الآن، بما أننا نعرف المشتقات الجزئية
والتفاعل من النمو الأقصى،
والفكرة الأساسية هي أن نفهم كيفية
العثور على النقطة حيث
وظيفتنا لديها القيمة القصوى أو الدنيا،
وكيفية تعريف وظيفة المتطرفة.
لذلك في الأساس، نحن ذاهبون إلى تعميم كل
كمدخلات ما قلته للتو
لوظيفة متغيرة واحدة.
دعونا نبدأ مع الأساسيات.
دعونا نبدأ مع التعريف.
ما هي النقطة التي تسمى extremal؟
وتسمى نقطة extremal إذا كان في بعض الأحياء من
هذه الدالة نقطة لديها
أكبر أو أدنى قيمة في هذه النقطة بالذات.
هذا هو تماما نفس ما كان عليه من قبل.
إذن ما الذي نتذكره؟
ونحن لا نتذكر أن المتطرفة
هو أيضا مرتبطة بطريقة أو بأخرى مع الدرجة الأولى،
والتي بالطبع وظيفة متغيرة.
أولا, دعونا نذكر أنفسنا أن,
لقد غطينا مفهوم النقاط الثابتة.
النقطة الثابتة هي نقطة حيث كل
المشتقات الجزئية الأولى تساوي الصفر.
ولكن وظيفة بهذه الطريقة،
نقطة لديها سرعة صفر
من التغيير في أي اتجاه ممكن.
كما ربما تتذكر،
فإن التثابطية ليست
كافية ولكنها شروط ضرورية لextremum.
وهذا يعني أساسا أن
وظيفة لديها extremum عندما يكون في
نقطة جدا وقابلة للاشتراء في الواقع.
انها هنا ثم هذه النقطة يجب أن تكون ثابتة.
ولكنها ليست حالة كافية
وسنقوم بإظهارها بالطريقة التالية.
حسنا، النظر في وظيفتين،
[غير مسموع] مكافئ وظيفة س
تربيع ناقص y مربع وهو فرط بولويد.
لذلك أولا، دعونا نفترض أننا ذاهبون
لحساب التدرج لكلا من هذه الوظائف.
للوظيفة الأولى،
فمن 2x، 2y.
للوظيفة الثانية،
هو 2x ناقص 2y.
لذلك في الأساس، إذا كنا
نبحث عن كل نقطة ثابتة ممكنة،
هنا في كلتا الحالتين،
النقطة الثابتة هي فريدة من نوعها وهي 0، 0.
ولكن كما نفهم بوضوح،
بالنسبة للوظيفة الأولى يكاد يكون من
المؤكد الحد الأدنى والحد الأدنى العالمي،
لأن كل من x مربع و y
مربع لا يمكن أن يكون أقل من الصفر،
وعند النقطة 0، 0،
فإن الدالة لها قيمة صفر،
وهو الحد الأدنى العالمي لذلك.
ولكن بالنسبة للوظيفة الثانية،
إذا كنا، على سبيل المثال،
يفترض تقييد الدالة بواسطة y يساوي الصفر،
أن نحصل على التاسع، f،
أو z يساوي x مربع ونقطة 0،
0 إلى أكثر من x مربع هو الحد الأدنى.
ولكن كما نعتبر،
في قيود أخرى، على سبيل المثال،
س يساوي الصفر ونحصل لدينا و يساوي ناقص y مربع
مما يؤدي إلى الحد الأقصى في النقطة 0، 0.
هذا أساسا يقدم تقييدا واحدا،
قيمته القصوى لذلك، انها قيمة ضئيلة.
في الواقع، رأينا بالفعل هذا السطح
بقدر ما تبحث z1.
تذكر، كان لدينا وظيفة مكافئ واحدة
تبحث صعودا
وظيفة مكافئ أخرى تنظر إلى أسفل.
ما هو في الأساس، هذه حالة حيث
نقطة ثابتة لا تحتوي على extremum في ذلك.
حتى إذا وضعنا بالفعل الظروف اللازمة،
ثم نحن بحاجة إلى التفكير في واحد كاف.
دعونا نتبع نفس القاعدة إلى حد كبير هنا.
بالنسبة للوظيفة الوحيدة الصالحة،
كان الشرط الكافي تقريبًا
حول التقعر أو التحدب للدالة.
إذا كنت تتذكر، إذا كانت الدالة
محدبة في النقطة الثابتة،
لأن ذلك، كان الحد الأدنى.
