Agora, uma vez que sabemos derivadas parciais e interação de crescimento máximo, a idéia essencial é entender como encontrar o ponto onde nossa função tem valor máximo ou mínimo, como definir função extrema. Então, basicamente, vamos generalizar tudo como entrada o que eu acabei de dizer para a função variável única. Vamos começar com o básico. Vamos começar com a definição. Qual é o ponto que se chama extremo? Um ponto é chamado extremo se em algum bairro deste ponto a função tem o maior ou o menor valor neste exato ponto. É o mesmo que era antes. Então, do que nos lembramos? Lembramos que o extremo também está de alguma forma conectado com o primeiro grau, que é claro uma função covariável. Primeiro, vamos nos lembrar que, nós cobrimos o conceito de pontos estacionários. O ponto estacionário é um ponto onde todos os primeiros derivados parciais são iguais a zero. Mas funciona desta forma, um ponto tem velocidade zero de mudança em qualquer direção possível. Como você talvez se lembre, a estacionariedade não é suficiente, mas condições necessárias para extremos. Basicamente, significa que a função tem um extremo quando está no ponto exato e diferenciável na verdade. É aqui, então este ponto deve ser estacionário. Mas não é caso suficiente e vamos mostrá-lo da seguinte maneira. Bem, considere duas funções, [inaudível] parábola e função x ao quadrado menos y ao quadrado que é hiperboloide. Então, primeiro, vamos supor que vamos calcular um gradiente para ambas as funções. Para a primeira função, é 2x, 2y. Para a segunda função, é 2x menos 2y. Então, basicamente, se estamos procurando por todo o ponto estacionário possível, aqui em ambos os casos, o ponto estacionário é único e é 0, 0. Mas como entendemos claramente, para a primeira função é quase certamente um mínimo e o mínimo global, porque ambos x ao quadrado e y ao quadrado não poderiam ser menores que zero, e no ponto 0, 0, a função tem valor zero, que é um mínimo global para ela. Mas quanto à segunda função, se nós, por exemplo, assume uma restrição da função por y igual a zero, que obtemos nono, f, ou z igual a x ao quadrado e um ponto 0, 0 a mais de x ao quadrado é um mínimo. Mas como consideramos, em outra restrição, por exemplo, x igual a zero e obtemos nosso f igual a menos y ao quadrado que resulta no máximo no ponto 0, 0. Isso basicamente oferece uma restrição, seu valor máximo para isso, é valor mínimo. Na verdade, já vimos esta superfície tão longe quanto olhando z1. Lembre-se, tivemos uma função parabólica olhando para cima e outra função parabólica olhando para baixo. Basicamente, este é um caso em que o ponto estacionário não tem um extremo nele. Então, se já estabelecemos condições necessárias, então precisamos pensar sobre o suficiente. Vamos seguir a mesma regra praticamente aqui. Para a única função válida, a condição suficiente era quase sobre a concavidade ou convexidade da função. Se você se lembra, se a função era convexa no ponto estacionário, como isso, era um mínimo. Para lembrá-lo, desenhamos funcional [inaudível]. É uma função complexa e função côncava [inaudível]. Se isto for um mínimo. Isso também é máximo. Portanto, a convexidade está extremamente ligada à otimização no nosso caso. Então vamos tentar usar o mesmo princípio aqui. Se a função é convexa, esse é o mínimo. Se a função em côncavo, esse é o máximo para o caso multivariado que é extremamente útil aqui porque já estabelecemos como encontrar se a função é convexa ou côncava no caso de múltiplas variáveis. Para isso, consideramos se o segundo diferencial da função é semidefinido positivo ou negativo. Vou lembrá-lo. Em primeiro lugar, nós olhamos para a fórmula completa segundo diferencial e nós olhamos para ele como uma função quadrática para Dx em Dy e nós podemos ver o poço D, que é como resultado da multiplicação de segundos alvos derivados x_2 vezes multiplicado por segundos alvos derivados y_2 vezes menos ao quadrado segundo derivado em direção a xy. A idéia era que se este valor que é menos discriminante sobre a função parabólica no segundo diferencial é positivo , então decidindo se o primeiro coeficiente é positivo ou negativo. Podemos diferir entre casos convexos e côncavos, e se o discriminante é negativo, então basicamente temos caso não-extremo. Então vamos tentar usar esta regra e um exemplo mostrar como tudo isso funciona apenas do início ao início. Em primeiro lugar, o nosso procedimento funciona da seguinte forma. Encontre derivadas parciais, depois encontre pontos estacionários resolvendo