Bây giờ, vì chúng ta biết các đạo hàm một phần
và tương tác của sự tăng trưởng cực đại,
ý tưởng thiết yếu là hiểu làm thế nào để
tìm ra điểm mà
hàm của chúng ta có giá trị cực đại hoặc cực đại,
làm thế nào để định nghĩa hàm cực đại.
Vì vậy, về cơ bản, chúng ta sẽ khái quát tất cả
như đầu vào những gì tôi chỉ nói
cho các chức năng biến đơn.
Hãy để chúng tôi bắt đầu với những điều cơ bản.
Hãy bắt đầu với định nghĩa.
Điểm nào được gọi là cực đoan?
Một điểm được gọi là cực nếu trong một số khu phố của
hàm điểm này có
giá trị lớn nhất hoặc thấp nhất tại thời điểm này.
Điều đó hoàn toàn giống như trước đây.
Vậy những gì chúng ta nhớ?
Chúng ta nhớ rằng cực đoan
cũng bằng cách nào đó kết nối với mức độ đầu tiên,
mà tất nhiên là một hàm hiệp biến.
Đầu tiên, chúng ta hãy nhắc nhở bản thân rằng,
chúng ta đã đề cập đến khái niệm về các điểm cố định.
Điểm tĩnh là một điểm mà tất cả các
đạo hàm một phần đầu tiên bằng 0.
Nhưng chức năng theo cách này,
một điểm có tốc độ
thay đổi bằng không ở bất kỳ hướng nào có thể.
Như bạn có thể nhớ,
sự cố định là không
đủ nhưng điều kiện cần thiết cho extremum.
Về cơ bản nó có
nghĩa là các chức năng có một extremum khi nó là tại
thời điểm rất và khác biệt thực sự.
Đó là ở đây sau đó điểm này nên được văn phòng phẩm.
Nhưng nó không đủ trường hợp và
chúng tôi sẽ hiển thị nó theo cách sau đây.
Vâng, xem xét hai chức năng,
[không nghe thấy] parabola và hàm x
bình phương trừ y bình phương đó là hyperboloid.
Vì vậy, trước tiên, chúng ta hãy giả định rằng chúng ta sẽ
tính toán một gradient cho cả hai chức năng này.
Đối với chức năng đầu tiên,
nó là 2x, 2y.
Đối với hàm thứ hai,
nó là 2x trừ 2y.
Vì vậy, về cơ bản, nếu chúng ta đang tìm
kiếm tất cả các dấu chấm văn phòng phẩm có thể,
ở đây trong cả hai trường hợp,
điểm văn phòng phẩm là duy nhất và nó là 0, 0.
Nhưng như chúng ta hiểu rõ,
đối với hàm đầu tiên gần như
chắc chắn là một tối thiểu và tối thiểu toàn cầu,
bởi vì cả x
bình phương và y bình phương không thể nhỏ hơn 0,
và tại điểm 0, 0,
hàm có giá trị 0,
đó là một tối thiểu toàn cầu cho nó.
Nhưng đối với hàm thứ hai,
nếu chúng ta, ví dụ,
giả định một hạn chế của hàm bằng y bằng 0,
rằng chúng ta nhận được thứ chín, f,
hoặc z bằng x bình phương và một điểm 0,
0 để trên x bình phương là một tối thiểu.
Nhưng như chúng ta xem xét,
trong hạn chế khác, ví dụ,
x bằng 0 và chúng tôi nhận được f của chúng tôi bằng âm bình phương y
mà kết quả vào tối đa trong điểm 0, 0.
Điều đó về cơ bản cung cấp một hạn chế,
giá trị tối đa của nó cho điều đó, đó là giá trị tối thiểu.
Trên thực tế, chúng tôi đã nhìn thấy bề mặt này như
xa như tìm kiếm z1.
Hãy nhớ rằng, chúng tôi có một chức năng parabol
nhìn lên trên và
chức năng parabol khác nhìn xuống.
Về cơ bản, đây là trường hợp mà
điểm tĩnh không có cực đoan trong đó.
Vì vậy, nếu chúng ta đã thiết lập một điều kiện cần thiết,
thì chúng ta cần phải suy nghĩ về một điều kiện đầy đủ.
Hãy làm theo cùng một quy tắc khá nhiều ở đây.
Đối với chức năng hợp lệ duy
nhất, điều kiện đủ gần như là
về lõm hoặc lồi của chức năng.
Nếu bạn nhớ, nếu chức năng
lồi ở điểm tĩnh,
như vậy, nó là tối thiểu.
