Ahora, ya que conocemos derivados parciales
e interacción de crecimiento máximo,
la idea esencial es entender cómo
encontrar el punto donde
nuestra función tiene un valor máximo o mínimo,
cómo definir la función extremal.
Entonces, básicamente, vamos a generalizar todo
como entrada lo que acabo de decir
para la función de variada única.
Comencemos con lo básico.
Comencemos con la definición.
¿ Qué punto se llama extremo?
Un punto se llama extremal si en algún vecindario de
este punto la función tiene el
valor más grande o el más bajo en este mismo punto.
Eso es lo mismo que antes.
Entonces, ¿qué recordamos?
Recordamos que el extremo
también está de alguna manera conectado con el primer grado,
que por supuesto una función covariable.
Primero, recordemos que
hemos cubierto el concepto de puntos estacionarios.
El punto estacionario es un punto donde todos los
primeros derivados parciales equivalen a cero.
Pero la función de esta manera,
un punto tiene cero velocidad
de cambio en cualquier dirección posible.
Como tal vez recuerden,
la estacionariedad no es
suficiente, sino condiciones necesarias para el extremo.
Básicamente significa que
la función tiene un extremo cuando está en
el punto mismo y diferenciable en realidad.
Está aquí, entonces este punto debería estar estacionario.
Pero no es suficiente caso y
vamos a mostrarlo de la siguiente manera.
Bueno, considere dos funciones,
parábola [inaudible] y función x
cuadrado menos y cuadrado que es hiperboloide.
Así que primero, supongamos que vamos
a calcular un gradiente para ambas funciones.
Para la primera función,
es 2x, 2y.
Para la segunda función,
es 2x menos 2y.
Así que, básicamente, si estamos
buscando todo el punto estacionario posible,
aquí en ambos casos,
el punto estacionario es único y es 0, 0.
Pero como entendemos claramente,
para la primera función es casi
seguro un mínimo y el mínimo global,
porque tanto x cuadrado como y
cuadrado no podrían ser inferiores a cero,
y en el punto 0, 0,
la función tiene valor cero,
que es un mínimo global para ella.
Pero en cuanto a la segunda función,
si nosotros, por ejemplo,
asumimos una restricción de la función por y igual a cero,
que obtenemos noveno, f,
o z igual a x cuadrado y un punto 0,
0 a más de x cuadrado es un mínimo.
Pero como consideramos,
en otra restricción, por ejemplo,
x igual a cero y obtenemos nuestra f igual a menos y cuadrado
que resulta en el máximo en el punto 0, 0.
Eso básicamente ofrece una restricción,
su valor máximo para eso, es un valor mínimo.
En realidad, ya hemos visto esta superficie en
cuanto a mirar z1.
Recuerde, teníamos una función parabólica
mirando hacia arriba y
otra función parabólica mirando hacia abajo.
Básicamente, este es un caso en el que
el punto estacionario no tiene un extremo en él.
Así que si ya establecimos unas condiciones necesarias,
entonces tenemos que pensar en la suficiente.
Vamos a seguir la misma regla más o menos aquí.
Para la única función válida,
la condición suficiente era
casi la concavidad o convexidad de la función.
Si recuerdas, si la función era
convexa en el punto estacionario,
como eso, era un mínimo.
Para recordarlo,
dibujamos funcional [inaudible].
Es una función compleja y función cóncava [inaudible].
Si esto es mínimo. Esto también es máximo.
Así que la convexidad está extremadamente
relacionada con la optimización en nuestro caso.
Así que intentemos usar el mismo principio aquí.
Si la función es convexa, ese es el mínimo.
Si la función en cóncavo,
ese es el máximo para
el caso multivariado que es
extremadamente útil aquí porque
ya hemos establecido cómo encontrar
si la función es convexa o cóncava
en caso de múltiples variables.
Para ello, hemos considerado
si el segundo diferencial de
la función es positivo o negativo semidefinido.
Te lo voy a recordar.
En primer lugar, hemos mirado el
segundo diferencial de fórmula completa y lo hemos visto como
una función cuadrática hacia
Dx en Dy y podemos ver el pozo D,
que es como resultado de la multiplicación de
los objetivos secundarios derivados x_2 veces multiplicado
por los segundos objetivos derivados y_2 veces menos al
cuadrado segundo derivado hacia xy.
La idea era que si
este valor que es menos discriminante sobre
la función parabólica en el segundo diferencial es positivo
, decidiendo si
el primer coeficiente es positivo o negativo.
Podemos diferir entre casos convexos y cóncavos,
y si el discriminante es negativo,
entonces básicamente tenemos caso no extremo.
Así que tratemos de usar esta regla y un ejemplo muestra
cómo funciona todo esto desde el principio hasta el principio.
En primer lugar, nuestro procedimiento funciona de la siguiente manera.
Encontrar derivados parciales, luego encontrar
puntos estacionarios resolviendo el sistema de ecuaciones,
luego encontrar la segunda derivada y decidir
si el segundo diferencial es
semidefinido positivo o negativo.