من أجل تذكر ذلك،
نرسم وظيفية [غير مسموع].
وهي وظيفة معقدة ووظيفة مقعرة [غير مسموع].
إذا كان هذا هو الحد الأدنى. هذا هو أيضا الحد الأقصى.
لذلك
يرتبط التحدب للغاية مع التحسين في حالتنا.
لذلك دعونا نحاول فقط استخدام نفس المبدأ هنا.
إذا كانت الوظيفة محدبة، فهذا هو الحد الأدنى.
إذا كانت الوظيفة مقعرة،
فهذا هو الحد الأقصى
للحالة متعددة المتغيرات وهو أمر
مفيد للغاية هنا لأننا
أنشأنا بالفعل كيفية العثور على
ما إذا كانت الوظيفة محدبة أو مقعرة
في حالة متغيرات متعددة.
من أجل القيام بذلك، لقد نظرنا في
ما إذا كان الفرق الثاني
للوظيفة هو إيجابي أو سلبي نصف غير محدد أم لا.
أنا ذاهب لتذكيرك.
أولا، لقد نظرنا إلى الصيغة الكاملة
التفاضلية الثانية ونظرنا إليها
كدالة تربيعية نحو
Dx على Dy ويمكننا أن نرى D جيدا،
وهو نتيجة لضرب
أهداف المشتقة الثانية x_2 مرات مضروبة في
الأهداف المشتقة الثانية y_2 مرات ناقص
مربعة مشتق الثاني نحو xy.
وكانت الفكرة أنه إذا كانت
هذه القيمة التي هي ناقص التمييز على
وظيفة مكافئ في التفاضل الثاني إيجابية
ثم عن طريق تحديد ما إذا كان
المعامل الأول هو إيجابي أم سلبي.
يمكننا أن نختلف بين الحالات المحدبة والمقعرة،
وإذا كان التمييز
سلبيًا، فعندنا في الأساس حالة غير متطرفة.
لذلك دعونا نحاول استخدام هذه القاعدة ومثال يوضح
كيف يعمل كل هذا من البداية إلى البداية.
أولا، عملنا يعمل على النحو التالي.
أوجد المشتقات الجزئية، ثم أوجد
النقاط الثابتة عن طريق حل نظام المعادلات،
ثم أوجد المشتقة الثانية وتقرر
ما إذا كان التفاضلية الثانية
موجبة أم سلبية نصف غير محددة.
لذا فإن المثال الذي سننظر إليه هو ما يلي؛
x تعمل بالطاقة 4 زائد
y 4 ناقص x تربيع ناقص 2xy ناقص y مربع.
لذلك دعونا نبدأ مع درجات الإجراءات لدينا.
أولا، دعونا نبدأ مع المشتقات الجزئية.
المشتقات الجزئية هنا سأقوم بكتابتها
في حين أن كل منهم في الواقع لأننا في حاجة إلى
مشتقات جزئية الثانية
بعد ذلك أن تقرر ما إذا كان
هذا الفرق الثاني هو شبه غير محدد أم لا.
لذلك بالنسبة لأول واحد،
مشتق جزئي فيما يتعلق x هو 4x مدعوم 3 ناقص
2x وناقص 2y.
لذا فيما يتعلق y، إلى
حد كبير هو نفسه بالنسبة
y بالطاقة 3 ناقص 2x ناقص 2y.
نحن بحاجة إلى العثور على
نقاط ثابتة بعد ذلك ولكن أنا ذاهب فقط
للعثور على المشتقات الثانية هنا.
حتى إذا كنا نفرق
أول مشتق جزئي نحو x في وقت آخر.
نحو x، نحصل على 12x مربع ناقص 2.
كما ينطبق الشيء نفسه على
المشتق الجزئي الثاني نحو y،
2 مرات 12y مربع ناقص 2.
بالنسبة لحالة المشتق الثاني نحو x و y،
نحصل على ناقص 2 ببساطة.
لذا فإن الشيء التالي الذي يجب القيام به هو حل نظامنا
من المعادلات
من حيث المشتقات الجزئية الأولى تساوي الصفر.
كما ترون في كلتا المعادلتين،
هناك كتلة ناقص 2X ناقص 2y.
وبالتالي فإن هذا يعني بشكل أساسي
إذا كان هذان متساويان لأنهما يتطابقان،
فإن [غير مسموع] متساويان وهو 4x مدعوم 3،
4y مدعوم لأن الجانب الأيمن من
كلتا المعادلتين هي نفسها.
