Jetzt, da wir Teilableitungen
und Interaktion von maximalem Wachstum kennen,
ist die wesentliche Idee zu verstehen, wie man
den Punkt findet, an dem
unsere Funktion maximalen oder minimalen Wert hat,
wie man Funktion extremal definiert.
Also im Grunde werden wir alle
als Eingabe verallgemeinern, was ich gerade
für die einzelne Variate-Funktion gesagt habe.
Beginnen wir mit den Grundlagen.
Fangen wir mit der Definition an.
Welcher Punkt wird als extremal bezeichnet?
Ein Punkt wird als extremal bezeichnet, wenn in einer Nachbarschaft
dieses Punkts Funktion den
größten oder niedrigsten Wert an diesem Punkt hat.
Das ist ganz dasselbe wie vorher.
Also, woran wir uns erinnern?
Wir erinnern uns, dass das Extremal
auch irgendwie mit dem ersten Grad verbunden ist,
der natürlich eine Kovariatfunktion hat.
Zunächst sollten wir uns daran erinnern, dass
wir das Konzept der stationären Punkte behandelt haben.
Der stationäre Punkt ist ein Punkt, an dem alle
ersten Teilderivate gleich Null sind.
Aber Funktion auf diese Weise,
ein Punkt hat Null Geschwindigkeit
der Änderung in jeder möglichen Richtung.
Wie Sie sich vielleicht erinnern,
ist die Stationarität nicht
ausreichend, aber notwendige Bedingungen für Extremum.
Es bedeutet im Grunde, dass
die Funktion ein Extremum hat, wenn sie
genau an der Stelle ist und tatsächlich differenzierbar ist.
Es ist hier, dann sollte dieser Punkt stationär sein.
Aber es ist nicht ausreichend Fall und
wir werden es auf die folgende Weise zeigen.
Nun, betrachten Sie zwei Funktionen,
[unhörbar] Parabel und Funktion x
quadriert minus y quadriert, was hyperboloid ist.
Nehmen wir zunächst an, dass wir
einen Gradienten für beide Funktionen berechnen werden.
Für die erste Funktion
ist es 2x, 2y.
Für die zweite Funktion
ist es 2x minus 2y.
Also im Grunde, wenn wir nach
allen möglichen stationären Punkt suchen,
hier in beiden Fällen
ist der stationäre Punkt einzigartig und es ist 0, 0.
Aber wie wir klar verstehen,
ist für die erste Funktion fast
sicher ein Minimum und das globale Minimum,
da sowohl x quadriert als auch y
quadriert nicht kleiner als Null sein können,
und am Punkt 0, 0
hat die Funktion den Wert Null,
was ein globales Minimum dafür ist.
Aber was die zweite Funktion betrifft,
wenn wir zum Beispiel
eine Einschränkung der Funktion durch y gleich Null annehmen,
dass wir neunten, f
oder z gleich x quadriert bekommen und ein Punkt 0,
0 bis über x quadriert ist ein Minimum.
Aber wie wir betrachten,
in anderen Beschränkungen, zum Beispiel,
x gleich Null und wir bekommen unsere f gleich minus y quadriert
, was in das Maximum in dem Punkt 0, 0 resultiert.
Das bietet im Grunde eine Einschränkung,
seinen Maximalwert dafür, es ist minimaler Wert.
Eigentlich haben wir diese Oberfläche schon so
weit gesehen, wie wir z1 suchen.
Denken Sie daran, wir hatten eine Parabolfunktion, die
nach oben schaute und
andere parabolische Funktion nach unten schaute.
Was im Grunde ist, ist dies ein Fall, in dem
stationären Punkt kein Extremum darin hat.
Also, wenn wir bereits eine notwendige Bedingungen festgelegt haben,
dann müssen wir über die ausreichende nachdenken.
Lassen Sie uns die gleiche Regel hier so ziemlich folgen.
Für die einzelne gültige Funktion
war die ausreichende Bedingung fast
über die Konkavität oder Konvexität der Funktion.
