Agora, se ele não pode chegar a
uma definição de derivada direcional,
isso é quase certamente bom,
mas é o despertar, sim,
você não quer calcular tudo
novamente quando você
precisa encontrar a derivada direcional.
Então precisamos encontrar uma maneira alternativa, uma maneira mais fácil.
Talvez uma maneira mais computável de
encontrar a derivada direcional em um determinado ponto.
A fim de fazê-lo, e então eu vou para primeiro de tudo
lembrar a nós mesmos alguns conceitos que já conhecemos.
Primeiro de tudo, vamos começar com gradiente,
que é um vetor das primeiras derivadas escritas aqui.
O produto escalar de dois vetores que é uma regra em
nosso caso bidimensional é
multiplicação de coordenadas somadas.
Além disso, tem um significado geométrico que é basicamente
multiplicação de postura extra
em relação ao cosseno do vetor entre eles,
que é esquematicamente desenhado
na imagem no slide aqui.
Então, primeiro de tudo,
vamos rever algumas propriedades básicas do produto escalar
aqui é simétrica com,
bem, nenhuma surpresa aqui
porque obviamente é o censo geométrico simétrico.
Você não se importa com
a ordem de multiplicação de dois números reais.
Para os outros, ele define os comprimentos vetoriais.
É bilinear,
e define o ângulo
entre vetores x, estamos reescrevendo novo.
É a parte mais fácil de todo o nosso curso.
Mas o que nós também sabemos,
nós também sabemos o que é função diferencial.
A função diferenciável é uma função que é
aproximada por seu plano tangente completamente.
No nosso caso,
é infinitesimalmente para a distância
entre um dado ponto e o ponto de aproximação.
Então, por que construímos
todas essas coisas um em cima do outro?
Apenas para definir derivada direcional mais facilmente,
vamos apenas tentar olhar para a nossa definição de
diferenciação em termos de derivada direcional.
Se estamos calculando a derivada real,
então a mudança de argumento nós temos isso antes.
É t multiplicado pela coordenada x da direção,
e a natureza da coordenada y
é t multiplicado pela coordenada y da direção.
Mais importante ainda, a distância
entre a função e a função de aproximação em
determinado ponto e o ponto de aproximação
é simplesmente t uma vez que nossa direção é normalizada.
Então vamos tentar escrever a definição de
nossa derivada direcional para baixo. O que é que vamos conseguir?
Obtemos um limite quando t se aproxima
de zero, mudança de função dividida por
t. Suponha que nossa função
é diferenciável no ponto a, b.
Em seguida, a mudança de função pode ser reescrita em termos de
primeira função derivada e infinita testável
para a distância.
Então vamos escrever isso e vamos
substituir a mudança de argumento com tl_x,
e a mudança de argumento y como tl_y.
Bem, a distância real
entre dois pontos com um t como nós computamos total lá.
Então, o que temos aqui?
Temos aqui soma
no denominador proporcional ao denominador,
ao t. Podemos
dividir tanto o nominador como o denominador por t,
e assim, obtemos,
bem, o primeiro termo que é independente
do valor do limite.
Como um segundo termo,
bem, a mesma coisa da mesma forma.
A última coisa que temos aqui é pequena ou de uma,
que é simplesmente uma função infinitesimal
como você se lembra.
Assim, seu limite é apenas igual a zero.
Como resultado, obtemos uma boa notação.
Obtemos derivada parcial multiplicada
pela coordenada x
da direção mais alvos derivados parciais y,
multiplicada pela coordenada y
da direção ou simplesmente produto escalar
de gradiente e nossa direção.
É uma fórmula extraordinariamente agradável.
Então estabelecemos uma relação fácil
entre a derivada direcional,
portanto, o gradiente, e a
própria derivada com um produto escalar.
Portanto, vamos considerar alguns exemplos aqui.
Apenas vamos dar uma olhada na
função x ao quadrado mais 2y ao quadrado.
Por exemplo, no ponto 1, 2.
Bem, vamos nos fazer uma pergunta,
qual é a direção com
o valor máximo da derivada direcional em cada um?
Então o que precisamos fazer em primeiro lugar,
não argumentamos mesmo isso,
porque a função f é diferenciável
no ponto m. Porque é polinomial,
portanto, tem uma derivada parcial decente.
Nós nos lembramos de nossa condição suficiente
de diferenciabilidade.
Então precisamos apenas encontrar
aqui o gradiente da função no ponto 1, 2.
A fim de fazer isso, eu vou apenas
escrever uma derivada parcial para x que é 2x,
e derivada parcial para y que é 4y.
Então eu vou substituir y
e x por um e dois respectivamente.
Assim, obtemos dois,
oito como resultado, esse é o nosso gradiente.
Então, o que vamos pensar aqui.
Temos alguma
direção arbitrária cosseno Alpha, seno Alpha.
Vamos falar sobre
qual é o seu valor máximo desta expressão muito vívida.
Então, em primeiro lugar, precisamos calcular
nossa derivada direcional,
que é um produto escalar simples
da escrita e acabamos de encontrar,
e nossa direção arbitrária,
que é dois cosseno,
funções mais oito senos fora de Alpha,
e que é agradável e bastante óbvio.
Mas é complicado
responder qual é o valor máximo e por quê.
Então, a fim de fazê-lo,
vamos desenhar um quadro bastante aproximado.
Suponha que esse é o nosso ponto 1, 2,
não parece, mas não importa.
Temos aqui o nosso gradiente.
Então estamos falando de é computar
nossa derivada direcional com direção arbitrária
l. Vamos rever a idéia de que produtos escalares.
O que temos aqui?
Temos aqui também
não apenas fórmula simples para coordenadas,
mas também oito médias geométricas e [inaudíveis].
Podemos afirmar que é o comprimento
do nosso gradiente multiplicado pelo comprimento de l,
multiplicá-lo por algum ângulo.
Vamos chamar-lhe, por exemplo, Gamma.
Bem, o comprimento do gradiente.
Bem, é bem fácil.
É dois ao quadrado mais um quadrado.
Isso não é quadrado. É a raiz quadrada de 68.
Deixe ser. O comprimento da direção é sempre um,
e esta coisa que resta é, bem,
cosseno de algum ângulo arbitrário Gamma.
Assim, a fim de chegar ao valor máximo,
você só precisa entender qual é
o valor máximo da função cosseno que é um.
Então, o máximo aqui é raiz quadrada de 68.
Ao fazê-lo, nós realmente chegamos
a uma idéia muito interessante aqui.
Porque não só falamos sobre se ou não
em significado geométrico é
mais importante do que o cálculo real
da regra para a regra do produto escalar,
também descobrimos que
o valor máximo da derivada direcional de alguma forma
é igual ao comprimento do gradiente.
Vamos usar
essa regra para seno, a fim de estabelecer
a direção do bruto máximo e a velocidade do
bruto máximo da função em um determinado ponto.