Bây giờ, nếu anh ta không thể nghĩ ra
một định nghĩa của đạo hàm định hướng,
điều này gần như chắc chắn là tốt đẹp
, nhưng nó thức dậy, vâng,
bạn không muốn tính toán
lại tất cả khi bạn
cần tìm đạo hàm định hướng.
Vì vậy, chúng ta cần phải tìm một cách khác, một cách dễ dàng hơn.
Có lẽ cách tính toán hơn
để tìm đạo hàm định hướng trong một điểm nhất định.
Để làm điều đó, và sau đó tôi đi vào đầu tiên của tất cả
nhắc nhở mình một số khái niệm mà chúng ta đã biết.
Trước hết, chúng ta hãy bắt đầu với gradient,
đó là một vector của các dẫn xuất đầu tiên được viết ra ở đây.
Tích vô hướng của hai vectơ mà là một quy tắc trong
trường hợp hai chiều của chúng tôi là
phép nhân của tọa độ tổng hợp.
Ngoài ra, nó có một ý nghĩa hình học mà về cơ bản là
nhân lập của lập trường phụ đối với
cosin của vectơ ở giữa chúng,
được vẽ sơ đồ
trong hình trên slide ở đây.
Vì vậy, trước hết,
chúng ta hãy xem lại một số tính chất sản phẩm vô hướng cơ bản
ở đây là đối xứng với,
tốt, không có gì ngạc nhiên ở đây
bởi vì rõ ràng là điều tra dân số hình học đối xứng.
Bạn không quan tâm
đến thứ tự nhân của hai số thực.
Đối với những người khác, nó xác định độ dài vectơ.
Nó là song tuyến,
và nó định nghĩa góc
giữa các vectơ x, chúng ta đang viết lại mới.
Đó là phần dễ nhất trong tất cả các khóa học của chúng tôi.
Nhưng những gì chúng ta cũng biết,
chúng ta cũng biết chức năng vi phân là gì.
Chức năng phân biệt là một hàm được
xấp xỉ bởi mặt phẳng tiếp tuyến của nó một cách triệt để.
Trong trường hợp của chúng tôi nó,
là vô hạn hướng tới khoảng cách
giữa một điểm nhất định và điểm xấp xỉ.
Vậy tại sao chúng ta xây
dựng tất cả những thứ này lên nhau?
Chỉ để xác định đạo hàm định hướng dễ dàng hơn,
chúng ta hãy thử nhìn vào định nghĩa của chúng ta về
sự khác biệt về phương diện đạo hàm định hướng.
Nếu chúng ta đang tính toán đạo hàm thực tế,
thì sự thay đổi của lập luận chúng ta đã có nó trước đó.
Nó được t nhân với tọa độ x của hướng,
và bản chất của tọa độ y
là t nhân với tọa độ y của hướng.
Quan trọng hơn, khoảng cách
giữa hàm và hàm xấp xỉ tại điểm nhất
định và điểm xấp xỉ
chỉ đơn giản là t vì hướng của chúng ta được chuẩn hóa.
Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng viết định nghĩa của
đạo hàm định hướng của chúng tôi xuống. Chúng ta sẽ nhận được gì?
Ta nhận được một giới hạn khi t tiếp cận 0,
thay đổi hàm chia cho
t Giả sử rằng hàm của ta
có thể phân biệt tại điểm a, b. Khi
đó sự thay đổi của hàm có thể được viết lại về
đạo hàm đầu tiên và hàm thử nghiệm vô hạn
về phía khoảng cách.
Vì vậy, chúng ta hãy viết này xuống và chúng ta sẽ
thay thế sự thay đổi của đối số với tl_x,
và sự thay đổi của đối số y như tl_y.
tốt, khoảng cách thực tế
giữa hai chấm với một t như chúng ta tính toán tổng số đó.
Vậy chúng ta có gì ở đây?
Chúng tôi có ở đây tổng hợp
trong mẫu số tỷ lệ thuận với mẫu số,
để t Chúng tôi có thể
chia cả đề cử và mẫu số cho t,
và do đó, chúng tôi nhận được,
tốt, thuật ngữ đầu tiên đó là độc lập với
giá trị của giới hạn.
Như một nhiệm kỳ thứ hai,
tốt, cùng một điều tương tự.
Điều cuối cùng chúng ta có ở đây là nhỏ hoặc từ một,
mà chỉ đơn giản là chức năng vô hạn
như bạn nhớ.
Như vậy, giới hạn của nó chỉ bằng 0.
Kết quả là, chúng tôi nhận được một ký hiệu khá tốt đẹp.
