Maintenant, puisque nous connaissons des dérivés partiels
et l'interaction de
la croissance maximale, l'idée essentielle est de comprendre comment
trouver le point où
notre fonction a une valeur maximale ou minimale,
comment définir la fonction extrême.
Donc, fondamentalement, nous allons généraliser tout
comme entrée ce que je viens de dire
pour la fonction variable unique.
Commençons par les bases.
Commençons par la définition.
Quel point s'appelle l'extrême ?
Un point est appelé extrême si, dans un voisinage de
ce point, la fonction a la
plus grande ou la plus faible valeur à ce point même.
C' est tout à fait la même chose qu'avant.
Alors de quoi on se souvient ?
Nous nous souvenons que l'extrême
est également en quelque sorte liée au premier degré,
qui bien sûr une fonction de covariable. Tout d'
abord, rappelons-nous que
nous avons couvert le concept de points stationnaires.
Le point stationnaire est un point où tous les
premiers dérivés partiels sont égaux à zéro.
Mais fonctionner de cette façon,
un point a zéro vitesse
de changement dans n'importe quelle direction possible.
Comme vous vous en souvenez peut-être,
la stationnarité n'est pas
suffisante mais les conditions nécessaires pour l'extreum.
Cela signifie fondamentalement que
la fonction a un extreum quand elle est
au point même et différenciable en fait.
C' est ici, alors ce point devrait être stationnaire.
Mais ce n'est pas suffisant et
nous allons le montrer de la manière suivante.
Eh bien, considérez deux fonctions, la
parabole [inaudible] et la fonction x
carré moins y carré qui est hyperboloïde.
Donc, d'abord, supposons que nous allons
calculer un gradient pour ces deux fonctions.
Pour la première fonction,
il est 2x, 2y.
Pour la deuxième fonction,
il est 2x moins 2y.
Donc, fondamentalement, si nous
cherchons tous les points stationnaires possibles,
ici dans les deux cas,
le point stationnaire est unique et il est 0, 0.
Mais comme nous le comprenons clairement,
pour la première fonction est presque
certainement un minimum et le minimum global,
parce que x carré et y
carré ne peuvent pas être inférieurs à zéro,
et au point 0, 0,
la fonction a la valeur zéro,
ce qui est un minimum global pour elle.
Mais comme pour la deuxième fonction,
si nous, par exemple,
supposons une restriction de la fonction par y égale à zéro,
que nous obtenons neuvième, f,
ou z égal à x carré et un point 0,
0 à plus de x carré est un minimum.
Mais comme nous considérons,
dans d'autres restrictions, par exemple,
x égal à zéro et nous obtenons notre f égal à moins y carré
qui se traduit par le maximum dans le point 0, 0.
Cela offre fondamentalement une restriction,
sa valeur maximale pour cela, c'est une valeur minimale.
En fait, nous avons déjà vu cette surface en
ce qui concerne z1.
Rappelez-vous, nous avions une fonction parabolique
regardant vers le haut et une
autre fonction parabolique regardant vers le bas.
Ce qui est fondamentalement, c'est un cas où
le point stationnaire n'a pas d'extrémité dedans.
Donc, si nous avons déjà établi une condition nécessaire,
alors nous devons penser à la suffisante.
Suissons la même règle à peu près ici.
Pour la seule fonction valide,
la condition suffisante était presque
sur la concavité ou la convexité de la fonction.
Si vous vous souvenez, si la fonction était
convexe dans le point stationnaire,
comme cela, c'était un minimum.
Afin de s'en souvenir,
nous dessinons fonctionnel [inaudible].
C' est une fonction complexe et une fonction concave [inaudible].
Si c'est un minimum. C'est aussi le maximum.
Donc la convexité est extrêmement
liée à l'optimisation dans notre cas.
Essayons donc d'utiliser le même principe ici.
Si la fonction est convexe, c'est le minimum.
Si la fonction en concave,
c'est le maximum pour
le cas multivarié qui est
extrêmement utile ici parce que nous avons
déjà établi comment trouver
si la fonction est convexe ou concave
en cas de variables multiples.
Pour ce faire, nous avons examiné
si le deuxième différentiel de
la fonction est positif ou négatif semi-défini.
Je vais vous le rappeler.
Tout d'abord, nous avons regardé la formule complète
deuxième différentiel et nous l'avons regardé comme
une fonction quadratique vers
Dx sur Dy et nous pouvons voir le puits D,
qui est à la suite de la multiplication de
deuxièmes cibles dérivées x_2 fois multipliées
par les deuxièmes cibles dérivées y_2 fois moins
carré deuxième dérivé vers xy.
L' idée était que si
cette valeur qui est moins discriminante sur
la fonction parabolique dans le deuxième différentiel est positive
alors en décidant si
le premier coefficient est positif ou négatif.
Nous pouvons différer entre les cas convexes et concaves,
et si le discriminant est négatif,
alors fondamentalement nous avons un cas non-extreum.
Essayons donc d'utiliser cette règle et un exemple montre
comment tout cela fonctionne juste du début au début.
Tout d'abord, notre procédure fonctionne comme suit.
Trouver des dérivés partiels, puis trouver des
points stationnaires en résolvant le système d'équations,
puis trouver la deuxième dérivée et décider
si oui ou non le deuxième différentiel est
semi-défini positif ou négatif.
