Ahora, si no puede llegar a una definición de derivada direccional, esto es casi seguro bueno, pero es velatorio, sí, no quieres calcularlo todo de nuevo cuando necesitas encontrar la derivada direccional. Así que tenemos que encontrar una forma alternativa, una manera más fácil. Tal vez una forma más computable de encontrar la derivada direccional en un punto dado. Con el fin de hacerlo, y luego entro en primer lugar recordar a nosotros mismos algunos conceptos que ya conocemos. En primer lugar, comencemos con gradiente, que es un vector de los primeros derivados escritos aquí. El producto escalar de dos vectores que es una regla en nuestro caso bidimensional es la multiplicación de coordenadas resumidas. Además, tiene un significado geométrico que es básicamente la multiplicación de la postura extra hacia el coseno del vector entre ellos, que se dibuja esquemáticamente en la imagen de la diapositiva aquí. Así que en primer lugar, vamos a revisar algunas propiedades básicas del producto escalar aquí es simétrico con, bueno, no es sorpresa aquí porque obviamente es un censo geométrico simétrico. No te importa el orden de multiplicación de dos números reales. Para los demás, define las longitudes vectoriales. Es bilineal, y define el ángulo entre vectores x, estamos reescribiendo nuevo. Es la parte más fácil de todo nuestro curso. Pero lo que también sabemos entonces, también sabemos lo que es función diferencial. La función diferenciable es una función que se aproxima a fondo por su plano tangente. En nuestro caso, es infinitesimalmente hacia la distancia entre un punto dado y el punto de aproximación. Entonces, ¿por qué construimos todas estas cosas encima del otro? Sólo para definir la derivada direccional más fácilmente, tratemos de mirar nuestra definición de diferenciación en términos de derivada direccional. Si estamos calculando la derivada real, entonces el cambio de argumento lo tenemos antes. Se multiplica por la coordenada x de la dirección, y la naturaleza de la coordenada y se multiplica por la coordenada y de la dirección. Más importante aún, la distancia entre la función y la función de aproximación en el punto dado y el punto de aproximación es simplemente t ya que nuestra dirección está normalizada. Así que tratemos de escribir la definición de nuestra derivada direccional hacia abajo. ¿Qué obtenemos? Obtenemos un límite cuando t se acerca a cero, cambio de función dividido por t. Supongamos que nuestra función es diferenciable en el punto a, b. Entonces el cambio de función puede ser reescrito en términos de la primera función derivada e infinita probable hacia la distancia. Así que vamos a escribir esto y vamos a sustituir el cambio de argumento por tl_x, y el cambio de argumento y como tl_y. Bueno, la distancia real entre dos puntos con una t como calculamos el total allí. Entonces, ¿qué tenemos aquí? Tenemos aquí suma en el denominador proporcional al denominador, a la t. Podemos dividir tanto nominador como denominador por t, y así, obtenemos, bueno, el primer término que es independiente del valor del límite. Como segundo término, bueno, lo mismo. Lo último que tenemos aquí es pequeño o de uno, que es simplemente infinitesimal función como usted recuerda. Por lo tanto, su límite es igual a cero. Como resultado, obtenemos una notación bastante agradable. Obtenemos derivada parcial multiplicada por la coordenada x de la dirección más los objetivos derivados parciales y, multiplicada por la coordenada y de la dirección o simplemente producto escalar del gradiente y nuestra dirección. Esa es una fórmula extraordinariamente agradable. Así que establecimos una relación fácil entre la derivada direccional, por lo tanto, el gradiente, y la derivada misma con un producto escalar. Por lo tanto, consideremos un ejemplo aquí. Sólo vamos a echar un vistazo a la función x cuadrado más 2y cuadrado. Por ejemplo, en el punto 1, 2. Bueno, nos vamos a hacer una pregunta, ¿cuál es la dirección con el valor máximo de la derivada direccional en cada uno? Así que lo que tenemos que hacer en primer lugar, no discutimos incluso eso, porque la función f es diferenciable en el punto m. Debido a que es polinomio, por lo tanto, tiene un decente derivados parciales. Recordamos nuestra condición suficiente de diferenciabilidad. Así que sólo tenemos que encontrar aquí el gradiente de la función en el punto 1, 2. Para hacerlo, voy a escribir una derivada parcial hacia x que es 2x, y derivada parcial hacia y que es 4y. Entonces voy a sustituir y y x por uno y dos respectivamente. Por lo tanto, obtenemos dos, ocho como resultado, ese es nuestro gradiente. Así que en lo que vamos a pensar aquí. Tenemos alguna dirección arbitraria coseno alfa, seno alfa. Vamos a hablar de cuál es su valor máximo de esta expresión muy vívida. Así que en primer lugar, tenemos que calcular nuestra derivada direccional, que es simple producto escalar de lo escrito y que acabamos de encontrar, y nuestra dirección arbitraria, que es dos coseno, funciones más ocho seno de Alpha, y que es agradable y bastante obvio. Pero es difícil responder cuál es el valor máximo y por qué. Así que con el fin de hacerlo, vamos a dibujar una imagen bastante aproximada. Supongamos que ese es nuestro punto 1, 2, no parece, pero no importa. Tenemos aquí nuestro gradiente. Así que estamos hablando de es calcular nuestra derivada direccional con dirección arbitraria l. Vamos a revisar la idea de qué productos escalares. ¿ Qué tenemos aquí? Tenemos aquí también no sólo fórmula simple para las coordenadas, sino también ocho medias geométricas y [inaudible]. Podemos afirmar que es la longitud de nuestro gradiente multiplicado por la longitud de l, multiplicarlo por algún ángulo. Vamos a llamarlo, por ejemplo, Gamma. Bueno, la longitud del gradiente. Bueno, es bastante fácil. Son dos cuadrados más un cuadrado. Eso no es cuadrado. Es la raíz cuadrada de 68. Deja que sea. La longitud de la dirección es siempre una, y esta cosa que queda es, bueno, coseno de algún ángulo arbitrario Gamma. Por lo tanto, para obtener el valor máximo, solo necesita comprender cuál es el valor máximo de la función coseno que es uno. Así que el máximo aquí es la raíz cuadrada de 68. Al hacerlo, hemos llegado a una idea muy interesante aquí. Debido a que no sólo hablamos de si en significado geométrico es o no más importante que el cálculo real de la regla para la regla del producto escalar, también encontramos que el valor máximo de la derivada direccional de alguna manera es igual a la longitud del gradiente. Vamos a usar esa regla para seno con el fin de establecer la dirección del máximo bruto y la velocidad de bruto máximo de la función en un punto dado.