Ta nhận được đạo hàm từng phần nhân với
tọa độ x
của hướng cộng với mục tiêu đạo hàm từng phần y,
nhân với tọa độ y của
hướng hoặc đơn giản là tích vô hướng
của gradient và hướng của chúng ta.
Đó là một công thức tuyệt vời.
Vì vậy, chúng tôi thiết lập một mối quan hệ dễ dàng
giữa đạo hàm định hướng
, do đó, gradient, và
đạo hàm chính nó với một tích vô hướng.
Vì vậy, chúng ta hãy xem xét một số ví dụ ở đây.
Chỉ cần chúng ta hãy nhìn vào
hàm x bình phương cộng với 2y bình phương.
Ví dụ, tại điểm 1, 2.
Vâng, chúng ta sẽ tự hỏi mình một câu
hỏi, hướng với
giá trị cực đại của đạo hàm định hướng trong mỗi một là gì?
Vì vậy, những gì chúng ta cần làm trước tiên,
chúng ta không tranh luận ngay cả điều đó,
bởi vì hàm f có thể phân biệt tại
điểm m Bởi vì nó là đa thức,
do đó, nó có một dẫn xuất một phần khá.
Chúng ta nhớ điều kiện đầy đủ
của chúng ta về sự khác biệt.
Vì vậy, chúng ta chỉ cần tìm
ở đây gradient của hàm tại điểm 1, 2.
Để làm như vậy, tôi sẽ chỉ
viết một đạo hàm một phần đối với x đó là 2x,
và đạo hàm một phần đối với y đó là 4y.
Sau đó, tôi sẽ thay thế y
và x với một và hai tương ứng.
Vì vậy, chúng tôi nhận được hai,
tám kết quả là, đó là gradient của chúng tôi.
Vì vậy, những gì chúng ta sẽ nghĩ về ở đây.
Chúng tôi có một số
hướng tùy ý cosine Alpha, sin Alpha.
Chúng ta sẽ nói về
những gì giá trị tối đa của biểu hiện rất sống động này.
Vì vậy, trước tiên, chúng ta cần tính toán
đạo hàm định hướng của chúng ta,
đó là sản phẩm vô hướng đơn giản
của các văn bản và chúng ta vừa tìm thấy,
và hướng tùy ý
của chúng ta, đó là hai cosin, hàm cộng với tám sin trong Alpha,
và đó là tốt đẹp và khá rõ ràng.
Nhưng thật khó để
trả lời giá trị tối đa là gì và tại sao.
Vì vậy, để làm điều đó,
chúng tôi sẽ vẽ một số bức tranh khá gần đúng.
Giả sử đó là điểm 1, 2 của chúng ta,
trông không giống như vậy, nhưng không bao giờ phiền.
Chúng tôi có ở đây gradient của chúng tôi.
Vì vậy, chúng ta đang nói về là tính toán
đạo hàm định hướng của chúng tôi với hướng tùy ý
l Chúng ta hãy xem lại ý tưởng những gì sản phẩm vô hướng.
Chúng ta có gì ở đây?
Chúng ta có ở đây cũng
không chỉ công thức đơn giản cho tọa độ,
mà còn tám trung bình hình học và [không nghe được].
Chúng ta có thể tuyên bố rằng đó là chiều dài
của gradient của chúng tôi nhân với chiều dài của l,
nhân nó với một số góc độ.
Chúng ta sẽ gọi nó, ví dụ, Gamma.
Vâng, chiều dài của gradient.
Well, nó khá dễ dàng.
Nó là hai bình phương cộng với một bình phương.
Đó không phải là hình vuông. Nó là căn bậc hai của 68.
Cứ để nó như vậy. Chiều dài của hướng luôn luôn là một,
và điều này còn lại là, tốt,
cosin của một số góc tùy ý Gamma.
Như vậy, để đưa ra giá trị tối đa,
bạn chỉ cần hiểu
giá trị tối đa của hàm cosine là gì.
Vì vậy, tối đa ở đây là căn bậc hai của 68.
Bằng cách làm như vậy, chúng ta đã thực sự có
ý tưởng rất thú vị ở đây.
Bởi vì không chỉ chúng ta nói về việc liệu có hay không
trong ý nghĩa hình học có quan trọng
hơn so với việc tính toán
quy tắc thực tế cho quy tắc tích vô hướng,
chúng ta còn thấy rằng
giá trị cực đại của đạo hàm
hướng bằng cách nào đó bằng với độ dài của gradient.
Chúng ta sẽ sử dụng
quy tắc đó cho sin để thiết lập
hướng tổng tối đa và tốc độ
tổng tối đa của hàm tại một điểm nhất định.