Ora, dal momento che conosciamo derivati
parziali e interazione di crescita massima,
l'idea essenziale è capire come
trovare il punto in cui la
nostra funzione ha valore massimo o minimo,
come definire la funzione estremale.
Quindi, fondamentalmente, stiamo andando a generalizzare tutto
come input quello che ho appena detto
per la singola funzione variata.
Cominciamo con le basi.
Iniziamo con la definizione.
Che punto si chiama estremale?
Un punto è chiamato estremo se in qualche quartiere di
questo punto la funzione ha il
valore più grande o più basso a questo punto.
E' la stessa cosa di prima.
Allora, cosa ricordiamo?
Ricordiamo che l'estremo
è anche in qualche modo collegato al primo grado,
che ovviamente una funzione covariata.
Innanzitutto, ricordiamoci che,
abbiamo coperto il concetto di punti stazionari.
Il punto stazionario è un punto in cui tutti i
primi derivati parziali uguali a zero.
Ma la funzione in questo modo,
un punto ha zero velocità
di cambiamento in qualsiasi direzione possibile.
Come forse ricorderete,
la stazionarita' non e'
sufficiente, ma condizioni necessarie per l'estremo.
Fondamentalmente significa che
la funzione ha un estremo quando è
proprio al punto e differenziabile in realtà.
E 'qui allora questo punto dovrebbe essere fermo.
Ma non è un caso sufficiente e
lo mostreremo nel modo seguente.
Bene, considera due funzioni,
parabola [inudibile] e funzione x al
quadrato meno y al quadrato che è iperboloide.
Quindi, prima, supponiamo che stiamo andando
a calcolare un gradiente per entrambe queste funzioni.
Per la prima funzione,
è 2x, 2y.
Per la seconda funzione,
è 2x meno 2y.
Quindi, fondamentalmente, se stiamo
cercando tutti i possibili punti stazionari,
qui in entrambi i casi,
il punto stazionario è unico ed è 0, 0.
Ma come comprendiamo chiaramente,
per la prima funzione è quasi
certamente un minimo e il minimo globale,
perché sia x al quadrato che y al
quadrato non potrebbero essere inferiori a zero,
e al punto 0, 0,
la funzione ha valore zero,
che è un minimo globale per esso.
Ma per quanto riguarda la seconda funzione,
se noi, per esempio,
assumiamo una restrizione della funzione di y uguale a zero,
che otteniamo nona, f,
o z uguale a x al quadrato e un punto 0,
0 a oltre x al quadrato è un minimo.
Ma come consideriamo,
in altre restrizioni, per esempio,
x uguale a zero e otteniamo la nostra f uguale a meno y al quadrato
che risulta nel massimo nel punto 0, 0.
Questo fondamentalmente offre una restrizione,
il suo valore massimo per questo, è un valore minimo.
In realtà, abbiamo già visto questa superficie
fino a guardare z1.
Ricordate, avevamo una funzione parabolica
che guardava verso l'alto e un'
altra funzione parabolica che guardava in basso.
Quello che è fondamentalmente, questo è un caso in cui
il punto fermo non ha un estremo in esso.
Quindi, se abbiamo già stabilito le condizioni necessarie,
allora dobbiamo pensare a quella sufficiente.
Seguiamo la stessa regola praticamente qui.
Per la singola funzione valida,
la condizione sufficiente era quasi
sulla concavità o convessità della funzione.
Se ricordi, se la funzione era
convessa nel punto stazionario, in
questo modo, era un minimo.
Per ricordarlo,
disegniamo funzionale [inudibile].
Si tratta di una funzione complessa e concava [inudibile].
Se questo è un minimo. Anche questo è massimo.
Quindi la convessità è estremamente
legata all'ottimizzazione nel nostro caso.
Quindi proviamo solo a usare lo stesso principio qui.
Se la funzione è convessa, questo è il minimo.
Se la funzione in concava,
questo è il massimo per
il caso multivariato che è
estremamente utile qui perché abbiamo
già stabilito come trovare
se la funzione è convessa o concava
in caso di variabili multiple.
Per fare ciò, abbiamo considerato
se il secondo differenziale
della funzione è positivo o negativo semidefinito.
Te lo ricordero'.
In primo luogo, abbiamo esaminato l'intero
differenziale della formula secondo e l'abbiamo guardato come
una funzione quadratica verso
Dx su Dy e possiamo vedere bene D,
che è il risultato della moltiplicazione dei
secondi bersagli derivati x_2 volte
moltiplicati per i secondi target derivati y_2 volte meno
secondo derivato quadrato verso xy.
L' idea era che se
questo valore che è meno discriminante rispetto
alla funzione parabolica nel secondo differenziale è positivo
allora decidendo se
il primo coefficiente è positivo o negativo.
Possiamo differire tra casi convessi e concavi,
e se il discriminante è negativo,
allora fondamentalmente abbiamo caso non estremo.
Quindi cerchiamo di usare questa regola e un esempio mostra
come tutto questo funziona solo dall'inizio all'inizio.
In primo luogo, la nostra procedura funziona come segue.
Trova derivati parziali, quindi trova
punti stazionari risolvendo il sistema di equazioni,
quindi trova la seconda derivata e decide
se il secondo differenziale è
positivo o negativo semidefinito.