Así que el ejemplo que vamos a ver es el siguiente:
x
powered 4 plus y powered 4 menos x cuadrado menos 2xy menos y cuadrado.
Así que comencemos con nuestras calificaciones de procedimiento.
En primer lugar, comencemos con derivados parciales.
Derivados parciales aquí voy a anotarlos.
Mientras que todos ellos en realidad porque estamos en necesidad
de segundos derivados parciales
después para decidir si
este segundo diferencial es o no semidefinido.
Así que para el primero, la
derivada parcial con respecto a x es 4x alimentada 3 menos
2x y menos 2y.
Así que con respecto a y,
bueno es casi lo mismo para
y alimentado 3 menos 2x menos 2y.
Tenemos que encontrar
puntos estacionarios después, pero voy
a encontrar los segundos derivados aquí.
Así que si diferenciamos la
primera derivada parcial hacia x en otro momento.
Hacia x, obtenemos 12x al cuadrado menos 2.
Como lo mismo se aplica para la
segunda derivada parcial hacia y,
2 veces 12y cuadrado menos 2.
Para el caso de la segunda derivada hacia x e y,
obtenemos menos 2 simplemente.
Así que lo siguiente que hay que hacer es resolver nuestro sistema
de ecuaciones en términos
de los primeros derivados parciales iguales a cero.
Como se puede ver en ambas ecuaciones,
hay un bloque menos 2x menos 2y.
Por lo tanto, básicamente esto significa
que si esos dos son iguales porque coinciden,
entonces los [inaudibles] son iguales, que es 4x alimentado 3,
4y alimentado 3 porque el lado derecho de
ambas ecuaciones es el mismo.
Así que esto implica que en puntos estacionarios,
x es igual a y por lo tanto obtenemos una ecuación
4x alimentado 3 menos 4x es igual a 0.
Podemos eliminar cuatro,
por lo tanto obtenemos x alimentado 3 menos x es igual a 0.
Así obtenemos todas las soluciones posibles
x es igual a 0 igual a
y y x es
igual a y es igual a 1x igual a y es igual a x menos 1.
Así que obtenemos básicamente 0, 0;
1, 1; 1 menos 1 menos 1 puntos estacionarios.
Así que comencemos con
1, 1 y menos 1 menos 1
porque simplemente como
se puede ver en la mirada de la segunda derivada,
son bastante iguales hacia la idea
del valor de los segundos derivados aquí.
Voy a usar en verde aquí
para enfatizar que estoy trabajando con estas dos funciones.
Así que básicamente, si sustituimos x e y
con nuestro punto estacionario aquí,
obtenemos 12 multiplicados por 1 menos 2 que es 10.
Esto sigue siendo menos 2,
y esto es 10.
Así que tenemos que decidir qué
hacer con nuestro segundo diferencial.
Para hacerlo, necesitamos encontrar
nuestro valor de capital D discriminante negativo que es 10.
Segunda derivada parcial hacia x,
2 veces multiplicada por 10.
Segunda derivada parcial hacia y,
2 veces menos 2 cuadrados que es 96,
que es mayor que cero.
Ese es nuestro segundo diferencial,
es en realidad semidefinido y ya que
nuestro segundo derivado objetivo x,
2 veces es mayor que cero,
obtenemos caso convexo,
que va a puntos estacionarios en mínimos.
Así que lo único que tenemos que decidir es si
esto funciona o no para nuestro punto 0, 0.
En cuanto a 0, 0 punto,
todo es un poco
más complicado porque como se puede entender,
los valores de todos los derivados parciales aquí son menos 2.
Por lo tanto, nuestro valor D es menos 2 multiplicado
menos 2 menos menos 2 cuadrado que es
cero y nuestra regla para la convexidad no funciona.
Lo que es más importante, veamos esta misma función.
Como recuerdan,
hemos dicho que si la regla de convexidad no funciona,
entonces no sabemos nada sobre la convexidad,
y probablemente deberíamos mirar la función en sí.
Básicamente, lo que estamos viendo,
solo considere, por ejemplo, dos cosas.
En primer lugar, los tres últimos términos se pueden
escribir fácilmente como x más y cuadrado.
Así que vamos a hacerlo. Vamos a escribir x powered 4 plus
y powered 4 menos x plus y cuadrado.
Así que para la dirección, por ejemplo,
x es igual a menos y.
Este último término realmente desaparece y obtenemos bastante
agradable 2x alimentado 2
que tiene un mínimo [inaudible] punto cero.
Así que al menos en una dirección,
nuestro punto 0, 0 es un mínimo.
Pero es fácil entender que por ejemplo,
si consideramos x es igual a 2 menos y pero x es igual a y.
Podemos reunir fácilmente nuestra función
se convierte en 2x alimentado 4 menos
4x cuadrado que es fácil de
mostrar tiene un valor máximo en el punto cero.
Entonces, como resultado, obtenemos eso en el punto 0, 0.
Bueno, no conseguimos nada.
No es un extremo.
No. Ese fue un esquema completo de explorar si
esta función tiene o no los extremos
y averiguar cuáles son los extremos.