Ahora, si no puede llegar a
una definición de derivada direccional,
esto es casi seguro bueno,
pero es velatorio, sí,
no quieres calcularlo
todo de nuevo cuando
necesitas encontrar la derivada direccional.
Así que tenemos que encontrar una forma alternativa, una manera más fácil.
Tal vez una forma más computable de
encontrar la derivada direccional en un punto dado.
Con el fin de hacerlo, y luego entro en primer lugar
recordar a nosotros mismos algunos conceptos que ya conocemos.
En primer lugar, comencemos con gradiente,
que es un vector de los primeros derivados escritos aquí.
El producto escalar de dos vectores que es una regla en
nuestro caso bidimensional es
la multiplicación de coordenadas resumidas.
Además, tiene un significado geométrico que es básicamente
la multiplicación de la postura extra hacia
el coseno del vector entre ellos,
que se dibuja esquemáticamente
en la imagen de la diapositiva aquí.
Así que en primer lugar,
vamos a revisar algunas propiedades básicas del producto escalar
aquí es simétrico con,
bueno, no es sorpresa aquí
porque obviamente es un censo geométrico simétrico.
No te importa
el orden de multiplicación de dos números reales.
Para los demás, define las longitudes vectoriales.
Es bilineal,
y define el ángulo
entre vectores x, estamos reescribiendo nuevo.
Es la parte más fácil de todo nuestro curso.
Pero lo que también sabemos entonces,
también sabemos lo que es función diferencial.
La función diferenciable es una función que se
aproxima a fondo por su plano tangente.
En nuestro caso,
es infinitesimalmente hacia la distancia
entre un punto dado y el punto de aproximación.
Entonces, ¿por qué construimos todas
estas cosas encima del otro?
Sólo para definir la derivada direccional más fácilmente,
tratemos de mirar nuestra definición de
diferenciación en términos de derivada direccional.
Si estamos calculando la derivada real,
entonces el cambio de argumento lo tenemos antes.
Se multiplica por la coordenada x de la dirección,
y la naturaleza de la coordenada y
se multiplica por la coordenada y de la dirección.
Más importante aún, la distancia
entre la función y la función de aproximación en el
punto dado y el punto de aproximación
es simplemente t ya que nuestra dirección está normalizada.
Así que tratemos de escribir la definición de
nuestra derivada direccional hacia abajo. ¿Qué obtenemos?
Obtenemos un límite cuando t se acerca a cero,
cambio de función dividido por
t. Supongamos que nuestra función
es diferenciable en el punto a, b.
Entonces el cambio de función puede ser reescrito en términos de la
primera función derivada e infinita probable
hacia la distancia.
Así que vamos a escribir esto y vamos a
sustituir el cambio de argumento por tl_x,
y el cambio de argumento y como tl_y.
Bueno, la distancia real
entre dos puntos con una t como calculamos el total allí.
Entonces, ¿qué tenemos aquí?
Tenemos aquí suma en
el denominador proporcional al denominador,
a la t. Podemos
dividir tanto nominador como denominador por t,
y así, obtenemos,
bueno, el primer término que es independiente
del valor del límite.
Como segundo término,
bueno, lo mismo.
Lo último que tenemos aquí es pequeño o de uno,
que es simplemente infinitesimal función
como usted recuerda.
Por lo tanto, su límite es igual a cero.
Como resultado, obtenemos una notación bastante agradable.
Obtenemos derivada parcial multiplicada por
la coordenada x de
la dirección más los objetivos derivados parciales y,
multiplicada por la coordenada y de
la dirección o simplemente producto escalar
del gradiente y nuestra dirección.
Esa es una fórmula extraordinariamente agradable.
Así que establecimos una relación fácil
entre la derivada direccional,
por lo tanto, el gradiente, y la
derivada misma con un producto escalar.
Por lo tanto, consideremos un ejemplo aquí.
Sólo vamos a echar un vistazo a
la función x cuadrado más 2y cuadrado.
Por ejemplo, en el punto 1, 2.
Bueno, nos vamos a hacer una pregunta,
¿cuál es la dirección con
el valor máximo de la derivada direccional en cada uno?
Así que lo que tenemos que hacer en primer lugar,
no discutimos incluso eso,
porque la función f es diferenciable en
el punto m. Debido a que es polinomio,
por lo tanto, tiene un decente derivados parciales.
Recordamos nuestra condición suficiente
de diferenciabilidad.
Así que sólo tenemos que encontrar
aquí el gradiente de la función en el punto 1, 2.
Para hacerlo, voy a
escribir una derivada parcial hacia x que es 2x,
y derivada parcial hacia y que es 4y.
Entonces voy a sustituir
y y x por uno y dos respectivamente.
Por lo tanto, obtenemos dos,
ocho como resultado, ese es nuestro gradiente.
Así que en lo que vamos a pensar aquí.
Tenemos alguna
dirección arbitraria coseno alfa, seno alfa.
Vamos a hablar de
cuál es su valor máximo de esta expresión muy vívida.
Así que en primer lugar, tenemos que calcular
nuestra derivada direccional,
que es simple producto escalar
de lo escrito y que acabamos de encontrar,
y nuestra dirección arbitraria,
que es dos coseno,
funciones más ocho seno de Alpha,
y que es agradable y bastante obvio.
Pero es difícil
responder cuál es el valor máximo y por qué.
Así que con el fin de hacerlo,
vamos a dibujar una imagen bastante aproximada.
Supongamos que ese es nuestro punto 1, 2,
no parece, pero no importa.
Tenemos aquí nuestro gradiente.
Así que estamos hablando de es calcular
nuestra derivada direccional con dirección arbitraria
l. Vamos a revisar la idea de qué productos escalares.
¿ Qué tenemos aquí?
Tenemos aquí también
no sólo fórmula simple para las coordenadas,
sino también ocho medias geométricas y [inaudible].
Podemos afirmar que es la longitud
de nuestro gradiente multiplicado por la longitud de l,
multiplicarlo por algún ángulo.
Vamos a llamarlo, por ejemplo, Gamma.
Bueno, la longitud del gradiente.
Bueno, es bastante fácil.
Son dos cuadrados más un cuadrado.
Eso no es cuadrado. Es la raíz cuadrada de 68.
Deja que sea. La longitud de la dirección es siempre una,
y esta cosa que queda es, bueno,
coseno de algún ángulo arbitrario Gamma.
Por lo tanto, para obtener el valor máximo,
solo necesita comprender cuál es
el valor máximo de la función coseno que es uno.
Así que el máximo aquí es la raíz cuadrada de 68.
Al hacerlo, hemos llegado
a una idea muy interesante aquí.
Debido a que no sólo hablamos de si
en significado geométrico es o no
más importante que el cálculo real
de la regla para la regla del producto escalar,
también encontramos que
el valor máximo de la derivada direccional de alguna manera
es igual a la longitud del gradiente.
Vamos a usar
esa regla para seno con el fin de establecer
la dirección del máximo bruto y la velocidad de
bruto máximo de la función en un punto dado.