Dal momento che abbiamo stabilito nel nostro ultimo esempio che
la crescita massima è in qualche modo correlata al gradiente,
cerchiamo di generalizzare questo concetto
per la funzione arbitraria e arbitrariamente punto.
In primo luogo, iniziamo con la
rivisitazione del calcolo e della crescita
per la derivata direzionale.
Derivata direzionale uguale al
prodotto scalare del gradiente in
un dato punto e
vettore direzionale nel caso in cui
il vettore direzionale è normalizzato.
Inoltre stiamo andando a sottolineare ancora una volta
che siamo particolarmente interessati
al senso geometrico
dei progetti scalari che è la moltiplicazione
della lunghezza del vettore con
il coseno dell'angolo tra di loro.
Quindi la domanda è:
per un punto
fisso, funzione fissa qual è la direzione della
crescita massima, cioè rimane avanti.
Inoltre è se il punto è fisso,
allora ci si dovrebbe aspettare che derivato parziale fisso.
Così conosciamo i valori in
questo punto come il gradiente è fisso
e quindi semplicemente conosciuto e non potrebbe alterarli.
La lente della direzione
è praticamente la stessa che equivale ad
una, quindi non potremmo cambiarla neanche.
Quindi, come unica cosa che siamo effettivamente in grado di modificare qui è
il coseno dell'angolo tra
il gradiente termina la direzione della differenziazione.
Quindi fondamentalmente l'unica cosa mutevole qui è questa.
Quindi dalla definizione della funzione coseno sul
valore massimo della frazione coseno è uno,
e succede che se l'angolo tra
due vettori uguali a zero o vettori sono co-diretti.
Quindi, per riassumere cosa significa in termini di
crescita massima e direzione di crescita massima,
velocità di crescita massima.
Il valore massimo di
questa derivata direzionale per qualsiasi punto
per ogni funzione è una funzione differenziabile,
è la lunghezza del gradiente in questo punto,
e la direzione di crescita massima
è il gradiente stesso.
Fondamentalmente, naturalmente in precedenza dovremmo
dire è che la direzione è
i vettori normalizzati in quanto abbiamo bisogno
non solo rimanere al suo centro
diretto con un gradiente, ma
dovremmo normalizzare il gradiente.
Ma non cambia in quanto ci sono idee che a
questo punto il gradiente mostra
non solo la direzione
in cui andare per ottenere il valore massimo,
ma quanto velocemente cambia la tua funzione in giro.
Quindi consideriamo ad esempio alcune funzioni di base
come quella uguale a X-Squared più Y-al quadrato.
Quindi questa è la nostra parabola che ha
portato dopo la rotazione di assoni con
stato in cui il primo incontro
di questo fattore nelle prime settimane.
Quindi prima cominciamo con
considerare come un gradiente di questa funzione che è 2_X,
2_Y quindi per qualsiasi possibile punto A, B.
Quindi direzione di crescita massima a questo punto,
ho intenzione di scrivere L max è ben fondamentalmente 2A,
2B diviso per la lunghezza di questo vettore.
E 'complicato, e come il valore della derivata su
questa direzione è due radice quadrata
di A al quadrato più B quadrato.
E' stato piu' facile.
Per effetti simmetrici,
la direzione della crescita massima è anche
dichiarata come direzione di
crescita minima o diminuzione massima.
Se si vuole è meno,
gradiente o intergradiente,
e abbiamo intenzione di usarlo nella diapositiva seguente.