Da wir in unserem letzten Beispiel festgestellt haben, dass das maximale Wachstum irgendwie mit dem Gradienten zusammenhängt, lassen Sie uns versuchen, dieses Konzept für willkürliche Funktion zu verallgemeinern und willkürlich zu zeigen. Beginnen wir zunächst mit einer erneuten Betrachtung unserer Berechnung und unseres Wachstums für das richtungsweisende Derivat. Die Richtungsableitung entspricht dem skalaren Produkt des Gradienten an einem bestimmten Punkt und dem Richtungsvektor, falls der Richtungsvektor normalisiert ist. Außerdem werden wir noch einmal betonen , dass wir uns besonders für den geometrischen Sinn der skalaren Projekte interessieren, nämlich die Multiplikation der Länge des Vektors mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen. Die Frage ist also: Für einen festen Punkt, feste Funktion, was die Richtung des maximalen Wachstums ist, bleibt das vorwärts. Außerdem ist, wenn der Punkt fixiert ist, dann sollte man erwarten, dass partielle Ableitung fixiert. So kennen wir die Werte genau an diesem Punkt, da der Gradient fixiert ist und dann einfach bekannt ist und sie nicht verändern konnte. Die Linse der Richtung ist so ziemlich die gleiche, was einem entspricht, also konnten wir es auch nicht ändern. Als einziges, was wir tatsächlich in der Lage sind, hier zu modifizieren, ist der Kosinus des Winkels zwischen dem Gradienten endet die Richtung der Differenzierung. Also im Grunde ist das Einzige, was hier geändert wird, das ist. Also durch die Definition der Kosinusfunktion auf den Maximalwert der Kosinusfraktion ist eins, und es kommt vor, dass, wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren gleich Null oder Vektoren kogerichtet sind. Also, um zusammenzufassen, was es bedeutet in Bezug auf unser maximales Wachstum und die Richtung des maximalen Wachstums, die Geschwindigkeit des maximalen Wachstums. Der Maximalwert dieser Richtungsableitung für jeden Punkt für jede Funktion ist eine Funktion differenzierbar ist, ist die Länge des Gradienten an diesem Punkt, und die Richtung des maximalen Wachstums ist der Gradienten selbst. Grundsätzlich sollten wir natürlich früher sagen, ist, dass die Richtung die normalisierten Vektoren ist, da wir nicht nur in seinem Kern mit einem Gradienten gerichtet bleiben müssen, sondern wir sollten den Gradienten normalisieren. Aber es ändert sich nicht, da es Ideen gibt, dass gerade an diesem Punkt der Farbverlauf nicht nur die Richtung zeigt, wohin man gehen soll, um den Maximalwert zu erhalten, sondern wie schnell sich Ihre Funktion dort ändert. Also lassen Sie uns zum Beispiel eine grundlegende Funktion wie diese gleich X-squared plus Y-squared betrachten. Also, das ist unsere Parabel, die nach der Rotation von Axonen mit Zustand, an dem die erste Sitzung dieses Faktors in den frühesten Wochen geführt hat. Also zuerst lassen Sie uns mit der Betrachtung als Gradienten dieser Funktion beginnen, die 2_X, 2_Y also für jeden möglichen Punkt A, B. Also Richtung des maximalen Wachstums an diesem Punkt, werde ich L max schreiben ist gut im Grunde 2A, 2B geteilt durch die Länge dieses Vektors. Es ist kompliziert, und da der Wert der Ableitung in dieser Richtung zwei Quadratwurzel von A quadriert plus B Quadrat ist. Das war einfacher. Durch symmetrische Effekte wird die Richtung des maximalen Wachstums auch als Richtung minimalen Wachstums oder maximaler Abnahme angegeben. Wenn Sie wollen, ist es Minus, Gradient oder Inter Gradient, und wir werden es in der folgenden Folie verwenden.