Ora, se non riesce a trovare una definizione di derivata direzionale, questo è quasi certamente bello, ma è scia, sì, non si vuole calcolare tutto da capo quando è necessario trovare la derivata direzionale. Quindi dobbiamo trovare un modo alternativo, un modo più semplice. Forse un modo più computabile per trovare la derivata direzionale in un dato punto. Per farlo, e poi vado in prima cosa ricordare a noi stessi alcuni concetti che già conosciamo. Prima di tutto, iniziamo con il gradiente, che è un vettore di prime derivate scritte qui. Il prodotto scalare di due vettori che è una regola nel nostro caso bidimensionale è moltiplicazione delle coordinate sommate. Inoltre, ha un significato geometrico che è fondamentalmente moltiplicazione di posizione supplementare verso il coseno del vettore tra di loro, che è schematicamente disegnato nell'immagine sulla diapositiva qui. Quindi, prima di tutto, rivisitiamo alcune proprietà di base del prodotto scalare qui è simmetrico con, beh, nessuna sorpresa qui perché ovviamente è il censimento geometrico simmetrico. Non ti interessa l'ordine di moltiplicazione di due numeri reali. Per gli altri, definisce le lunghezze del vettore. È bilineare, e definisce l'angolo tra i vettori x, stiamo riscrivendo nuovo. E' la parte piu' semplice di tutto il nostro corso. Ma quello che sappiamo anche allora, sappiamo anche che cosa è la funzione differenziale. La funzione differenziabile è una funzione che è approssimata dal suo piano tangente accuratamente. Nel nostro caso, è infinitesimalmente verso la distanza tra un dato punto e il punto di approssimazione. Allora perche' costruiamo tutte queste cose l'una sopra l'altra? Giusto per definire la derivata direzionale più facilmente, proviamo a guardare la nostra definizione di differenziazione in termini di derivata direzionale. Se stiamo calcolando la derivata reale, allora il cambio di argomento lo abbiamo prima. È t moltiplicato per la coordinata x della direzione, e la natura della coordinata y è t moltiplicata per la coordinata y della direzione. Ancora più importante, la distanza tra la funzione e la funzione di approssimazione in un dato punto e il punto di approssimazione è semplicemente t poiché la nostra direzione è normalizzata. Cerchiamo quindi di scrivere la definizione della nostra derivata direzionale verso il basso. Che cosa otteniamo? Otteniamo un limite quando t si avvicina a zero, cambio di funzione diviso per t. Supponiamo che la nostra funzione sia differenziabile nel punto a, b. Quindi il cambiamento di funzione può essere riscritto in termini di prima derivata e infinita funzione testabile verso la distanza. Quindi scriviamo questo e stiamo andando a sostituire il cambiamento di argomento con tl_x, e il cambiamento di argomento y come tl_y. Beh, la distanza effettiva tra due punti con una t come abbiamo calcolato totale lì. Allora, cosa abbiamo qui? Abbiamo qui somma nel denominatore proporzionale al denominatore, alla t. Possiamo dividere sia nominatore che denominatore per t, e quindi, otteniamo, beh, il primo termine che è indipendente dal valore del limite. Come secondo termine, beh, la stessa cosa allo stesso modo. L' ultima cosa che abbiamo qui è piccola o da una, che è semplicemente funzione infinitesimale come si ricorda. Quindi, il suo limite è uguale a zero. Di conseguenza, otteniamo una notazione piuttosto bella. Otteniamo derivata parziale moltiplicata per la coordinata x della direzione più bersagli derivati parziali y, moltiplicata per la coordinata y della direzione o semplicemente prodotto scalare del gradiente e la nostra direzione. Formula straordinariamente bella. Così abbiamo stabilito una facile relazione tra la derivata direzionale, quindi, il gradiente, e la derivata stessa con un prodotto scalare. Quindi consideriamo qualche esempio qui. Diamo un'occhiata alla funzione x al quadrato più 2y al quadrato. Ad esempio, al punto 1, 2. Bene, ci porremo una domanda, qual è la direzione con il valore massimo della derivata direzionale in ognuno? Quindi quello che dobbiamo fare in primo luogo, non sosteniamo nemmeno questo, perché la funzione f è differenziabile al punto m. Perché è polinomio, quindi, ha una derivata parziale decente. Ricordiamo la nostra condizione sufficiente di differenziabilità. Quindi abbiamo bisogno solo di trovare qui il gradiente della funzione al punto 1, 2. Per fare ciò, sto andando solo a scrivere una derivata parziale verso x che è 2x, e parziale derivata verso y che è 4y. Poi ho intenzione di sostituire y e x con uno e due rispettivamente. Quindi, otteniamo due, otto come risultato, questo è il nostro gradiente. Quindi a cosa penseremo qui. Abbiamo una direzione arbitraria del coseno Alfa, seno Alpha. Stiamo per parlare di ciò che il suo massimo valore di questa espressione molto vivida. Quindi, in primo luogo, dobbiamo calcolare la nostra derivata direzionale, che è semplice prodotto scalare della scritta e abbiamo appena trovato, e la nostra direzione arbitraria, che è due funzioni coseno, più otto seno su Alpha, e che è bello e abbastanza ovvio. Ma è difficile rispondere a qual è il valore massimo e perché. Quindi, per farlo, stiamo andando a disegnare un quadro piuttosto approssimativo. Supponiamo che questo è il nostro punto 1, 2, non sembra così, ma non importa. Abbiamo qui il nostro gradiente. Quindi stiamo parlando di è il calcolo della nostra derivata direzionale con direzione arbitraria l. Rivisitiamo l'idea di quali prodotti scalari. Cosa abbiamo qui? Abbiamo qui anche non solo formula semplice per le coordinate, ma anche otto media geometrica e [inudibile]. Possiamo affermare che è la lunghezza del nostro gradiente moltiplicato per la lunghezza di l, moltiplicarlo per qualche angolo. Lo chiameremo, per esempio, Gamma. Bene, la lunghezza del gradiente. Beh, e' abbastanza facile. È due al quadrato più un quadrato. Non e' quadrato. E' la radice quadrata di 68. Lascia che sia. La lunghezza della direzione è sempre una, e questa cosa che è rimasta è, beh, coseno di un angolo arbitrario Gamma. Quindi, per trovare il valore massimo, devi solo capire qual è il valore massimo della funzione coseno che è uno. Quindi il massimo qui è la radice quadrata di 68. Così facendo, siamo giunti a un'idea molto interessante qui. Poiché non solo abbiamo parlato se in significato geometrico è più importante o meno del calcolo effettivo della regola per la regola del prodotto scalare, abbiamo anche scoperto che il valore massimo della derivata direzionale è in qualche modo uguale alla lunghezza del gradiente. Useremo quella regola per seno al fine di stabilire la direzione del massimo lordo e la velocità del massimo lordo della funzione in un dato punto.