Để nhớ nó,
chúng tôi vẽ chức năng [không nghe được].
Nó là một chức năng phức tạp và chức năng lõm [không nghe được].
Nếu đây là mức tối thiểu. Đây cũng là tối đa.
Vì vậy, lồi là cực kỳ
liên kết với sự tối ưu hóa trong trường hợp của chúng tôi.
Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng sử dụng cùng một nguyên tắc ở đây.
Nếu hàm là lồi, đó là mức tối thiểu.
Nếu hàm trong lõm,
đó là tối đa cho
trường hợp đa biến đó là
cực kỳ hữu ích ở đây bởi vì chúng tôi
đã thiết lập làm thế nào để tìm cho
dù hàm là lồi hoặc lõm
trong trường hợp của nhiều biến.
Để làm được như vậy, chúng ta đã
xem xét có hay không vi phân thứ hai
của hàm là semidefinite dương hay âm hay không.
Tôi sẽ nhắc nhở anh.
Thứ nhất, chúng ta đã xem xét các
vi phân thứ hai công thức đầy đủ và chúng ta đã xem xét nó như là
một hàm bậc hai đối với
Dx trên Dy và chúng ta có thể thấy tốt D,
đó là kết quả của phép nhân của các
mục tiêu đạo hàm thứ hai x_2 lần nhân với
mục tiêu đạo hàm thứ hai y_2 lần trừ
bình phương đạo hàm thứ hai đối với xy.
Ý tưởng là nếu
giá trị này là trừ phân biệt đối xử với
hàm parabol trong vi phân thứ hai là dương
thì bằng cách quyết
định liệu hệ số thứ nhất là dương hay âm.
Chúng ta có thể khác nhau giữa các trường hợp lồi và lõm,
và nếu phân biệt đối xử là tiêu cực
thì về cơ bản chúng ta có trường hợp không cực đoan.
Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng sử dụng quy tắc này và một ví dụ cho thấy
làm thế nào tất cả điều này hoạt động chỉ từ đầu đến đầu.
Thứ nhất, thủ tục của chúng tôi hoạt động như sau.
Tìm đạo hàm từng phần, sau đó tìm
điểm cố định bằng cách giải hệ phương trình,
sau đó tìm đạo hàm thứ hai và quyết định có
hay không vi phân thứ hai là
semidefinite dương hay âm.
Vì vậy, ví dụ chúng ta sẽ xem xét là sau đây;
x powered 4 cộng với
y powered 4 trừ x bình phương trừ 2xy trừ y bình phương.
Vì vậy, chúng ta hãy bắt đầu với các lớp thủ tục của chúng tôi.
Thứ nhất, chúng ta hãy bắt đầu với các dẫn xuất một phần.
Một phần dẫn xuất ở đây tôi sẽ viết chúng xuống.
Trong khi tất cả chúng thực sự bởi vì chúng ta đang cần
dẫn xuất một phần thứ hai
sau đó để quyết định có hay
không vi phân thứ hai này là semidefinite.
Vì vậy, đối
với một số đầu tiên, đạo hàm một phần liên quan đến x là 4x powered 3 trừ
2x và trừ 2y.
Vì vậy, liên quan đến y,
cũng khá nhiều là giống nhau cho
y hỗ trợ 3 trừ 2x trừ 2y.
Chúng ta cần tìm
điểm cố định sau đó nhưng tôi sẽ chỉ
để tìm ra các dẫn xuất thứ hai ở đây.
Vì vậy, nếu chúng ta phân biệt
đạo hàm từng phần đầu tiên đối với x tại thời điểm khác.
Về phía x, chúng ta nhận được 12x bình phương trừ 2.
Như vậy cũng áp dụng cho
đạo hàm từng phần thứ hai đối với y,
2 lần 12y bình phương trừ đi 2.
Đối với trường hợp đạo hàm thứ hai đối với x và y,
ta nhận được trừ 2 đơn giản.
Vì vậy điều tiếp theo cần làm là giải hệ
phương trình của chúng ta về mặt
đạo hàm từng phần đầu bằng 0.
Như bạn có thể thấy trong cả hai phương trình,
có một khối trừ đi 2x trừ đi 2y.
Như vậy về cơ bản điều này có nghĩa là
nếu hai người đó bằng nhau vì chúng trùng nhau,
thì [không nghe được] bằng nhau là 4x powered 3,
4y powered 3 vì phía bên phải của
cả hai phương trình đều giống nhau.