Wenn Sie sich erinnern, ob die Funktion
im stationären Punkt konvex war
, war es ein Minimum.
Um sich daran zu erinnern,
zeichnen wir funktional [unhörbar].
Es ist eine komplexe Funktion und konkave Funktion [unhörbar].
Wenn dies ein Minimum ist. Dies ist auch Maximum.
So ist Konvexität
in unserem Fall extrem mit der Optimierung verbunden.
Also lasst uns einfach versuchen, das gleiche Prinzip hier zu verwenden.
Wenn die Funktion konvex ist, ist das das Minimum.
Wenn die Funktion in konkav ist,
ist das das Maximum für
den multivariaten Fall, was
hier sehr nützlich ist, weil wir
bereits festgestellt haben, wie man findet,
ob die Funktion konvex oder konkav
im Falle mehrerer Variablen ist.
Um dies zu tun, haben wir überlegt,
ob das zweite Differenzial
der Funktion positiv oder negativ semidefinit ist oder nicht.
Ich werde dich daran erinnern.
Erstens haben wir uns die vollständige Formel
zweite Differential angesehen und wir haben es als
eine quadratische Funktion in Richtung
Dx auf Dy angesehen und wir können das D gut sehen,
das als Ergebnis der Multiplikation der
zweiten Ableitungsziele x_2 mal
multipliziert mit zweiten Ableitungszielen y_2 mal minus
quadratische zweite Ableitung in Richtung xy.
Die Idee war, dass, wenn
dieser Wert, der minus diskriminierend über
die parabolische Funktion im zweiten Differenzial ist, positiv ist,
dann durch die Entscheidung, ob
der erste Koeffizient positiv oder negativ ist.
Wir können zwischen konvexen und konkaven Fällen unterscheiden,
und wenn der Diskriminant negativ ist,
dann haben wir im Grunde nicht-extremen Fall.
Also lassen Sie uns versuchen, diese Regel zu verwenden und ein Beispiel zeigen,
wie all dies funktioniert nur von Anfang bis Anfang.
Erstens funktioniert unser Verfahren wie folgt.
Finden Sie partielle Ableitungen, dann finden Sie
stationäre Punkte, indem Sie das Gleichungssystem lösen,
dann finden Sie die zweite Ableitung und entscheiden,
ob das zweite Differential
positiv oder negativ semidefinit ist oder nicht.
Das Beispiel, das wir uns ansehen werden, ist das folgende;
x angetrieben 4 plus
y angetrieben 4 minus x quadriert minus 2xy minus y quadriert.
Lassen Sie uns also mit unseren Verfahrensnoten beginnen.
Zunächst einmal sollten wir mit partiellen Derivaten beginnen.
Teilderivate hier werde ich sie aufschreiben.
Während alle von ihnen tatsächlich, weil wir brauchen
zweite Teilderivate
danach zu entscheiden, ob
dieses zweite Differential semidefinit ist oder nicht.
Also für die erste,
partielle Ableitung in Bezug auf x ist 4x powered 3 minus
2x und minus 2y.
Also in Bezug auf y,
gut so ziemlich ist das gleiche für
y powered 3 minus 2x minus 2y.
Wir müssen
danach stationäre Punkte finden, aber ich werde
hier nur zweite Derivate finden.
Also, wenn wir die
erste partielle Ableitung gegenüber x zu einem anderen Zeitpunkt unterscheiden.
In Richtung x erhalten wir 12x quadriert minus 2.
Das gleiche gilt für die
zweite partielle Ableitung in Richtung y,
2 mal 12y Quadrat minus 2.
Für den Fall der zweiten Ableitung zu x und y
erhalten wir einfach minus 2.
Das nächste, was zu tun ist, ist, unser System
von Gleichungen in Bezug auf die
ersten partiellen Derivate gleich Null zu lösen.
Wie Sie in beiden Gleichungen sehen können,
gibt es einen Block minus 2x minus 2y.
Im Grunde bedeutet dies,
wenn diese beiden gleich sind, weil sie übereinstimmen,
dann sind die [unhörbar] gleich, die 4x powered 3,
4y powered 3, weil die rechte Seite
beider Gleichungen gleich ist.
