Da wir in unserem letzten Beispiel festgestellt haben, dass
das maximale Wachstum irgendwie mit dem Gradienten zusammenhängt,
lassen Sie uns versuchen, dieses Konzept
für willkürliche Funktion zu verallgemeinern und willkürlich zu zeigen.
Beginnen wir zunächst mit einer erneuten Betrachtung
unserer Berechnung und unseres Wachstums
für das richtungsweisende Derivat. Die
Richtungsableitung entspricht dem
skalaren Produkt des Gradienten an
einem bestimmten Punkt und dem
Richtungsvektor, falls
der Richtungsvektor normalisiert ist.
Außerdem werden wir noch einmal betonen
, dass wir uns besonders für den
geometrischen Sinn der
skalaren Projekte interessieren, nämlich die Multiplikation der
Länge des Vektors mit
dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.
Die Frage ist also:
Für einen festen Punkt,
feste Funktion, was die Richtung des
maximalen Wachstums ist, bleibt das vorwärts.
Außerdem ist, wenn der Punkt fixiert ist,
dann sollte man erwarten, dass partielle Ableitung fixiert.
So kennen wir die Werte
genau an diesem Punkt, da der Gradient fixiert ist
und dann einfach bekannt ist und sie nicht verändern konnte.
Die Linse der Richtung
ist so ziemlich die gleiche, was
einem entspricht, also konnten wir es auch nicht ändern.
Als einziges, was wir tatsächlich in der Lage sind, hier zu modifizieren, ist
der Kosinus des Winkels zwischen
dem Gradienten endet die Richtung der Differenzierung.
Also im Grunde ist das Einzige, was hier geändert wird, das ist.
Also durch die Definition der Kosinusfunktion auf
den Maximalwert der Kosinusfraktion ist eins,
und es kommt vor, dass, wenn der Winkel zwischen
zwei Vektoren gleich Null oder Vektoren kogerichtet sind.
Also, um zusammenzufassen, was es bedeutet in Bezug auf
unser maximales Wachstum und die Richtung des maximalen Wachstums,
die Geschwindigkeit des maximalen Wachstums.
Der Maximalwert
dieser Richtungsableitung für jeden Punkt
für jede Funktion ist eine Funktion differenzierbar ist,
ist die Länge des Gradienten an diesem Punkt,
und die Richtung des maximalen Wachstums
ist der Gradienten selbst.
Grundsätzlich sollten wir natürlich früher
sagen, ist, dass die Richtung
die normalisierten Vektoren ist, da wir
nicht nur in seinem Kern
mit einem Gradienten gerichtet bleiben müssen, sondern wir
sollten den Gradienten normalisieren.
Aber es ändert sich nicht, da es Ideen gibt, dass
gerade an diesem Punkt der Farbverlauf
nicht nur die Richtung zeigt,
wohin man gehen soll, um den Maximalwert zu erhalten, sondern wie schnell sich Ihre Funktion dort ändert.
Also lassen Sie uns zum Beispiel eine grundlegende Funktion
wie diese gleich X-squared plus Y-squared betrachten.
Also, das ist unsere Parabel, die
nach der Rotation von Axonen mit
Zustand, an dem die erste Sitzung
dieses Faktors in den frühesten Wochen geführt hat.
Also zuerst lassen Sie uns mit
der Betrachtung als Gradienten dieser Funktion beginnen, die 2_X,
2_Y also für jeden möglichen Punkt A, B.
Also Richtung des maximalen Wachstums an diesem Punkt,
werde ich L max schreiben ist gut im Grunde 2A,
2B geteilt durch die Länge dieses Vektors.
Es ist kompliziert, und da der Wert der Ableitung in
dieser Richtung zwei Quadratwurzel
von A quadriert plus B Quadrat ist.
Das war einfacher.
Durch symmetrische Effekte
wird die Richtung des maximalen Wachstums auch
als Richtung
minimalen Wachstums oder maximaler Abnahme angegeben.
Wenn Sie wollen, ist es Minus,
Gradient oder Inter Gradient,
und wir werden es in der folgenden Folie verwenden.