Maintenant, s'il ne peut pas trouver
une définition de dérivé directionnel,
c'est presque certainement bien,
mais c'est le réveil, oui,
vous ne voulez pas tout calculer à
nouveau quand vous
avez besoin de trouver la dérivée directionnelle.
Nous devons donc trouver un moyen alternatif, un moyen plus facile.
Peut-être un moyen plus calculable
de trouver la dérivée directionnelle dans un point donné.
Pour le faire, puis je vais dans tout d'abord
nous rappeler quelques concepts que nous connaissons déjà.
Tout d'abord, commençons par le gradient,
qui est un vecteur des premiers dérivés écrits ici.
Le produit scalaire de deux vecteurs qui est une règle dans
notre cas bidimensionnel est
la multiplication des coordonnées additionnées.
En outre, il a une signification géométrique qui est essentiellement la
multiplication de la position supplémentaire vers
le cosinus du vecteur entre eux,
qui est schématiquement dessinée
dans l'image sur la diapositive ici.
Donc, tout d'abord,
revisitons quelques propriétés de base scalaire
ici est symétrique avec,
eh bien, pas de surprise ici
parce que évidemment est le recensement géométrique symétrique.
Vous ne vous souciez pas
de l'ordre de multiplication de deux nombres réels.
Pour les autres, il définit les longueurs vectorielles.
Il est bilinéaire,
et il définit l'angle
entre les vecteurs x, nous réécrivons nouveau.
C' est la partie la plus facile de tout notre parcours.
Mais ce que nous savons aussi alors,
nous savons aussi ce qu'est la fonction différentielle.
La fonction différenciable est une fonction qui est
approchée à fond par son plan tangent.
Dans notre cas, il
est infiniment vers la distance
entre un point donné et le point d'approximation.
Alors pourquoi on construit tous
ces trucs l'un sur l'autre ?
Juste pour définir plus facilement la dérivée directionnelle,
essayons simplement de regarder notre définition de la
différenciation en termes de dérivée directionnelle.
Si nous calculons le dérivé réel,
alors le changement d'argument nous l'avons plus tôt.
Il est t multiplié par la coordonnée x de la direction,
et la nature de la coordonnée y
est t multipliée par la coordonnée y de la direction.
Plus important encore, la distance
entre la fonction et la fonction d'approximation au
point donné et le point d'approximation
est simplement t puisque notre direction est normalisée.
Essayons donc d'écrire la définition de
notre dérivée directionnelle vers le bas. Qu'est-ce qu'on a ?
Nous obtenons une limite quand t approche zéro,
changement de fonction divisé par
t. Supposons que notre fonction
est différenciable au point a, b.
Ensuite, le changement de fonction peut être réécrit en termes de
première fonction dérivée et infinie testable
vers la distance.
Donc, écrivons ceci et nous allons
remplacer le changement d'argument par tl_x,
et le changement de l'argument y comme tl_y.
Eh bien, la distance réelle
entre deux points avec un t comme nous avons calculé le total là.
Alors qu'est-ce qu'on a ici ?
Nous avons ici la somme dans
le dénominateur proportionnelle au dénominateur,
au t. Nous pouvons
diviser à la fois le nominateur et le dénominateur par t,
et ainsi, nous obtenons,
eh bien, le premier terme qui est indépendant
de la valeur de la limite.
Comme un deuxième terme,
eh bien, la même chose de même.
La dernière chose que nous avons ici est petite ou d'un,
qui est simplement fonction infinitésimale
comme vous vous en souvenez.
Ainsi, sa limite est juste égale à zéro.
En conséquence, nous obtenons une notation assez agréable.
Nous obtenons une dérivée partielle multipliée par
la coordonnée x de
la direction plus des cibles dérivées partielles y,
multipliée par la coordonnée y de
la direction ou simplement produit scalaire
du gradient et de notre direction.
C' est une formule extraordinairement agréable.
Nous avons donc établi une relation facile
entre le dérivé directionnel
, donc le gradient, et le
dérivé lui-même avec un produit scalaire.
Prenons donc un exemple ici.
Jetons un coup d'oeil à la
fonction x carré plus 2y carré.
Par exemple, aux points 1, 2.
Eh bien, nous allons nous poser une question,
quelle est la direction avec
la valeur maximale de dérivé directionnel dans chacun d'eux ?
Donc, ce que nous devons faire d'abord,
nous ne discutons pas même que,
parce que la fonction f est différenciable
au point m. Parce que c'est polynôme,
donc, il a un dérivé partiel décent.
Nous nous souvenons de notre condition suffisante
de différenciabilité.
Donc, nous avons juste besoin de trouver
ici le gradient de la fonction au point 1, 2.
Pour ce faire, je vais juste
écrire un dérivé partiel vers x qui est 2x,
et dérivé partiel vers y qui est 4y.
Ensuite, je vais remplacer y
et x par un et deux respectivement.
Ainsi, nous obtenons deux,
huit en conséquence, c'est notre gradient.
Alors ce que nous allons penser ici.
Nous avons un
cosinus de direction arbitraire Alpha, sinus Alpha.
Nous allons parler de
ce que sa valeur maximale de cette expression très vive.
Donc, tout d'abord, nous devons calculer
notre dérivé directionnel,
qui est simple produit scalaire
de l'écrit et que nous venons de trouver,
et notre direction arbitraire,
qui est deux cosinus,
fonctions plus huit sinus hors Alpha,
et qui est agréable et assez évident.
Mais il est difficile de
répondre à quelle est la valeur maximale et pourquoi.
Donc, pour le faire,
nous allons dessiner un tableau assez approximatif.
Supposons que c'est notre point 1, 2,
ne ressemble pas à ça, mais ça ne me dérange pas.
Nous avons ici notre gradient.
Donc, nous parlons est de calculer
notre dérivé directionnel avec direction arbitraire
l. Revoyons l'idée de ce que les produits scalaires.
Qu' est-ce qu'on a ici ?
Nous avons ici
non seulement une formule simple pour les coordonnées,
mais aussi huit moyennes géométriques et [inaudible].
Nous pouvons dire que c'est la longueur
de notre gradient multipliée par la longueur de l,
multipliez-le par un angle.
Nous allons l'appeler, par exemple, Gamma.
Eh bien, la longueur du gradient.
Eh bien, c'est assez facile.
Il est deux carrés plus un carré.
Ce n'est pas carré. C'est la racine carrée de 68.
Laisse-le être. La longueur de la direction est toujours un,
et cette chose qui reste est, eh bien,
cosinus d'un certain angle arbitraire Gamma.
Ainsi, afin de trouver la valeur maximale,
vous avez juste besoin de comprendre quelle est
la valeur maximale de la fonction cosinus qui est un.
Donc, le maximum ici est racine carrée de 68.
Ce faisant, nous sommes arrivés
à une idée très intéressante ici.
Parce que non seulement nous avons parlé de savoir si le
sens géométrique est
plus important ou non que le calcul réel
de la règle pour la règle du produit scalaire,
nous avons également constaté que
la valeur maximale de la dérivée directionnelle est en quelque sorte
égale à la longueur du gradient.
Nous allons utiliser
cette règle pour sinus afin d'établir
la direction du maximum brut et la vitesse du
maximum brut de la fonction à un point donné.