Теперь, если он не может придумать
определение направленной производной,
это почти наверняка приятно,
но это пробуждение, да,
вы не хотите вычислять его
снова, когда вам
нужно найти производную направления.
Поэтому нам нужно найти альтернативный способ, более простой способ.
Возможно, более вычисляемый
способ найти производную направления в данной точке.
Для того, чтобы сделать это, а затем я вхожу в первую очередь
напоминаю себе некоторые понятия, которые мы уже знаем.
Прежде всего, начнем с градиента,
который является вектором первых производных, написанных здесь.
Скалярное произведение двух векторов, которое является правилом в
нашем двумерном случае, является
умножение суммированных координат.
Кроме того, он имеет геометрическое значение, которое в основном
умножение дополнительной позиции к
косинусу вектора между ними,
который схематически нарисован
на картинке на слайде здесь.
Итак, прежде всего,
давайте вернемся к некоторым основным свойствам скалярного продукта
здесь симметрично с,
ну, неудивительно,
потому что, очевидно, геометрическая перепись симметрична.
Вас не
волнует порядок умножения двух вещественных чисел.
Для остальных он определяет длину вектора.
Это билинейный,
и он определяет угол
между векторами х, мы переписываем новые.
Это самая легкая часть нашего курса.
Но то, что мы также знаем,
мы также знаем, что такое дифференциальная функция.
Дифференцируемая функция - это функция, которая
полностью аппроксимируется ее касательной плоскости.
В нашем случае
это бесконечно к расстоянию
между заданной точкой и точкой приближения.
Так почему мы строим все
эти вещи друг на друга?
Просто чтобы определить направление производной легче,
давайте просто попробуем взглянуть на наше определение
дифференциации с точки зрения направленной производной.
Если мы вычисляем фактическую производную,
то изменение аргумента у нас это раньше.
Это t умножается на x координату направления,
а природа y координаты
t умножается на y-координату направления.
Что более важно, расстояние
между функцией и функцией приближения в
данной точке и точкой приближения
просто t, так как наше направление нормализовано.
Так давайте попробуем записать определение
нашей направленной производной вниз. Что мы получим?
Получаем предел, когда t приближается к нулю,
изменение функции делится на
t. Предположим, что наша функция
дифференцируется в точке a, b.
Затем изменение функции может быть переписано в терминах
первой производной и бесконечной проверяемой функции
к расстоянию.
Так давайте записать это, и мы собираемся
заменить изменение аргумента с tl_x,
и изменение y аргумента как tl_y.
Ну, фактическое расстояние
между двумя точками с t, как мы вычисляли общее там.
Так что у нас здесь?
У нас есть сумма в
знаменателе, пропорциональная знаменателю,
к t. Мы можем
разделить и номинатор и знаменатель на t,
и, таким образом, мы получаем,
ну, первый срок, который не зависит
от значения предела.
В качестве второго срока,
ну, то же самое.
Последнее, что мы имеем здесь, это маленький или от одного,
что является просто бесконечной функцией
, как вы помните.
Таким образом, его предел просто равен нулю.
В результате мы получаем довольно приятное обозначение.
Получаем частичную производную,
умноженную на координату x
направления плюс частичные производные цели y,
умноженную на координату y
направления или просто
скалярное произведение градиента и нашего направления.
Это необычайно приятная формула.
Таким образом, мы установили легкую связь
между направленной производной,
следовательно, градиентом и
самой производной со скалярным продуктом.
Итак, давайте рассмотрим пример здесь.
Просто давайте взглянем на
функцию x в квадрате плюс 2y в квадрате.
Например, в точке 1, 2.
Ну, мы собираемся задать себе вопрос,
каково направление с
максимальным значением направленной производной в каждом из них?
То, что нам нужно сделать, во-первых,
мы не спорим даже
об этом, потому что функция f дифференцируется в
точке m. Потому что она полинома,
таким образом, она имеет приличные частичные производные.
Мы помним наше достаточное условие
дифференцируемости.
Поэтому нам нужно просто найти
здесь градиент функции в точке 1, 2.
Чтобы сделать это, я собираюсь просто
написать частичную производную к x, которая равна 2x,
и частичную производную к y, которая равна 4y.
Затем я собираюсь заменить y
и x на один и два соответственно.
Таким образом, мы получаем два,
восемь в результате, это наш градиент.
Итак, о чем мы тут подумаем.
У нас есть произвольное
направление косинуса Альфа, синуса Альфа.
Мы будем говорить о том,
какова его максимальная ценность этого очень яркого выражения.
Итак, во-первых, нам нужно вычислить
нашу производную направления,
которая является простым скалярным произведением
написанного, и мы только что нашли,
и наше произвольное направление,
которое представляет собой два косинуса,
функции плюс восемь синуса из Альфы,
и это хорошо и довольно очевидно.
Но сложно
ответить, каково максимальное значение и почему.
Поэтому, чтобы сделать это,
мы собираемся нарисовать довольно приблизительную картину.
Предположим, что это наша точка 1, 2,
не выглядит так, но не важно.
У нас здесь наш градиент.
Итак, мы говорим о вычислении
нашей направленной производной с произвольным направлением
l. Давайте вернемся к идее, что скалярные продукты.
Что у нас тут есть?
Здесь у нас есть
не только простая формула координат,
но и восемь геометрических средних и [неразборчивых].
Мы можем заявить, что это длина
нашего градиента, умноженная на длину l,
умножить его на какой-то угол.
Мы назовем его, например, Гамма.
Ну, длина градиента.
Ну, это довольно легко.
Это два в квадрате плюс квадрат.
Это не квадрат. Это квадратный корень из 68.
Пусть будет. Длина направления всегда одна,
и эта вещь, которая остается, ну,
косинус какого-то произвольного угла Гамма.
Таким образом, чтобы придумать максимальное значение,
вам просто нужно понять, каково
максимальное значение функции косинуса, которая является одним.
Таким образом, максимальный здесь квадратный корень 68.
Поступая таким образом, мы пришли
к очень интересной идее здесь.
Поскольку мы говорили не только о том,
является ли в геометрическом смысле более важным,
чем фактическое
вычисление правила для скалярного правила продукта,
мы также обнаружили, что
максимальное значение направленной производной каким-то
образом равно длине градиента.
Мы собираемся использовать
это правило для синуса, чтобы установить
направление максимального брутто и скорость
максимального брутто функции в данной точке.