o sistema de equações, encontre a segunda derivada e decida se o segundo diferencial é semidefinido positivo ou negativo. Então o exemplo que vamos olhar é o seguinte: x alimentado 4 mais y alimentado 4 menos x ao quadrado menos 2xy menos y ao quadrado. Então vamos começar com nossas notas de procedimento. Em primeiro lugar, vamos começar com derivados parciais. Derivados parciais aqui vou anotá-los. Enquanto todos eles, na verdade, porque estamos na necessidade de derivativos parciais segundos depois para decidir se este segundo diferencial é ou não semidefinido. Assim, para o primeiro, derivado parcial em relação a x é 4x alimentado 3 menos 2x e menos 2y. Então, com relação a y, bem praticamente é o mesmo para y alimentado 3 menos 2x menos 2y. Precisamos encontrar pontos estacionários depois, mas eu vou apenas encontrar segundas derivadas aqui. Então, se diferenciarmos a primeira derivada parcial para x em outro momento. Em direção a x, obtemos 12x ao quadrado menos 2. Como o mesmo se aplica para a segunda derivada parcial em direção a y, 2 vezes 12y ao quadrado menos 2. Para o caso da segunda derivada em direção a x e y, obtemos menos 2 simplesmente. Então a próxima coisa a fazer é resolver nosso sistema de equações em termos de derivadas parciais iniciais iguais a zero. Como você pode ver em ambas as equações, há um bloco menos 2x menos 2y. Assim, basicamente, isso significa que se esses dois são iguais porque eles coincidem, então o [inaudível] são iguais que é 4x alimentado 3, 4y alimentado 3 porque o lado direito de ambas as equações são os mesmos. Então isso implica que em pontos estacionários, x é igual a y assim obtemos uma equação 4x alimentada 3 menos 4x igual a 0. Podemos remover quatro, assim obtemos x alimentado 3 menos x igual a 0. Assim obtemos todas as soluções possíveis x igual a 0 igual a y e x igual a y igual a 1x igual a y igual a x menos 1. Então obtemos basicamente 0, 0; 1, 1; 1 menos 1 menos 1 pontos estacionários. Então vamos começar com 1, 1 e menos 1 menos 1 porque simplesmente como você pode ver a partir do olhar na segunda derivada, eles são bastante os mesmos em relação à idéia do valor de segundas derivadas aqui. Vou usar em verde aqui para enfatizar que estou trabalhando com essas duas funções. Então, basicamente, se substituirmos x e y com nosso ponto estacionário aqui, obtemos 12 multiplicado por 1 menos 2 que é 10. Isto ainda é menos 2, e este é 10. Então precisamos decidir o que fazer com nosso segundo diferencial. Para o fazer, temos de encontrar o nosso valor negativo discriminante do capital D, que é 10. Segunda derivada parcial em direção a x, 2 vezes multiplicada por 10. Segunda derivada parcial em direção a y, 2 vezes menos 2 ao quadrado que é 96, que é maior que zero. Esse é o nosso segundo diferencial, é na verdade semidefinido e como nosso segundo alvo derivado x, 2 vezes é maior que zero, obtemos caso convexo, que vai para pontos estacionários em mínimos. Então a única coisa que precisamos decidir é se isso funciona ou não para o nosso ponto 0, 0. Quanto a 0, 0 ponto, tudo é apenas um pouco mais complicado porque, como você pode entender, os valores de todos os derivados parciais aqui são menos 2. Assim, nosso valor D é menos 2 multiplicado menos 2 menos 2 ao quadrado que é zero e nossa regra para convexidade não funciona. Mais importante ainda, vejamos esta função. Como você se lembra, dissemos que, se a regra de convexidade não funcionar, então não sabemos nada sobre convexidade, e provavelmente devemos olhar para a própria função. Basicamente, o que estamos olhando, basta considerar, por exemplo, duas coisas. Em primeiro lugar, os três últimos termos podem ser facilmente escritos como x mais y ao quadrado. Então, deixe-nos fazê-lo. Vamos escrever x alimentado 4 mais y alimentado 4 menos x mais y ao quadrado. Assim, para a direção, por exemplo, x é igual a menos y. Este último termo realmente desaparece e nós temos bastante bom 2x alimentado 2 que tem um mínimo [inaudível] ponto zero. Então, pelo menos em uma direção, o nosso 0, 0 ponto é um mínimo. Mas é fácil entender que, por exemplo, se considerarmos x igual a 2 menos y mas x é igual a y. podemos facilmente reunir nossa função se transforma em 2x alimentado 4 menos 4x ao quadrado que é fácil de mostrar tem um valor máximo em zero ponto. Então, como resultado, obtemos isso no ponto 0, 0. Bem, não temos nada. Não é um extremo. Não. Esse foi um esquema completo de explorar se esta função tem ou não os extremas e descobrir quais são os extremas.