Donc, l'exemple que nous allons regarder est le suivant ;
x
alimenté 4 plus y alimenté 4 moins x carré moins 2xy moins y carré.
Commençons donc par nos notes de procédure.
Tout d'abord, commençons par des dérivés partiels.
Les dérivés partiels ici, je vais les écrire.
Alors que tous en fait parce que nous avons besoin
de deuxièmes dérivées partielles
après pour décider si
ce deuxième différentiel est semi-défini ou non.
Donc, pour le premier,
dérivé partiel en ce qui concerne x est 4x alimenté 3 moins
2x et moins 2y.
Donc, en ce qui concerne y,
eh bien à peu près la même chose pour
y alimenté 3 moins 2x moins 2y.
On doit trouver des
points stationnaires après, mais je vais
trouver des dérivés secondaires ici.
Donc, si nous différencions
la première dérivée partielle vers x à un autre moment.
Vers x, nous obtenons 12x carré moins 2.
Comme il en va de même pour la
deuxième dérivée partielle vers
y, 2 fois 12y carré moins 2.
Pour le cas de deuxième dérivé vers x et y,
nous obtenons moins 2 simplement.
Donc la prochaine chose à faire est de résoudre notre système
d'équations en termes
de premiers dérivés partiels égaux à zéro.
Comme vous pouvez le voir dans les deux équations,
il y a un bloc moins 2x moins 2y.
Donc, fondamentalement, cela signifie que
si ces deux sont égaux parce qu'ils coïncident,
alors les [inaudibles] sont égaux qui est 4x alimenté 3,
4y alimenté 3 parce que le côté droit des
deux équations sont les mêmes.
Donc, cela implique que dans les points stationnaires,
x est égal à y donc nous obtenons une équation
4x alimenté 3 moins 4x égal à 0.
Nous pouvons supprimer quatre,
donc nous obtenons x alimenté 3 moins x égal à 0.
Ainsi, nous obtenons toutes les solutions possibles
x égal à 0 égal à
y et x
égal à y égal à 1x égal à y égal égal à x moins 1.
Donc, nous obtenons essentiellement 0, 0
; 1, 1 ; 1 moins 1 moins 1 points stationnaires.
Commençons donc par 1, 1
et moins 1 moins 1
parce que tout simplement comme vous
pouvez le voir à partir du regard sur le second dérivé,
ils sont tout à fait les mêmes pour l'idée
de la valeur des seconds dérivés ici.
Je vais utiliser en vert ici
pour souligner que je travaille avec ces deux fonctions.
Donc, fondamentalement, si nous substituons x et y par
notre point fixe ici,
nous obtenons 12 multiplié par 1 moins 2 qui est 10.
C' est encore moins 2,
et c'est 10.
Nous devons donc décider de ce qu'il faut
faire de notre deuxième différentiel.
Pour ce faire, nous devons trouver
notre valeur de capital D discriminatoire négative qui est de 10.
Deuxième dérivé partiel vers x,
2 fois multiplié par 10.
Deuxième dérivé partiel vers y,
2 fois moins 2 carré qui est 96,
ce qui est supérieur à zéro.
C' est notre deuxième différentiel,
est en fait semi-défini et puisque
notre deuxième cible dérivée x,
2 fois est supérieure à zéro,
nous obtenons un cas convexe,
qui va aux points stationnaires au minimum.
Donc, la seule chose que nous devons décider est si
cela fonctionne ou non pour notre point 0, 0.
Comme pour 0, 0 point,
tout est juste un peu
plus compliqué parce que, comme vous pouvez
le comprendre, les valeurs de tous les dérivés partiels ici sont moins 2.
Ainsi notre valeur D est moins 2 multipliée moins
2 moins 2 moins 2 carré, ce qui est
zéro et notre règle de convexité ne fonctionne pas.
Plus important encore, regardons cette fonction même.
Comme vous vous en souvenez,
nous avons dit que si la règle de convexité ne fonctionne
pas, alors nous ne savons rien sur la convexité,
et nous devrions probablement regarder la fonction elle-même.
Fondamentalement, ce que nous regardons,
il suffit de considérer par exemple deux choses.
Tout d'abord, les trois derniers termes peuvent être
facilement écrits en x plus y au carré.
Alors laissez-nous le faire. Nous allons écrire x alimenté 4 plus
y alimenté 4 moins x plus y carré.
Donc, pour la direction par exemple,
x est égal à moins y.
Ce dernier terme disparaît en fait et nous obtenons assez
bien 2x alimenté 2
qui a un point zéro minimum [inaudible].
Donc, au moins dans une direction,
notre point 0, 0 est un minimum.
Mais il est facile de comprendre que par exemple,
si nous considérons x égal à 2 moins y mais x égal à y.
Nous pouvons facilement rassembler notre fonction
se transforme en 2x alimenté 4 moins
4x carré qui est facile
à montrer a une valeur maximale au point zéro.
Donc, en conséquence, nous obtenons cela au point 0, 0.
Eh bien, on n'a rien.
Ce n'est pas un extreum.
Non. Il s'agissait d'un projet complet d'explorer si
cette fonction a ou non les extrêmes
et de découvrir ce que sont les extrêmes.