Dies impliziert also, dass in stationären Punkten
x gleich y ist, also erhalten wir eine Gleichung
4x angetrieben 3 minus 4x gleich 0.
Wir können vier entfernen,
so bekommen wir x powered 3 minus x gleich 0.
So erhalten wir alle möglichen Lösungen
x gleich 0 gleich
y und x gleich y
gleich 1x gleich y gleich gleich y ist gleich x minus 1.
Also erhalten wir im Grunde 0, 0; 1,
1; 1 minus 1 minus 1 stationäre Punkte.
Lassen Sie uns also mit 1,
1 und minus 1 minus 1 beginnen,
denn einfach, wie Sie
aus dem Blick auf die zweite Ableitung sehen können,
sind sie ganz gleich gegenüber der Idee
des Wertes der zweiten Derivate hier.
Ich werde hier in Grün verwenden,
um zu betonen, dass ich mit diesen beiden Funktionen arbeite.
Also im Grunde, wenn wir x und y durch
unseren stationären Punkt hier ersetzen,
erhalten wir 12 multipliziert mit 1 minus 2, was 10.
Das ist immer noch minus 2,
und das ist 10.
Also müssen wir uns entscheiden, was wir
mit unserem zweiten Differential tun sollen.
Um dies zu tun, müssen wir
unseren negativen diskriminierenden D-Kapitalwert finden, der 10 ist.
Zweite partielle Ableitung in Richtung x,
2 mal multipliziert mit 10.
Zweite partielle Ableitung in Richtung y,
2 mal minus 2 quadriert, was 96
ist, die größer als Null ist.
Das ist unser zweites Differential,
ist eigentlich semidefinit und da
unsere zweiten Ableitungsziele x,
2 mal größer als Null ist,
erhalten wir
konvexen Fall, der zu stationären Punkten bei minimalen geht.
Das einzige, was wir entscheiden müssen, ist, ob
das für unseren 0, 0 Punkt funktioniert oder nicht. Was
0, 0 Punkt betrifft,
ist alles nur ein bisschen
komplizierter, denn wie Sie verstehen können,
sind die Werte aller Teilderivate hier minus 2.
Daher ist unser D-Wert minus 2 multipliziert minus
2 minus minus 2 quadriert, was
Null ist und unsere Regel für Konvexität funktioniert nicht.
Noch wichtiger ist, lassen Sie uns diese Funktion betrachten.
Wie Sie sich erinnern,
haben wir gesagt, dass, wenn die Konvexitätsregel
nicht funktioniert, wir nichts über Konvexität wissen,
und wir sollten wahrscheinlich die Funktion selbst betrachten.
Grundsätzlich, was wir betrachten,
betrachten Sie zum Beispiel zwei Dinge.
Erstens können die letzten drei Begriffe
einfach als x plus y quadriert geschrieben werden.
Also lasst uns es tun. Wir werden schreiben x angetrieben 4 plus
y angetrieben 4 minus x plus y quadriert.
Also für die Richtung zum Beispiel,
x gleich minus y.
Dieser letzte Begriff verschwindet tatsächlich und wir bekommen ziemlich
schöne 2x powered 2
, die einen minimalen [unhörbaren] Nullpunkt hat.
Also zumindest in einer Richtung ist
unser 0, 0 Punkt ein Minimum.
Aber es ist leicht zu verstehen, dass zum Beispiel,
wenn wir betrachten x gleich 2 minus y, aber x gleich y.
Wir können leicht sammeln unsere Funktion
verwandelt sich in 2x powered 4 minus
4x quadriert, die leicht
zu zeigen ist, hat einen Maximalwert an Nullpunkt.
Als Ergebnis erhalten wir das am 0, 0 Punkt.
Nun, wir kriegen nichts.
Es ist kein Extremum. -
Nicht. Das war ein vollständiges Schema, um zu erforschen, ob
diese Funktion die Extremen hat oder nicht,
und herauszufinden, was die Extremen sind.