Kể từ khi chúng tôi thiết lập trong ví dụ mới nhất của chúng tôi rằng
sự tăng trưởng tối đa bằng cách nào đó liên quan đến gradient,
chúng ta hãy cố gắng tổng quát khái niệm này
cho chức năng tùy ý và tùy ý điểm.
Thứ nhất, chúng ta hãy bắt đầu với việc xem xét lại
tính toán và tăng trưởng
của chúng tôi cho đạo hàm định hướng.
Đạo hàm định hướng tương đương với
tích vô hướng của gradient tại
một điểm cho trước và
vectơ định hướng trong trường hợp
vectơ định hướng được chuẩn hóa.
Ngoài ra chúng ta sẽ nhấn mạnh ra một lần nữa
rằng chúng ta đặc biệt quan tâm đến
ý thức hình học của
các dự án vô hướng đó là sự nhân
của chiều dài của vectơ với
cosin của góc ở giữa chúng.
Vì vậy, câu hỏi đặt ra là;
đối với một điểm
cố định, hàm cố định là gì hướng của
sự tăng trưởng tối đa, đó là ở phía trước.
Hơn nữa là nếu điểm là cố định,
sau đó người ta nên mong đợi rằng đạo hàm một phần cố định.
Vì vậy, chúng ta biết các giá trị tại thời
điểm này rất là gradient là cố định
và sau đó chỉ đơn giản là biết và không thể thay đổi chúng.
Ống kính của hướng
này khá giống nhau, tương đương với
một do đó chúng tôi cũng không thể thay đổi nó.
Vì vậy, như là điều duy nhất chúng ta thực sự có thể sửa đổi ở đây là
cosin của góc tronggiữa
gradient kết thúc hướng của sự khác biệt.
Vì vậy, về cơ bản, điều duy nhất có thể thay đổi ở đây là điều này.
Vì vậy theo định nghĩa của hàm cosin
trên giá trị cực đại của phân số cosin là một,
và nó xảy ra rằng nếu góc giữa
hai vectơ bằng 0 hoặc vectơ được đồng hướng.
Vì vậy, để tổng hợp những gì nó có nghĩa là về sự
tăng trưởng tối đa của chúng ta và hướng tăng trưởng tối đa,
tốc độ tăng trưởng tối đa.
Giá trị cực đại của
đạo hàm định hướng này đối với bất kỳ điểm nào
đối với mọi hàm là một hàm có thể phân biệt
được, là độ dài của gradient tại thời điểm này,
và hướng tăng trưởng cực đại
là chính gradient.
Về cơ bản, tất nhiên trước đây chúng ta nên
nói là hướng là
các vectơ chuẩn hóa như chúng ta cần
không chỉ ở lại cốt lõi của nó
hướng với một gradient nhưng chúng ta
nên bình thường hóa gradient.
Nhưng nó không thay đổi vì có những ý tưởng rằng tại thời
điểm này gradient
không chỉ cho thấy hướng đi
nơi để đi để có được giá trị tối đa,
nhưng nhanh như thế nào chức năng của bạn thay đổi trong xung quanh đó.
Vì vậy, chúng ta hãy xem xét ví dụ một số chức năng cơ bản
như thế bằng X bình phương cộng với Y bình phương.
Vì vậy, đó là parabola của chúng tôi mà đã
kết quả sau khi vòng quay của sợi trục với
nhà nước mà tại đó cuộc họp đầu tiên
của yếu tố này trong những tuần đầu tiên.
Vì vậy, đầu tiên chúng ta hãy bắt đầu với
việc xem xét như là một gradient của chức năng này là
2_X, 2_Y do đó cho bất kỳ điểm có thể A, B.
Vì vậy, hướng tăng trưởng tối đa tại thời điểm này,
tôi sẽ viết L max cũng là cơ bản
2A, 2B chia cho chiều dài của vector này.
Nó phức tạp, và như giá trị của đạo hàm trên
hướng này là hai căn bậc hai
của A bình phương cộng với B vuông.
Điều đó dễ dàng hơn.
Bằng
các hiệu ứng đối xứng, hướng tăng trưởng tối đa cũng được thể hiện
như là một hướng
tăng trưởng tối thiểu hoặc giảm tối đa.
Nếu bạn sẽ nó là trừ,
gradient hoặc gradient giữa,
và chúng tôi sẽ sử dụng nó trong slide sau đây.