Теперь, поскольку мы знаем частичные производные
и взаимодействие максимального роста,
существенная идея состоит в том, чтобы понять, как
найти точку, где
наша функция имеет максимальное или минимальное значение,
как определить функцию экстремальной.
Итак, в основном, мы собираемся обобщить все
как входные данные, что я только что сказал
для одной вариативной функции.
Начнем с основ.
Начнем с определения.
Какой момент называется экстремальным?
Точка называется экстремальной, если в какой-то окрестности
этой точечной функции имеет
наибольшее или наименьшее значение в этой самой точке.
Это совсем то же, что и раньше.
Так что мы помним?
Мы помним, что экстремальное
также как-то связано с первой степенью,
которая, конечно, ковариативная функция.
Во-первых, напомним себе, что
мы рассмотрели концепцию стационарных точек.
Стационарная точка — это точка, где все
первые частичные производные равны нулю.
Но функция таким образом,
точка имеет нулевую скорость
изменения в любом возможном направлении.
Как вы, возможно, помните,
стационарность не является
достаточным, но необходимым условием для экстремума.
Это в основном означает, что
функция имеет экстремум, когда он находится в
самой точке и дифференцируется на самом деле.
Именно здесь, тогда эта точка должна быть неподвижной.
Но этого недостаточно, и
мы собираемся показать это следующим образом.
Ну, рассмотрим две функции,
[неразборчивая] парабола и функция x в
квадрате минус y квадрат, который является гиперболоидом.
Итак, во-первых, предположим, что мы собираемся
вычислить градиент для обеих этих функций.
Для первой функции
это 2x, 2y.
Для второй функции
это 2x минус 2y.
Итак, в основном, если мы
ищем все возможные стационарные точки,
здесь в обоих случаях
стационарная точка уникальна и это 0, 0.
Но как мы ясно понимаем,
для первой функции почти
наверняка является минимумом и глобальным минимумом,
потому что и x в квадрате, и y в
квадрате не могут быть меньше нуля,
а в точке 0, 0
функция имеет значение ноль,
что является глобальным минимумом для нее.
Но что касается второй функции,
если мы, например,
предполагаем ограничение функции по y равным нулю,
то мы получаем девятую, f
или z равную x квадрату и точку 0,
0 к более x квадрат является минимумом.
Но как мы считаем,
в другом ограничении, например,
x равно нулю и мы получаем наше f равно минус y квадрат,
который приводит к максимуму в точке 0, 0.
Это в основном предлагает одно ограничение,
его максимальное значение для этого, это минимальное значение.
На самом деле, мы уже видели эту поверхность
до точки зрения z1.
Помните, у нас была одна параболическая функция,
глядя вверх, а
другая параболическая функция выглядела вниз.
В принципе, это случай, когда
стационарная точка не имеет экстремума в ней.
Так что если мы уже создали необходимые условия,
то нужно подумать о достаточном.
Давайте следовать тому же правилу в значительной степени здесь.
Для одной действительной функции
достаточное условие было почти
о краткости или выпуклости функции.
Если вы помните, если функция была
выпуклой в неподвижной точке
, то это было минимум. Для
того, чтобы запомнить его,
мы рисуем функциональный [неразборчивый].
Это сложная функция и вогнутая функция [неразборчиво].
Если это минимум. Это также максимум.
Поэтому выпуклость чрезвычайно
связана с оптимизацией в нашем случае.
Так что давайте просто попробуем использовать этот же принцип здесь.
Если функция выпуклая, это минимум.
Если функция в вогнутой,
это максимум для
многомерного случая, который
очень полезен здесь, потому что мы
уже установили, как найти,
является ли функция выпуклой или вогнутой
в случае нескольких переменных.
Для этого мы рассмотрели,
является ли второй дифференциал
функции положительным или отрицательным полуопределенным.
Я напомню тебе.
Во-первых, мы рассмотрели полную формулу
второго дифференциала и рассматривали ее как
квадратичную функцию в сторону
Dx на Dy, и мы можем видеть D хорошо,
что является результатом умножения
второй производной цели x_2 раз
умноженных на второй производной цели y_2 раз минус
квадрат второй производной в сторону xy.
Идея заключалась в том, что если
это значение, которое минус дискриминант над
параболической функцией во втором дифференциале является положительным,
то, решив,
является ли первый коэффициент положительным или отрицательным.
Мы можем различаться между выпуклыми и вогнутыми случаями,
и если дискриминант отрицательный,
то в основном у нас есть случай без экстремума.
Так давайте попробуем использовать это правило и пример покажет,
как все это работает от начала до начала.
Во-первых, наша процедура работает следующим образом.
Найти частные производные, затем найти
стационарные точки путем решения системы уравнений,
затем найти вторую производную и решить,
является ли второй дифференциал
положительным или отрицательным полуопределенным.