Vì vậy, điều này ngụ ý rằng trong các điểm tĩnh,
x bằng y do đó chúng ta có được một phương trình
4x powered 3 trừ 4x bằng 0.
Chúng tôi có thể loại bỏ bốn,
do đó chúng tôi nhận được x powered 3 trừ x bằng 0.
Như vậy ta nhận được tất cả
các lời giải có thể
x bằng 0 bằng y và x
bằng y bằng 1x bằng y bằng y bằng x trừ 1.
Vì vậy, chúng tôi nhận được cơ bản 0, 0
; 1, 1; 1 trừ 1 trừ 1 điểm tĩnh.
Vì vậy, chúng ta hãy bắt đầu với
1, 1 và trừ 1 trừ 1
vì đơn giản như bạn
có thể nhìn thấy từ cái nhìn trên đạo hàm thứ hai,
chúng khá giống nhau đối với ý tưởng về
giá trị của đạo hàm thứ hai ở đây.
Tôi sẽ sử dụng màu xanh lá cây ở đây
để nhấn mạnh rằng tôi đang làm việc với hai chức năng này.
Vì vậy, về cơ bản, nếu chúng ta thay thế x và y
với điểm tĩnh của
chúng tôi ở đây, chúng tôi nhận được 12 nhân với 1 trừ 2 đó là 10.
Đây vẫn là trừ 2,
và đây là 10.
Vì vậy, chúng ta cần phải quyết định phải
làm gì với sự khác biệt thứ hai của chúng tôi.
Để làm được điều đó, chúng ta cần phải tìm ra
giá trị vốn D phân biệt đối xử tiêu cực của chúng tôi là 10.
Đạo hàm từng phần thứ hai về phía x,
2 lần nhân với 10.
Đạo hàm từng phần thứ hai đối với y,
2 lần trừ 2 bình phương
đó là 96, lớn hơn 0.
Đó là vi phân thứ hai của chúng tôi,
thực sự là semidefinite và kể từ khi
mục tiêu đạo hàm thứ hai của chúng tôi x,
2 lần là lớn hơn 0,
chúng tôi nhận được trường hợp lồi,
mà đi đến điểm tĩnh ở mức tối thiểu.
Vì vậy, điều duy nhất chúng ta cần phải quyết định là liệu điều
này có hoạt động cho điểm 0, 0 của chúng tôi.
Đối với 0, 0 điểm,
mọi thứ chỉ
phức tạp hơn một chút bởi vì như bạn có thể hiểu,
các giá trị của tất cả các dẫn xuất một phần ở đây là trừ 2.
Do đó giá trị D của chúng tôi là trừ 2 nhân
trừ 2 trừ 2 bình phương đó là
0 và quy tắc của chúng tôi đối với lồi không hoạt động.
Quan trọng hơn, chúng ta hãy nhìn vào chức năng này.
Như bạn nhớ,
chúng tôi đã nói rằng nếu quy tắc lồi không hoạt động,
thì chúng ta không biết gì về lồi,
và chúng ta có lẽ nên nhìn vào chức năng chính nó.
Về cơ bản, những gì chúng ta đang nhìn vào,
chỉ cần xem xét ví dụ hai điều.
Thứ nhất, ba thuật ngữ cuối cùng có thể
dễ dàng viết dưới dạng x cộng y bình phương.
Vì vậy, hãy để chúng tôi làm điều đó. Chúng tôi sẽ viết x powered 4 cộng với
y powered 4 trừ x cộng với y bình phương.
Vì vậy, đối với hướng ví dụ,
x bằng để trừ y.
thuật ngữ cuối cùng này thực sự biến mất và chúng tôi nhận được khá
đẹp 2x powered 2
trong đó có một tối thiểu [không nghe được] zero-điểm.
Vì vậy, ít nhất trên một hướng
, 0 điểm của chúng tôi là một tối thiểu.
Nhưng nó dễ dàng để hiểu rằng ví dụ,
nếu chúng ta xem xét x bằng 2 trừ y nhưng x bằng y
Chúng ta có thể dễ dàng thu thập chức năng của chúng ta
biến thành 2x powered 4 trừ
4x bình phương đó là dễ dàng
để hiển thị có một giá trị tối đa tại 0 điểm.
Vì vậy, kết quả là chúng tôi nhận được rằng tại điểm 0, 0.
Well, chúng ta chẳng có gì cả.
Nó không phải là một cực đoan.
Không. Đó là một kế hoạch đầy đủ để khám phá xem
chức năng này có các cực đoan hay không
và tìm ra các cực đoan là gì.