لذلك هذا يعني أنه في النقاط الثابتة،
x يساوي y وبالتالي نحصل على معادلة
4x تعمل بالطاقة 3 ناقص 4x يساوي 0.
يمكننا إزالة أربعة,
وبالتالي نحصل على س بالطاقة 3 ناقص س يساوي 0.
وبالتالي نحصل على جميع الحلول الممكنة
x يساوي 0 يساوي إلى
y و x يساوي y
يساوي إلى 1x يساوي y يساوي إلى y يساوي x ناقص 1.
لذلك نحصل أساسا 0، 0؛ 1،
1؛ 1 ناقص 1 ناقص 1 نقطة ثابتة.
لذلك دعونا نبدأ مع 1،
1 وناقص 1 ناقص 1
لأنه ببساطة كما
ترون من نظرة على المشتق الثاني،
فهي نفسها تماما نحو فكرة
قيمة المشتقات الثانية هنا.
سأستخدم باللون الأخضر هنا
للتأكيد على أنني أعمل مع هاتين الوظيفتين.
لذلك أساسا، إذا قمنا باستبدال x و y
بنقطة ثابتة لدينا هنا،
نحصل على 12 مضروبا في 1 ناقص 2 وهو 10.
هذا لا يزال ناقص 2،
وهذا هو 10.
لذلك نحن بحاجة إلى اتخاذ قرار بشأن ما يجب
القيام به مع تفاضلنا الثاني.
من أجل القيام بذلك، نحن بحاجة إلى العثور على
قيمة رأس المال D السلبية التي هي 10.
مشتق جزئي الثاني نحو x،
2 مرات مضروبة في 10.
مشتق جزئي الثاني نحو y،
2 مرات ناقص 2 مربع وهو 96،
وهو أكبر من الصفر.
هذا هو التفاضلي الثاني،
هو في الواقع نصف محدد ومنذ
أهدافنا المشتقة الثانية x،
2 مرات أكبر من الصفر،
نحصل على حالة محدبة،
أن يذهب إلى نقاط ثابتة في الحد الأدنى.
لذا فإن الشيء الوحيد الذي نحتاج إلى تحديده هو ما إذا كان
هذا يعمل من أجل نقاط 0 أو 0.
أما بالنسبة إلى 0، 0 نقطة،
كل شيء
أكثر تعقيدًا قليلاً لأنه كما يمكنك أن تفهم،
فإن قيم جميع المشتقات الجزئية هنا هي ناقص 2.
وبالتالي فإن قيمة D لدينا هي ناقص
2 مضروبة ناقص 2 ناقص ناقص 2 مربع وهو
صفر وقاعدتنا للتحدب لا تعمل.
والأهم من ذلك، دعونا ننظر إلى هذه الوظيفة ذاتها.
كما تتذكر،
قلنا أنه إذا لم تنجح قاعدة التحدب،
فإننا لا نعرف أي شيء عن التحدب،
وربما يجب أن ننظر إلى الوظيفة نفسها.
في الأساس، ما ننظر إليه،
مجرد النظر على سبيل المثال شيئين.
أولا، يمكن
كتابة المصطلحات الثلاثة الأخيرة بسهولة كما x plus y مربع.
لذلك دعونا نفعل ذلك. ونحن في طريقنا لكتابة س بالطاقة 4 زائد
ذ بالطاقة 4 ناقص س زائد ص مربع.
لذلك بالنسبة للاتجاه على سبيل المثال،
x يساوي ناقص y.
هذا المصطلح الأخير يختفي في الواقع ونحصل على
2X لطيفة جدا بالطاقة 2
التي لديها الحد الأدنى [غير مسموع] نقطة الصفر.
لذلك على الأقل في اتجاه واحد،
لدينا 0، 0 نقطة هو الحد الأدنى.
ولكن من السهل أن نفهم أنه على سبيل المثال،
إذا اعتبرنا x يساوي 2 ناقص y ولكن x يساوي y،
يمكننا بسهولة جمع وظيفتنا
تتحول إلى 2x مدعوم 4 ناقص
4x مربع والتي من السهل
أن تظهر لديها قيمة قصوى عند نقطة الصفر.
لذلك نحصل على ذلك في 0، 0 نقطة.
حسناً، لن نحصل على شيء
إنها ليست متطرفة
لا وكان ذلك مخططا كاملا لاستكشاف ما
إذا كانت هذه الوظيفة لديها extremas
ومعرفة ما هي extremas هي.