Quindi l'esempio che stiamo andando a guardare è il seguente;
x powered 4 più
y powered 4 meno x al quadrato meno 2xy meno y al quadrato.
Quindi iniziamo con i nostri gradi di procedura.
In primo luogo, iniziamo con derivati parziali.
Derivati parziali qui ho intenzione di scriverli.
Mentre tutti in realtà perché abbiamo bisogno
di seconde derivate parziali in
seguito per decidere se
questo secondo differenziale è semidefinito o meno.
Quindi per il primo,
derivato parziale rispetto a x è 4x alimentato 3 meno
2x e meno 2y.
Quindi, per quanto riguarda y,
beh, praticamente è lo stesso per
y alimentato 3 meno 2x meno 2y.
Dobbiamo trovare
punti stazionari dopo, ma
qui troverò solo dei secondi derivati.
Quindi se differenziamo la
prima derivata parziale verso x in altro momento.
Verso x, otteniamo 12x al quadrato meno 2.
Come lo stesso vale per la
seconda derivata parziale verso y,
2 volte 12y al quadrato meno 2.
Per il caso della seconda derivata verso x e y,
otteniamo meno 2 semplicemente.
Quindi la prossima cosa da fare è risolvere il nostro sistema
di equazioni in termini
di primi derivati parziali uguali a zero.
Come puoi vedere in entrambe le equazioni,
c'è un blocco meno 2x meno 2y.
Quindi fondamentalmente questo significa
che se questi due sono uguali perché coincidono,
allora i [inudibili] sono uguali che sono 4x alimentati 3,
4y alimentati 3 perché il lato destro di
entrambe le equazioni sono uguali.
Quindi questo implica che in punti stazionari,
x uguale a y quindi otteniamo un'equazione
4x alimentata 3 meno 4x uguale a 0.
Possiamo rimuovere quattro,
quindi otteniamo x alimentato 3 meno x uguale a 0.
Così otteniamo tutte le possibili soluzioni
x uguale a 0 uguale a
y e x uguale a y
uguale a 1x uguale a y uguale a x meno 1.
Quindi otteniamo fondamentalmente 0, 0; 1,
1; 1 meno 1 meno 1 punti stazionari.
Quindi iniziamo con 1,
1 e meno 1 meno 1
perché semplicemente come
potete vedere dallo sguardo sulla seconda derivata,
sono piuttosto uguali verso l'idea
del valore dei secondi derivati qui.
Ho intenzione di usare in verde qui
per sottolineare che sto lavorando con queste due funzioni.
Quindi, fondamentalmente, se sostituiamo x e y
con il nostro punto fermo qui,
otteniamo 12 moltiplicato per 1 meno 2 che è 10.
Questo è ancora meno 2,
e questo è 10.
Quindi dobbiamo decidere cosa
fare con il nostro secondo differenziale.
Per farlo, dobbiamo trovare il
nostro valore negativo di capitale D discriminante, pari a 10.
Seconda derivata parziale verso x,
2 volte moltiplicata per 10.
Seconda derivata parziale verso y,
2 volte meno 2 al quadrato che è 96,
che è maggiore di zero.
Questo è il nostro secondo differenziale,
è in realtà semidefinito e poiché
il nostro secondo target derivato x,
2 volte è maggiore di zero,
otteniamo caso convesso,
che va a punti stazionari al minimo.
Quindi l'unica cosa che dobbiamo decidere è se
questo funziona o meno per il nostro punto 0, 0.
Per quanto riguarda 0, 0 punto,
tutto è solo un po
'più complicato perché, come puoi capire,
i valori di tutte le derivate parziali qui sono meno 2.
Quindi il nostro valore D è meno 2 moltiplicato meno
2 meno meno 2 al quadrato che è
zero e la nostra regola per convessità non funziona.
Ancora più importante, diamo un'occhiata a questa funzione.
Come ricorderai,
abbiamo detto che se la regola della convessità non funziona,
allora non sappiamo nulla di convessità
e probabilmente dovremmo guardare alla funzione stessa.
Fondamentalmente, quello che stiamo guardando,
basta prendere in considerazione per esempio due cose.
In primo luogo, gli ultimi tre termini possono essere
facilmente scritti come x più y al quadrato.
Quindi facciamolo. Stiamo andando a scrivere x alimentato 4 più
y alimentato 4 meno x più y al quadrato.
Quindi, per la direzione, per esempio,
x è uguale a meno y.
Quest'ultimo termine in realtà scompare e otteniamo abbastanza
bello 2x alimentato 2
che ha un minimo [inudibile] punto zero.
Quindi almeno su una direzione,
il nostro punto 0, 0 è un minimo.
Ma è facile capire che per esempio,
se consideriamo x uguale a 2 meno y ma x uguale a y.
Possiamo facilmente raccogliere la nostra funzione
si trasforma in 2x alimentato 4 meno
4x quadrato che è facile da
mostrare ha un valore massimo al punto zero.
Quindi come risultato otteniamo che al punto 0, 0.
Beh, non abbiamo niente.
Non è un estremo.
- No. Questo era uno schema completo di esplorare se
questa funzione ha o meno gli estremi
e scoprire cosa sono gli estremi.