Puesto que hemos establecido en nuestro último ejemplo que
el crecimiento máximo está de alguna manera relacionado con el gradiente,
tratemos de generalizar este concepto
para la función arbitraria y apuntar arbitrariamente.
En primer lugar, vamos a empezar revisando
nuestro cálculo y crecimiento
para la derivada direccional.
Derivada direccional es igual al
producto escalar del gradiente en
un punto dado y
vector direccional en caso de que
el vector direccional esté normalizado.
También vamos a subrayar una vez más
que estamos particularmente interesados en
el sentido geométrico de
los proyectos escalares que es la multiplicación de
la longitud del vector con
el coseno del ángulo entre ellos.
Entonces la pregunta es:
para un punto fijo,
función fija cuál es la dirección del
crecimiento máximo, eso es se mantiene hacia adelante.
Además es si el punto es fijo,
entonces uno debe esperar que el derivado parcial fijo.
Así conocemos los valores en
este mismo punto, ya que el gradiente es fijo
y luego simplemente conocido y no podía alterarlos.
La lente de la dirección
es más o menos la misma que equivale a
una, por lo que tampoco pudimos cambiarla.
Así que como lo único que realmente somos capaces de modificar aquí es
el coseno del ángulo entre
el gradiente termina la dirección de la diferenciación.
Así que básicamente lo único cambiable aquí es esto.
Así que por la definición de la función coseno en
el valor máximo de la fracción coseno es uno,
y sucede que si el ángulo entre
dos vectores igual a cero o vectores son co-dirigidos.
Así que para resumir lo que significa en términos de
nuestro crecimiento máximo y la dirección del crecimiento máximo,
la velocidad del crecimiento máximo.
El valor máximo de
esta derivada direccional para cualquier punto
para cada función es una función es diferenciable,
es la longitud del gradiente en este mismo punto,
y la dirección del crecimiento máximo
es el gradiente en sí.
Básicamente, por supuesto anteriormente deberíamos
decir es que la dirección son
los vectores normalizados, ya que
no sólo necesitamos permanecer en su núcleo
dirigido con un gradiente, sino que
debemos normalizar el gradiente.
Pero no cambia, ya que hay ideas de que en
este mismo punto el gradiente muestra
no solo la dirección
a dónde ir para obtener el valor máximo,
sino qué tan rápido cambia su función por ahí.
Así que consideremos, por ejemplo, alguna función básica
como esa igual a X cuadrado más Y cuadrado.
Así que esa es nuestra parábola que ha
resultado después de la rotación de axones con
estado en el que la primera reunión
de este factor en las primeras semanas.
Así que primero vamos a empezar con
considerar como un gradiente de esta función que es 2_X,
2_Y por lo tanto para cualquier posible punto A, B.
Así que la dirección del máximo crecimiento en este punto,
voy a escribir L max es bien básicamente 2A,
2B dividido por la longitud de este vector.
Es complicado, y como el valor de la derivada en
esta dirección es dos raíz cuadrada
de A cuadrado más B cuadrado.
Eso fue más fácil.
Por efectos simétricos,
la dirección del crecimiento máximo también
se manifiesta como una dirección de
crecimiento mínimo o disminución máxima.
Si lo desea es menos,
gradiente o inter gradiente,
y vamos a usarlo en la siguiente diapositiva.