Agora, se ele não pode chegar a uma definição de derivada direcional, isso é quase certamente bom, mas é o despertar, sim, você não quer calcular tudo novamente quando você precisa encontrar a derivada direcional. Então precisamos encontrar uma maneira alternativa, uma maneira mais fácil. Talvez uma maneira mais computável de encontrar a derivada direcional em um determinado ponto. A fim de fazê-lo, e então eu vou para primeiro de tudo lembrar a nós mesmos alguns conceitos que já conhecemos. Primeiro de tudo, vamos começar com gradiente, que é um vetor das primeiras derivadas escritas aqui. O produto escalar de dois vetores que é uma regra em nosso caso bidimensional é multiplicação de coordenadas somadas. Além disso, tem um significado geométrico que é basicamente multiplicação de postura extra em relação ao cosseno do vetor entre eles, que é esquematicamente desenhado na imagem no slide aqui. Então, primeiro de tudo, vamos rever algumas propriedades básicas do produto escalar aqui é simétrica com, bem, nenhuma surpresa aqui porque obviamente é o censo geométrico simétrico. Você não se importa com a ordem de multiplicação de dois números reais. Para os outros, ele define os comprimentos vetoriais. É bilinear, e define o ângulo entre vetores x, estamos reescrevendo novo. É a parte mais fácil de todo o nosso curso. Mas o que nós também sabemos, nós também sabemos o que é função diferencial. A função diferenciável é uma função que é aproximada por seu plano tangente completamente. No nosso caso, é infinitesimalmente para a distância entre um dado ponto e o ponto de aproximação. Então, por que construímos todas essas coisas um em cima do outro? Apenas para definir derivada direcional mais facilmente, vamos apenas tentar olhar para a nossa definição de diferenciação em termos de derivada direcional. Se estamos calculando a derivada real, então a mudança de argumento nós temos isso antes. É t multiplicado pela coordenada x da direção, e a natureza da coordenada y é t multiplicado pela coordenada y da direção. Mais importante ainda, a distância entre a função e a função de aproximação em determinado ponto e o ponto de aproximação é simplesmente t uma vez que nossa direção é normalizada. Então vamos tentar escrever a definição de nossa derivada direcional para baixo. O que é que vamos conseguir? Obtemos um limite quando t se aproxima de zero, mudança de função dividida por t. Suponha que nossa função é diferenciável no ponto a, b. Em seguida, a mudança de função pode ser reescrita em termos de primeira função derivada e infinita testável para a distância. Então vamos escrever isso e vamos substituir a mudança de argumento com tl_x, e a mudança de argumento y como tl_y. Bem, a distância real entre dois pontos com um t como nós computamos total lá. Então, o que temos aqui? Temos aqui soma no denominador proporcional ao denominador, ao t. Podemos dividir tanto o nominador como o denominador por t, e assim, obtemos, bem, o primeiro termo que é independente do valor do limite. Como um segundo termo, bem, a mesma coisa da mesma forma. A última coisa que temos aqui é pequena ou de uma, que é simplesmente uma função infinitesimal como você se lembra. Assim, seu limite é apenas igual a zero. Como resultado, obtemos uma boa notação. Obtemos derivada parcial multiplicada pela coordenada x da direção mais alvos derivados parciais y, multiplicada pela coordenada y da direção ou simplesmente produto escalar de gradiente e nossa direção. É uma fórmula extraordinariamente agradável. Então estabelecemos uma relação fácil entre a derivada direcional, portanto, o gradiente, e a própria derivada com um produto escalar. Portanto, vamos considerar alguns exemplos aqui. Apenas vamos dar uma olhada na função x ao quadrado mais 2y ao quadrado. Por exemplo, no ponto 1, 2. Bem, vamos nos fazer uma pergunta, qual é a direção com o valor máximo da derivada direcional em cada um? Então o que precisamos fazer em primeiro lugar, não argumentamos mesmo isso, porque a função f é diferenciável no ponto m. Porque é polinomial, portanto, tem uma derivada parcial decente. Nós nos lembramos de nossa condição suficiente de diferenciabilidade. Então precisamos apenas encontrar aqui o gradiente da função no ponto 1, 2. A fim de fazer isso, eu vou apenas escrever uma derivada parcial para x que é 2x, e derivada parcial para y que é 4y. Então eu vou substituir y e x por um e dois respectivamente. Assim, obtemos dois, oito como resultado, esse é o nosso gradiente. Então, o que vamos pensar aqui. Temos alguma direção arbitrária cosseno Alpha, seno Alpha. Vamos falar sobre qual é o seu valor máximo desta expressão muito vívida. Então, em primeiro lugar, precisamos calcular nossa derivada direcional, que é um produto escalar simples da escrita e acabamos de encontrar, e nossa direção arbitrária, que é dois cosseno, funções mais oito senos fora de Alpha, e que é agradável e bastante óbvio. Mas é complicado responder qual é o valor máximo e por quê. Então, a fim de fazê-lo, vamos desenhar um quadro bastante aproximado. Suponha que esse é o nosso ponto 1, 2, não parece, mas não importa. Temos aqui o nosso gradiente. Então estamos falando de é computar nossa derivada direcional com direção arbitrária l. Vamos rever a idéia de que produtos escalares. O que temos aqui? Temos aqui também não apenas fórmula simples para coordenadas, mas também oito médias geométricas e [inaudíveis]. Podemos afirmar que é o comprimento do nosso gradiente multiplicado pelo comprimento de l, multiplicá-lo por algum ângulo. Vamos chamar-lhe, por exemplo, Gamma. Bem, o comprimento do gradiente. Bem, é bem fácil. É dois ao quadrado mais um quadrado. Isso não é quadrado. É a raiz quadrada de 68. Deixe ser. O comprimento da direção é sempre um, e esta coisa que resta é, bem, cosseno de algum ângulo arbitrário Gamma. Assim, a fim de chegar ao valor máximo, você só precisa entender qual é o valor máximo da função cosseno que é um. Então, o máximo aqui é raiz quadrada de 68. Ao fazê-lo, nós realmente chegamos a uma idéia muito interessante aqui. Porque não só falamos sobre se ou não em significado geométrico é mais importante do que o cálculo real da regra para a regra do produto escalar, também descobrimos que o valor máximo da derivada direcional de alguma forma é igual ao comprimento do gradiente. Vamos usar essa regra para seno, a fim de estabelecer a direção do bruto máximo e a velocidade do bruto máximo da função em um determinado ponto.