Agora, uma vez que sabemos derivadas parciais
e interação de crescimento máximo,
a idéia essencial é entender como
encontrar o ponto onde
nossa função tem valor máximo ou mínimo,
como definir função extrema.
Então, basicamente, vamos generalizar tudo
como entrada o que eu acabei de dizer
para a função variável única.
Vamos começar com o básico.
Vamos começar com a definição.
Qual é o ponto que se chama extremo?
Um ponto é chamado extremo se em algum bairro
deste ponto a função tem o
maior ou o menor valor neste exato ponto.
É o mesmo que era antes.
Então, do que nos lembramos?
Lembramos que o extremo
também está de alguma forma conectado com o primeiro grau,
que é claro uma função covariável.
Primeiro, vamos nos lembrar que,
nós cobrimos o conceito de pontos estacionários.
O ponto estacionário é um ponto onde todos os
primeiros derivados parciais são iguais a zero.
Mas funciona desta forma,
um ponto tem velocidade zero
de mudança em qualquer direção possível.
Como você talvez se lembre,
a estacionariedade não é
suficiente, mas condições necessárias para extremos.
Basicamente, significa que
a função tem um extremo quando está
no ponto exato e diferenciável na verdade.
É aqui, então este ponto deve ser estacionário.
Mas não é caso suficiente e
vamos mostrá-lo da seguinte maneira.
Bem, considere duas funções,
[inaudível] parábola e função x
ao quadrado menos y ao quadrado que é hiperboloide.
Então, primeiro, vamos supor que vamos
calcular um gradiente para ambas as funções.
Para a primeira função,
é 2x, 2y.
Para a segunda função,
é 2x menos 2y.
Então, basicamente, se estamos procurando
por todo o ponto estacionário possível,
aqui em ambos os casos,
o ponto estacionário é único e é 0, 0.
Mas como entendemos claramente,
para a primeira função é quase
certamente um mínimo e o mínimo global,
porque ambos x ao quadrado e y
ao quadrado não poderiam ser menores que zero,
e no ponto 0, 0,
a função tem valor zero,
que é um mínimo global para ela.
Mas quanto à segunda função,
se nós, por exemplo,
assume uma restrição da função por y igual a zero,
que obtemos nono, f,
ou z igual a x ao quadrado e um ponto 0,
0 a mais de x ao quadrado é um mínimo.
Mas como consideramos,
em outra restrição, por exemplo,
x igual a zero e obtemos nosso f igual a menos y ao quadrado
que resulta no máximo no ponto 0, 0.
Isso basicamente oferece uma restrição,
seu valor máximo para isso, é valor mínimo.
Na verdade, já vimos esta superfície tão
longe quanto olhando z1.
Lembre-se, tivemos uma função parabólica
olhando para cima e
outra função parabólica olhando para baixo.
Basicamente, este é um caso em que o
ponto estacionário não tem um extremo nele.
Então, se já estabelecemos condições necessárias,
então precisamos pensar sobre o suficiente.
Vamos seguir a mesma regra praticamente aqui.
Para a única função válida,
a condição suficiente era quase
sobre a concavidade ou convexidade da função.
Se você se lembra, se a função era
convexa no ponto estacionário,
como isso, era um mínimo.
Para lembrá-lo,
desenhamos funcional [inaudível].
É uma função complexa e função côncava [inaudível].
Se isto for um mínimo. Isso também é máximo.
Portanto, a convexidade está extremamente
ligada à otimização no nosso caso.
Então vamos tentar usar o mesmo princípio aqui.
Se a função é convexa, esse é o mínimo.
Se a função em côncavo,
esse é o máximo para
o caso multivariado que é
extremamente útil aqui porque
já estabelecemos como encontrar
se a função é convexa ou côncava
no caso de múltiplas variáveis.
Para isso, consideramos
se o segundo diferencial
da função é semidefinido positivo ou negativo.
Vou lembrá-lo.
Em primeiro lugar, nós olhamos para a fórmula completa
segundo diferencial e nós olhamos para ele como
uma função quadrática para
Dx em Dy e nós podemos ver o poço D,
que é como resultado da multiplicação de
segundos alvos derivados x_2 vezes multiplicado
por segundos alvos derivados y_2 vezes menos
ao quadrado segundo derivado em direção a xy.
A idéia era que se
este valor que é menos discriminante sobre
a função parabólica no segundo diferencial é positivo
, então decidindo se
o primeiro coeficiente é positivo ou negativo.
Podemos diferir entre casos convexos e côncavos,
e se o discriminante é negativo,
então basicamente temos caso não-extremo.
Então vamos tentar usar esta regra e um exemplo mostrar
como tudo isso funciona apenas do início ao início.
Em primeiro lugar, o nosso procedimento funciona da seguinte forma.
Encontre derivadas parciais, depois encontre
pontos estacionários resolvendo o sistema de equações,
encontre a segunda derivada e decida
se o segundo diferencial é
semidefinido positivo ou negativo.
