Desde que estabelecemos em nosso último exemplo que
o crescimento máximo está de alguma forma relacionado com o gradiente,
vamos tentar generalizar este conceito
para função arbitrária e arbitrariamente ponto.
Em primeiro lugar, vamos começar revisitando
nosso cálculo e crescimento
para a derivada direcional.
Derivada direcional é igual ao
produto escalar do gradiente em
um determinado ponto e
vetor direcional caso
o vetor direcional seja normalizado.
Também vamos enfatizar mais uma vez
que estamos particularmente interessados
no sentido geométrico
dos projetos escalares que é a multiplicação do
comprimento do vetor com
o cosseno do ângulo entre eles.
Então a questão é:
para um ponto fixo,
função fixa qual é a direção do
crescimento máximo, que é permanece para a frente.
Além disso, é se o ponto é fixo,
então deve-se esperar que derivado parcial fixo.
Assim, sabemos os valores
neste exato ponto como o gradiente é fixo
e, em seguida, simplesmente conhecido e não poderia alterá-los.
A lente da direção
é praticamente a mesma que é igual a
uma, portanto, não poderíamos mudá-la também.
Então, como a única coisa que somos realmente capazes de modificar aqui é
o cosseno do ângulo entre
o gradiente termina a direção da diferenciação.
Então, basicamente, a única coisa mutável aqui é isso.
Assim, pela definição da função
cosseno no valor máximo da fração do cosseno é um,
e acontece que se o ângulo entre
dois vetores igual a zero ou vetores são co-direcionados.
Então, resumindo o que isso significa em termos de
nosso crescimento máximo e a direção do crescimento máximo,
a velocidade do crescimento máximo.
O valor máximo
desta derivada direcional para qualquer ponto
para cada função é uma função é diferenciável,
é o comprimento do gradiente neste ponto,
e a direção do crescimento máximo
é o próprio gradiente.
Basicamente, é claro que anteriormente devemos
dizer é que a direção é
os vetores normalizados como precisamos
não só ficar em seu núcleo
dirigido com um gradiente, mas
devemos normalizar o gradiente.
Mas isso não muda, pois há idéias que
neste exato ponto o gradiente mostra
não apenas a direção
para onde ir para obter o valor máximo,
mas quão rápido sua função muda em torno de lá.
Então vamos considerar, por exemplo, alguma função básica
como aquela igual a X ao quadrado mais Y-quadrado.
Então essa é a nossa parábola que
resultou após a rotação de axônios com
estado em que a primeira reunião
deste fator nas primeiras semanas.
Então primeiro vamos começar
considerando como um gradiente desta função que é 2_X,
2_Y assim para qualquer ponto possível A, B.
Então direção de crescimento máximo neste ponto,
eu vou escrever L max é bem basicamente 2A,
2B dividido pelo comprimento deste vetor.
É complicado, e como o valor da derivada
nesta direção é duas raiz quadrada
de A ao quadrado mais B quadrado.
Isso foi mais fácil.
Por efeitos simétricos,
a direção do crescimento máximo também é
estado como uma direção de
crescimento mínimo ou diminuição máxima.
Se você quiser, é menos,
gradiente ou inter gradiente,
e vamos usá-lo no slide a seguir.