Puisque nous avons établi dans notre dernier exemple que
la croissance maximale est en quelque sorte liée au gradient,
essayons de généraliser ce concept
pour fonction arbitraire et pointons arbitrairement.
Tout d'abord, commençons par revoir
notre calcul et notre croissance
pour le dérivé directionnel.
Dérivé directionnel est égal au
produit scalaire du gradient à
un point donné et au
vecteur directionnel dans
le cas où le vecteur directionnel est normalisé.
Nous allons également souligner une fois de plus
que nous sommes particulièrement intéressés par
le sens géométrique des
projets scalaires qui est la multiplication de
la longueur du vecteur avec
le cosinus de l'angle entre eux.
Donc, la question est :
pour un point fixe,
fonction fixe quelle est la direction de la
croissance maximale, qui est reste en avant.
En outre, si le point est fixe,
alors on devrait s'attendre à ce dérivé partiel fixe.
Ainsi, nous connaissons les valeurs à
ce point même que le gradient est fixe
et puis simplement connu et ne pouvait pas les modifier.
La lentille de la direction
est à peu près la même qui équivaut à
un donc nous ne pouvions pas le changer non plus.
Donc, comme la seule chose que nous sommes en mesure de modifier ici est
le cosinus de l'angle entre
le gradient se termine la direction de la différenciation.
Donc, fondamentalement, la seule chose modifiable ici est ceci.
Donc, par la définition de la fonction cosinus sur
la valeur maximale de la fraction cosinus est un,
et il arrive que si l'angle entre
deux vecteurs égaux à zéro ou vecteurs sont co-dirigés.
Donc, pour résumer ce que cela signifie en termes
de croissance maximale et de direction de croissance maximale,
la vitesse de croissance maximale.
La valeur maximale de
cette dérivée directionnelle pour n'importe quel point
pour chaque fonction est une fonction est différenciable,
est la longueur du gradient à ce point même,
et la direction de la croissance maximale
est le gradient lui-même.
Fondamentalement, bien sûr auparavant, nous devrions
dire que
la direction est les vecteurs normalisés car nous devons
non seulement rester à son noyau
dirigé avec un gradient, mais nous
devrions normaliser le gradient.
Mais cela ne change pas car il y a des idées qu'à
ce stade même, le gradient montre
non seulement la direction
où aller pour obtenir la valeur maximale,
mais à quelle vitesse votre fonction change autour de là.
Donc, considérons par exemple une fonction de base
comme celle égale à X-Squared plus Y carré.
Donc, c'est notre parabole qui a
résulté après la rotation des axones avec
l'état à laquelle la première réunion
de ce facteur dans les premières semaines.
Donc, commençons par
considérer comme un gradient de cette fonction qui est 2_X,
2_Y donc pour tout point possible A, B.
Donc direction de la croissance maximale à ce stade,
je vais écrire L max est bien fondamentalement 2A,
2B divisé par la longueur de ce vecteur.
C' est compliqué, et comme la valeur de la dérivée
dans cette direction est deux racine carrée
de A carré plus carré B.
C' était plus facile.
Par des effets symétriques,
la direction de la croissance maximale est
également définie comme une direction de
croissance minimale ou de diminution maximale.
Si vous voulez, il est moins,
dégradé ou inter gradient,
et nous allons l'utiliser dans la diapositive suivante.