Então o exemplo que vamos olhar é o seguinte:
x alimentado 4 mais
y alimentado 4 menos x ao quadrado menos 2xy menos y ao quadrado.
Então vamos começar com nossas notas de procedimento.
Em primeiro lugar, vamos começar com derivados parciais.
Derivados parciais aqui vou anotá-los.
Enquanto todos eles, na verdade, porque estamos na necessidade
de derivativos parciais segundos
depois para decidir se
este segundo diferencial é ou não semidefinido.
Assim, para o primeiro,
derivado parcial em relação a x é 4x alimentado 3 menos
2x e menos 2y.
Então, com relação a y,
bem praticamente é o mesmo para
y alimentado 3 menos 2x menos 2y.
Precisamos encontrar
pontos estacionários depois, mas eu vou apenas
encontrar segundas derivadas aqui.
Então, se diferenciarmos a
primeira derivada parcial para x em outro momento.
Em direção a x, obtemos 12x ao quadrado menos 2.
Como o mesmo se aplica para a
segunda derivada parcial em direção a y,
2 vezes 12y ao quadrado menos 2.
Para o caso da segunda derivada em direção a x e y,
obtemos menos 2 simplesmente.
Então a próxima coisa a fazer é resolver nosso sistema
de equações em termos
de derivadas parciais iniciais iguais a zero.
Como você pode ver em ambas as equações,
há um bloco menos 2x menos 2y.
Assim, basicamente, isso significa
que se esses dois são iguais porque eles coincidem,
então o [inaudível] são iguais que é 4x alimentado 3,
4y alimentado 3 porque o lado direito de
ambas as equações são os mesmos.
Então isso implica que em pontos estacionários,
x é igual a y assim obtemos uma equação
4x alimentada 3 menos 4x igual a 0.
Podemos remover quatro,
assim obtemos x alimentado 3 menos x igual a 0.
Assim obtemos todas as soluções possíveis
x igual a 0 igual a
y e x igual a y
igual a 1x igual a y igual a x menos 1.
Então obtemos basicamente 0, 0; 1,
1; 1 menos 1 menos 1 pontos estacionários.
Então vamos começar com 1,
1 e menos 1 menos 1
porque simplesmente como você
pode ver a partir do olhar na segunda derivada,
eles são bastante os mesmos em relação à idéia
do valor de segundas derivadas aqui.
Vou usar em verde aqui
para enfatizar que estou trabalhando com essas duas funções.
Então, basicamente, se substituirmos x e y
com nosso ponto estacionário aqui,
obtemos 12 multiplicado por 1 menos 2 que é 10.
Isto ainda é menos 2,
e este é 10.
Então precisamos decidir o que
fazer com nosso segundo diferencial.
Para o fazer, temos de encontrar o
nosso valor negativo discriminante do capital D, que é 10.
Segunda derivada parcial em direção a x,
2 vezes multiplicada por 10.
Segunda derivada parcial em direção a y,
2 vezes menos 2 ao quadrado que é 96,
que é maior que zero.
Esse é o nosso segundo diferencial,
é na verdade semidefinido e como
nosso segundo alvo derivado x,
2 vezes é maior que zero,
obtemos caso convexo,
que vai para pontos estacionários em mínimos.
Então a única coisa que precisamos decidir é se
isso funciona ou não para o nosso ponto 0, 0.
Quanto a 0, 0 ponto,
tudo é apenas um pouco
mais complicado porque, como você pode entender,
os valores de todos os derivados parciais aqui são menos 2.
Assim, nosso valor D é menos 2 multiplicado
menos 2 menos 2 ao quadrado que é
zero e nossa regra para convexidade não funciona.
Mais importante ainda, vejamos esta função.
Como você se lembra,
dissemos que, se a regra de convexidade não funcionar,
então não sabemos nada sobre convexidade,
e provavelmente devemos olhar para a própria função.
Basicamente, o que estamos olhando,
basta considerar, por exemplo, duas coisas.
Em primeiro lugar, os três últimos termos podem ser
facilmente escritos como x mais y ao quadrado.
Então, deixe-nos fazê-lo. Vamos escrever x alimentado 4 mais
y alimentado 4 menos x mais y ao quadrado.
Assim, para a direção, por exemplo,
x é igual a menos y.
Este último termo realmente desaparece e nós temos bastante
bom 2x alimentado 2
que tem um mínimo [inaudível] ponto zero.
Então, pelo menos em uma direção, o
nosso 0, 0 ponto é um mínimo.
Mas é fácil entender que, por exemplo,
se considerarmos x igual a 2 menos y mas x é igual a y.
podemos facilmente reunir nossa função
se transforma em 2x alimentado 4 menos
4x ao quadrado que é fácil de
mostrar tem um valor máximo em zero ponto.
Então, como resultado, obtemos isso no ponto 0, 0.
Bem, não temos nada.
Não é um extremo.
Não. Esse foi um esquema completo de explorar se
esta função tem ou não os extremas
e descobrir quais são os extremas.