Ora, se non riesce a trovare
una definizione di derivata direzionale,
questo è quasi certamente bello,
ma è scia, sì,
non si vuole calcolare
tutto da capo quando
è necessario trovare la derivata direzionale.
Quindi dobbiamo trovare un modo alternativo, un modo più semplice.
Forse un modo più computabile
per trovare la derivata direzionale in un dato punto.
Per farlo, e poi vado in prima cosa
ricordare a noi stessi alcuni concetti che già conosciamo.
Prima di tutto, iniziamo con il gradiente,
che è un vettore di prime derivate scritte qui.
Il prodotto scalare di due vettori che è una regola nel
nostro caso bidimensionale è
moltiplicazione delle coordinate sommate.
Inoltre, ha un significato geometrico che è fondamentalmente
moltiplicazione di posizione supplementare verso
il coseno del vettore tra di loro,
che è schematicamente disegnato
nell'immagine sulla diapositiva qui.
Quindi, prima di tutto,
rivisitiamo alcune proprietà di base del prodotto scalare
qui è simmetrico con,
beh, nessuna sorpresa qui
perché ovviamente è il censimento geometrico simmetrico.
Non ti interessa
l'ordine di moltiplicazione di due numeri reali.
Per gli altri, definisce le lunghezze del vettore.
È bilineare,
e definisce l'angolo
tra i vettori x, stiamo riscrivendo nuovo.
E' la parte piu' semplice di tutto il nostro corso.
Ma quello che sappiamo anche allora,
sappiamo anche che cosa è la funzione differenziale.
La funzione differenziabile è una funzione che è
approssimata dal suo piano tangente accuratamente.
Nel nostro caso,
è infinitesimalmente verso la distanza
tra un dato punto e il punto di approssimazione.
Allora perche' costruiamo tutte
queste cose l'una sopra l'altra?
Giusto per definire la derivata direzionale più facilmente,
proviamo a guardare la nostra definizione di
differenziazione in termini di derivata direzionale.
Se stiamo calcolando la derivata reale,
allora il cambio di argomento lo abbiamo prima.
È t moltiplicato per la coordinata x della direzione,
e la natura della coordinata y
è t moltiplicata per la coordinata y della direzione.
Ancora più importante, la distanza
tra la funzione e la funzione di approssimazione in un
dato punto e il punto di approssimazione
è semplicemente t poiché la nostra direzione è normalizzata.
Cerchiamo quindi di scrivere la definizione della
nostra derivata direzionale verso il basso. Che cosa otteniamo?
Otteniamo un limite quando t si avvicina a zero,
cambio di funzione diviso per
t. Supponiamo che
la nostra funzione sia differenziabile nel punto a, b.
Quindi il cambiamento di funzione può essere riscritto in termini di
prima derivata e infinita funzione testabile
verso la distanza.
Quindi scriviamo questo e stiamo andando a
sostituire il cambiamento di argomento con tl_x,
e il cambiamento di argomento y come tl_y.
Beh, la distanza effettiva
tra due punti con una t come abbiamo calcolato totale lì.
Allora, cosa abbiamo qui?
Abbiamo qui somma nel
denominatore proporzionale al denominatore,
alla t. Possiamo
dividere sia nominatore che denominatore per t,
e quindi, otteniamo,
beh, il primo termine che è indipendente
dal valore del limite.
Come secondo termine,
beh, la stessa cosa allo stesso modo.
L' ultima cosa che abbiamo qui è piccola o da una,
che è semplicemente funzione infinitesimale
come si ricorda.
Quindi, il suo limite è uguale a zero.
Di conseguenza, otteniamo una notazione piuttosto bella.
Otteniamo derivata parziale moltiplicata per
la coordinata x
della direzione più bersagli derivati parziali y,
moltiplicata per la coordinata y
della direzione o semplicemente prodotto scalare
del gradiente e la nostra direzione.
Formula straordinariamente bella.
Così abbiamo stabilito una facile relazione
tra la derivata direzionale,
quindi, il gradiente, e la
derivata stessa con un prodotto scalare.
Quindi consideriamo qualche esempio qui.
Diamo un'occhiata alla
funzione x al quadrato più 2y al quadrato.
Ad esempio, al punto 1, 2.
Bene, ci porremo una domanda,
qual è la direzione con
il valore massimo della derivata direzionale in ognuno?
Quindi quello che dobbiamo fare in primo luogo,
non sosteniamo nemmeno questo,
perché la funzione f è differenziabile
al punto m. Perché è polinomio,
quindi, ha una derivata parziale decente.
Ricordiamo la nostra condizione sufficiente
di differenziabilità.
Quindi abbiamo bisogno solo di trovare
qui il gradiente della funzione al punto 1, 2.
Per fare ciò, sto andando solo
a scrivere una derivata parziale verso x che è 2x,
e parziale derivata verso y che è 4y.
Poi ho intenzione di sostituire y
e x con uno e due rispettivamente.
Quindi, otteniamo due,
otto come risultato, questo è il nostro gradiente.
Quindi a cosa penseremo qui.
Abbiamo una
direzione arbitraria del coseno Alfa, seno Alpha.
Stiamo per parlare di
ciò che il suo massimo valore di questa espressione molto vivida.
Quindi, in primo luogo, dobbiamo calcolare la
nostra derivata direzionale,
che è semplice prodotto scalare
della scritta e abbiamo appena trovato,
e la nostra direzione arbitraria,
che è due
funzioni coseno, più otto seno su Alpha,
e che è bello e abbastanza ovvio.
Ma è difficile
rispondere a qual è il valore massimo e perché.
Quindi, per farlo,
stiamo andando a disegnare un quadro piuttosto approssimativo.
Supponiamo che questo è il nostro punto 1, 2,
non sembra così, ma non importa.
Abbiamo qui il nostro gradiente.
Quindi stiamo parlando di è
il calcolo della nostra derivata direzionale con direzione arbitraria
l. Rivisitiamo l'idea di quali prodotti scalari.
Cosa abbiamo qui?
Abbiamo qui anche
non solo formula semplice per le coordinate,
ma anche otto media geometrica e [inudibile].
Possiamo affermare che è la lunghezza
del nostro gradiente moltiplicato per la lunghezza di l,
moltiplicarlo per qualche angolo. Lo
chiameremo, per esempio, Gamma.
Bene, la lunghezza del gradiente.
Beh, e' abbastanza facile.
È due al quadrato più un quadrato.
Non e' quadrato. E' la radice quadrata di 68.
Lascia che sia. La lunghezza della direzione è sempre una,
e questa cosa che è rimasta è, beh,
coseno di un angolo arbitrario Gamma.
Quindi, per trovare il valore massimo,
devi solo capire qual è
il valore massimo della funzione coseno che è uno.
Quindi il massimo qui è la radice quadrata di 68.
Così facendo, siamo giunti
a un'idea molto interessante qui.
Poiché non solo abbiamo parlato se
in significato geometrico è più importante o meno del
calcolo effettivo
della regola per la regola del prodotto scalare,
abbiamo anche scoperto che
il valore massimo della derivata direzionale
è in qualche modo uguale alla lunghezza del gradiente.
Useremo
quella regola per seno al fine di stabilire
la direzione del massimo lordo e la velocità del
massimo lordo della funzione in un dato punto.