Таким образом, пример, который мы собираемся посмотреть, является следующим;
х питание 4 плюс у
питание 4 минус х квадрат минус 2xy минус у квадрат.
Итак, давайте начнем с наших оценок процедур.
Во-первых, начнем с частичных производных.
Частичные производные, я собираюсь их записать.
В то время как все они на самом деле потому, что мы нуждаемся
во вторых частичных производных
после того, чтобы решить,
является ли этот второй дифференциал полуопределенный.
Таким образом, для первого,
частичная производная в отношении x является 4x питание 3 минус
2x и минус 2y.
Таким образом, что касается y,
хорошо в значительной степени то же самое для
y Powered 3 минус 2x минус 2y.
После этого нам нужно найти стационарные точки, но я собираюсь
найти здесь вторую производную.
Поэтому, если мы различаем
первую частичную производную по отношению к x в другое время.
К x, мы получаем 12x в квадрате минус 2.
Так же относится и ко
второй частичной производной в сторону y,
2 раза 12y квадрат минус 2.
Для случая второй производной к x и y,
мы получаем минус 2 просто.
Следующее, что нужно сделать, это решить нашу систему
уравнений в терминах
первых частных производных, равных нулю.
Как вы можете видеть в обоих уравнениях,
есть блок минус 2x минус 2y.
Таким образом, в основном это означает, что
если эти два равны, потому что они совпадают,
то [неразборчиво] равны, что 4x питание 3,
4y питание 3, потому что правая сторона
обоих уравнений одинакова.
Таким образом, это означает, что в стационарных точках,
x равно y, таким образом, мы получаем уравнение
4x питание 3 минус 4x равно 0.
Мы можем удалить четыре,
таким образом мы получаем х питание 3 минус х равно 0.
Таким образом, мы получаем все возможные решения
x равно 0 равно
y и x равно y
равно 1x равно y равно y равно y равно x минус 1.
Таким образом, мы получаем в основном 0, 0
; 1, 1; 1 минус 1 минус 1 стационарных точек.
Итак, давайте начнем с
1, 1 и минус 1 минус 1,
потому что просто, как вы
можете видеть из взгляда на вторую производную,
они совершенно одинаковы к идее
значения вторых производных здесь.
Я собираюсь использовать зеленый здесь,
чтобы подчеркнуть, что я работаю с этими двумя функциями.
Итак, в основном, если мы подставим x и y
с нашей стационарной точкой здесь,
мы получим 12 умноженных на 1 минус 2, который равен 10.
Это все еще минус 2,
а это 10.
Поэтому нам нужно решить, что
делать с нашим вторым дифференциалом.
Чтобы сделать это, мы должны найти
наш негативный дискриминантный D капитал, который равен 10.
Вторая частичная производная в сторону х,
2 раза умноженная на 10.
Вторая частичная производная в сторону y,
2 раза минус 2 квадрата,
который равен 96, что больше нуля.
Это наш второй дифференциал,
на самом деле полуопределенный и так как
наши вторые производные цели х, в
2 раза больше нуля,
мы получаем выпуклый случай,
который идет к стационарным точкам на минимумах.
Таким образом, единственное, что нам нужно решить,
работает ли это для нашей точки 0, 0.
Что касается 0, 0 точки,
все немного
сложнее, потому что, как вы можете понять,
значения всех частичных производных здесь минус 2.
Таким образом, наше значение D минус 2 умноженное минус
2 минус 2 в квадрате, который равен
нулю, и наше правило для выпуклости не работает.
Что еще важнее, давайте посмотрим на эту самую функцию.
Как вы помните,
мы говорили, что если правило выпуклости не работает,
то мы ничего не знаем о выпуклости,
и мы, вероятно, должны посмотреть на саму функцию.
В принципе, то, что мы смотрим,
просто рассмотрим, например, две вещи.
Во-первых, последние три термина могут быть
легко записаны как x плюс y в квадрате.
Так давайте сделаем это. Мы собираемся написать х питание 4 плюс
у питания 4 минус х плюс у квадрат.
Так что для направления, например,
x равно минус y.
Этот последний термин фактически исчезает, и мы получаем довольно
хороший 2x Powered 2,
который имеет минимальную [неразборчивую] нулевую точку.
Таким образом, по крайней мере, в одном направлении
наша 0, 0 точка является минимумом.
Но это легко понять, что, например,
если мы рассматриваем x равно 2 минус y, но x равно y.
Мы можем легко собрать нашу функцию
превращается в 2x питание 4 минус
4x квадрат, который легко
показать имеет максимальное значение в нулевой точке.
Таким образом, в результате мы получаем это в 0, 0 точке.
Ну, мы ничего не получим.
Это не экстремум.
Нет. Это была полная схема изучения того,
имеет ли эта функция экстремумы
и выяснить, что такое экстремумы.