun, die tatsächliche Entfernung zwischen zwei Punkten mit einem t, wie wir berechnet Gesamt dort. Also, was haben wir hier? Wir haben hier eine Summe im Nenner proportional zum Nenner, zum t. Wir können sowohl Nominator als auch Nenner durch t teilen, und so erhalten wir, naja, den ersten Begriff, der unabhängig vom Wert der Grenze ist. Als zweiter Begriff, naja, das Gleiche ähnlich. Das letzte, was wir hier haben, ist klein oder von einem, was einfach Infinitesimal-Funktion ist, wie Sie sich erinnern. Somit ist seine Grenze nur gleich Null. Als Ergebnis erhalten wir eine ziemlich schöne Notation. Wir erhalten partielle Ableitung multipliziert mit der x-Koordinate der Richtung plus partielle Ableitungsziele y, multipliziert mit der y-Koordinate der Richtung oder einfach skalare Produkt des Gradienten und unserer Richtung. Das ist eine außerordentlich schöne Formel. So haben wir eine einfache Beziehung zwischen dem direktionalen Derivat, also dem Gradienten, und dem Derivat selbst mit einem skalaren Produkt hergestellt. Also lassen Sie uns ein Beispiel hier betrachten. Lassen Sie uns einfach einen Blick auf Funktion x quadriert plus 2y quadriert. Zum Beispiel bei Punkt 1, 2. Nun, wir werden uns eine Frage stellen, wie ist die Richtung mit dem Maximalwert der gerichteten Ableitung in jedem? Also, was wir zuerst tun müssen, argumentieren wir nicht einmal, dass, weil die Funktion f an dem Punkt m unterscheidbar ist, weil es polynom ist , so hat es eine anständige Teilderivate. Wir erinnern uns an unseren ausreichenden Zustand der Differenzierbarkeit. Also müssen wir nur hier den Gradient der Funktion an dem Punkt 1, 2. Um dies zu tun, werde ich nur eine partielle Ableitung zu x schreiben, die 2x ist, und partielle Ableitung zu y, die 4y ist. Dann werde ich y und x durch eins bzw. zwei ersetzen. So bekommen wir zwei, acht als Ergebnis, das ist unser Gradient. Also, worüber wir hier denken werden. Wir haben irgendeine willkürliche Richtung Kosinus Alpha, Sinus Alpha. Wir werden darüber sprechen, was sein maximaler Wert dieser sehr lebendigen Ausdruck. Also zuerst müssen wir unsere Richtungsableitung berechnen, die ein einfaches skalares Produkt des geschriebenen ist und wir gerade gefunden haben, und unsere willkürliche Richtung, die zwei Kosinus ist, Funktionen plus acht Sinus aus Alpha, und das ist schön und ziemlich offensichtlich. Aber es ist schwierig zu beantworten, was der Maximalwert ist und warum. Also, um es zu tun, werden wir ein ziemlich ungefähres Bild zeichnen. Angenommen, das ist unser Punkt 1, 2, sieht nicht so aus, aber nichts dagegen. Wir haben hier unseren Gradienten. Also sprechen wir über ist die Berechnung unserer Richtungsableitung mit willkürlicher Richtung l. Lassen Sie uns die Idee, was skalare Produkte. Was haben wir hier? Wir haben hier auch nicht nur einfache Formel für Koordinaten, sondern auch acht geometrische Mittelwerte und [unhörbar]. Wir können sagen, dass es die Länge unseres Gradienten multipliziert mit der Länge von l ist, multiplizieren Sie es mit einem Winkel. Wir werden es zum Beispiel Gamma nennen. Nun, die Länge des Gradienten. Nun, es ist ganz einfach. Es ist zwei Quadrat plus ein Quadrat. Das ist nicht quadratisch. Es ist die Quadratwurzel von 68. Lassen Sie es sein. Die Länge der Richtung ist immer eins, und dieses Ding, das übrig ist, ist, naja, Kosinus eines beliebigen Winkels Gamma. Um also den maximalen Wert zu finden, müssen Sie nur verstehen, was der maximale Wert der Kosinusfunktion ist, die eins ist. So ist das Maximum hier Quadratwurzel von 68. Auf diese Weise sind wir hier tatsächlich zu einer sehr interessanten Idee gekommen. Da wir nicht nur darüber gesprochen haben, ob in geometrischer Bedeutung wichtiger ist als die tatsächliche Berechnung der Regel für die skalare Produktregel, haben wir auch festgestellt, dass der Maximalwert der Richtungsableitung irgendwie der Länge des Gradienten entspricht. Wir werden diese Regel für Sinus verwenden, um die Richtung des maximalen Brutto und die Geschwindigkeit des maximalen Brutto der Funktion an einem bestimmten Punkt festzulegen.